全等三角形辅助线做法讲义讲课教案

1、全等三角形辅助线做法讲义学习好资料【夯实基础】例： ABC中，AD是方法1:作DE AB于巧添辅助线一一一倍长中线ABAC的平分线，且BD=CD,求证AB=AC/ E、彳DF_LAC于F,证明二次全等BDC全等三角形问题中常见的辅助线的作法方法2:辅助线同上，利用回枳方法3:倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 AAAABC 中B,I 方式 1 AC,A时/ BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC已知：D是ABC勺/BAC的外角的平分线AD上的任一点,图2-1连接 DB DC 求证：BD+CDAB+AC(2)、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一

2、点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距 离相等的性质来证明问题。例1.如图 2-1 ,已知 ABAD, /BACW FAC,CD=BC求证：/ ADC廿 B=180分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADCW/B之和为平例2.如图 2-2,在 ABC中，/ A=90 , AB=AC / ABDW CBD求证:BC=AB+AD分析:过D作DEL BC于E,则AD=DE=GE则构造出全等三角形，从而M F图2-3得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3.已知如图2-3, 4ABC的角平分线BM CN相交于点P。求证：/ BAC的平分线也经过点P。分析：连

3、接AP,证AP平分/BAC即可，也就是证P至I AB AC的距离相等练习:.如图 2-4/AOPW BOP=15 , PCOA, PDL OA 如果 PC=, WJ PD=() A 4 B 3 C 2 D 12,已知在 ABC中，/ C=90 , AD平分/CAB CD=1.5,DB=2.求 AG3,已知：如图 2-5, ZBAC=/ CAD,ABA D CH AB,工AE=2 (AB+AD .求证：/ D+/ B=180 。.已知：如图2-6,在正方形ABCDfr, E为CD的中点，F为BC上的点，/ FAE=/ DAE 求证：AF=AD+CF. 已知：如图2-7,在RQABC中，/ACB=

4、90 ,CD)AB,垂足为D, AE平分/ CA皎CD于F,过F作FH/AB交BC于H 求证CF=BH图2-7(3)、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的 性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线 段，则延长该线段与角的另一边相交)。例1.已知：如图 3-1, / BADW DAC ABAC,CDAD于 D, H是 BC中1点。求证：DH= (AB-AO2分析：延长CDfc AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。例2.已知：如图

5、3-2, AB=AC /BAC=90 , AD为/ABC勺平分线，CEL BE.求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延 长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。F例3.已知：如图3-3在ABC, AD AE分别/ BAC的内、外角平分线，过顶点 B作BN垂直AD,交AD的延长线于F, 连结FC并延长交AE于M求证：AM=ME分析：由AH AE是/BAC内外角平分线，可得EAL AF,从N 图 3-3而有BF/AE,所以想到利用比例线段证相等。例4.已知：如图3-4,在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CM1 , 一LAD父AD延长线于 M

6、求证：AM= (AB+AC 2分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以AD为轴作对称变1换，作ABD关于AD的对称AED然后只需证DMh EG另外由求2学习好资料1证的结果 AM=1 (AB+AC ,即2AM=AB+AC也可尝试作 ACM!于CM的对称 FCM然后只需证 D 2F=CF即可。练习：已知：在 ABC中,AB=5 AC=3 D是BC中点，AE是/ BAC勺平分线，且 CE!AE于E,连接DE，求DE已知BE BF分别是4ABC的/ABC的内角与外角的平分线， AF BF于F, AE1 BE于1E,连接EF分别父AB AC于M N,求证 MN= BC 2(4)、以角分线上一点做角

7、的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,也构造等腰二龟形。如图 4-1和图4-2所不。例 4 如图，ABAC, /1)=/2,求证：AB- ACBD-CyE fABD。图 4-1例5 如图，BCBA BD平分/ ABC且AD=CD求证：/ A+/ C=18Q从而CA二IGBC图4-2ABDCDC精品资料例 6 如图，AB/ CD AE DE分另 I平分 / BAD# /ADE 求证：AD=AB+G D练习：.已知，如图，/ C=2Z A, AC=2BC求证： ABC直角三角形2,已知

8、：如图，AB=2AC /1=/ 2, DA=DB 求证：DC!AC.已知CE AD是4ABC的角平分线，/ B=60 ,求证：AC=AE+CD.已知：如图在 ABC, /A=90 ,AB=AC BD是/ ABC勺平分线，求证：BC=AB+AD(5)、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线例6.如图7, AABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC 交AC于点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。证明：延长BA, CE交于点F,在ABE林口 ABEC中，/1 = /2, BE=BE, / BEF=/BEC=90 ,精品资料学习好资料精品资料

9、ABEHABEG . .EF=EC,从而 CF=2CE。又/ 1 + /F=/3+/F=90 ,故/1 = /3。在 AABD 和. AACF 中，/ 1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 , AABDAACFBD=CF, . . BD=2CE。（六）、借助角平分线造全等注：此例中BE是等腰ABCFffi底边CF的中线。D,CE相交于点 Q 求证：OE=OD1:如图，已知在 ABC中，/ B=60 ,*BC勺角平分线 A2: （06关B州市中考题）如图，/XABCt, AD平分/BAC DGh BC且平分BC, DEL AB于E, DFXACT F. (1)说明 BE=CF勺理由；(2)如果 AB=a , AC= 求AE BE的长.总结口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验