高二数学上册重难点突破：专题16 圆锥曲线常考题型04-定值问题（解析版）

1、 23/23专题17 圆锥曲线常考题型04定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值1过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）求证：为定值；【解答】证明：依题意直线的方程为，代入，得，则，为定值；2已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点当点异于、时，直线，的斜率分别为，则是否为定值？请说明理由；【解答】解

2、：由椭圆的方程及题意可得：，设，因为在椭圆上，所以，所以则，所以由题意可得是为定值，且定值为；3椭圆，的离心率，点在上（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值【解答】（1）解：椭圆，的离心率，点在上，可得，解得，所求椭圆方程为：（2）证明：设直线，把直线代入可得，故，于是在的斜率为：，即直线的斜率与的斜率的乘积为定值4已知抛物线与双曲线有相同的焦点（1）求的方程，并求其准线的方程；（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，证明：，均为定值【解答】（1）解：双曲线，可得双曲线的右焦点为，则，即，故的方程为，其准线的方程

3、为；（2）证明：由题意直线过点且斜率存在，设其方程为，联立，整理得，为定值，则为定值5已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为（1）求与的方程；（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在求的取值范围；试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）因为的离心率为，所以，解得，则的方程为因为的焦点与的焦点相同，所以，所以，则的方程为（2）联立得，其中，解得又直线，的斜率都存在，所以，故的取值范围是设，则，则，故直线，的斜率之积不是定值6设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线

4、两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值【解答】解：（1）由双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，得，解得，所以双曲线的方程为（2）设点坐标为，过点与渐近线平行的直线分别为，方程分别为，联立，解得，同理联立，解得，又渐近线方程为，则，所以，又点在双曲线上，则，所以，所以平行四边形的面积为定值，且定值为7已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由【解

5、答】解：（1）由题意可得，解得：，所以椭圆的方程为：；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得：，因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以，即，由方程组得，则，设，则，设直线，直线的斜率为，所以，将，代入上式得，要使得以为定值，则，即，所以当圆的方程为时，圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时圆与的交点，也满足以为定值，综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值8已知抛物线的准线过点（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，证明：为定值【解答】（1）解：由题意可得，抛物线的准线

6、方程为，故抛物线的方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得则为定值9已知平面上的动点及两定点，直线，的斜率分别是，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，若为坐标原点），证明点到直线的距离为定值，并求出这个定值若直线，的斜率都存在并满足，证明直线过定点，并求出这个定点【解答】解：（1）由题意得，即动点的轨迹的方程是（2）设点，联立，化为，若，则，化为，此时点到直线的距离，代入化为，化简得，解得或当时，直线恒过原点；当时，直线恒过点，此时直线与曲线最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线恒过定点10如图，

7、已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（）求椭圆的方程（）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由【解答】解：（）设椭圆的半焦距为，则有，解得，所以椭圆的方程为；（）由（）知，由条件得直线的斜率必存在，设方程为，又，设，则由，解得，所以，因为，则有，所以，同理可得，所以，即是定值11已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为3，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）试探究，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由【解答】解：（1）由题意可知：点，的面积为3，又，解得

8、，椭圆的方程为：；（2）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，点，则直线的方程为，令，得点的横坐标，直线的方程为，令，得点的横坐标，把直线代入椭圆得：，12已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形（）写出椭圆的标准方程；（）设点满足：，求证：与的面积之比为定值【解答】解：（）因为是边长为4的等边三角形，所以所以所以，椭圆的标准方程为（）设直线，的斜率分别为，则直线的方程为由，直线的方程为将代入，得，因为是椭圆上异于点，的点，所以所以由，所以直线的方程为由，得所以13给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”若椭圆的

9、离心率，点在上求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，使得，与椭圆都只有一个交点，且，分别交其“卫星圆”于点，证明：弦长为定值【解答】解：（）由条件可得：解得所以椭圆的方程为，（3分）卫星圆的方程为（4分）证明：当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，所以，所以线段应为“卫星圆”的直径，所以（7分）当，都有斜率时，设点，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，联立方程组，消去，整理得，（9分）所以（10分）所以（11分

10、）所以，满足条件的两直线，垂直所以线段应为“卫星圆”的直径，所以综合知：因为，经过点，又分别交其“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段为“卫星圆” 的直径，所以为定值（12分）14已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆的方程为；（2）证明：由条件可知，两点关于轴对称，设，则，由题可知，所以，又直线的方程为，令得点的横坐标，同理可得点的横坐标，所以，即为定值15已知椭圆的两个焦点分别

11、为，以椭圆短轴为直径的圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，问：是否为定值？并证明你的结论【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点，解得，椭圆的方程为（2）是定值证明如下：设过的直线：或者时，代入椭圆，令，代入椭圆，设，则，16如图，椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆的方程；（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【解答】解：（）由题意知，结合，解得，椭圆的方程为；（）由题设知，直线的方程为，代入，得，由已知，设，则，从而直线与的斜

12、率之和：17已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点（）当时，求面积的最大值；（）设直线和与轴分别相交于点，为原点证明：为定值【解答】解：（）当时，将代入，解得：， 当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值3， 面积的最大值是（）设，两点坐标分别为，从而 设，则有， 直线的方程为， 令，得，从而 直线的方程为，（10分）令，得，从而 所以， 为定值 18如图，已知点是抛物线上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为（）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率；（）求证：直线的斜率为定值并求出当为直角三角形时，的面积【解答】解：（）依题意，由直线与圆相切，可得，解得（）设，

13、联立直线与抛物线方程，消去可得：，用代替可得：，因此，即直线的斜率为定值，当时，由得，此时，求得，当时，可得，此时，求得，当时，无解综上所述，当为直角三角形时，的面积为或1219已知椭圆的两个焦点是，点，在椭圆上，且（）求椭圆的方程；（）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，为原点证明：为定值【解答】解：（）由椭圆的定义，得，即（2分）将点，的坐标代入，得，解得：（4分）椭圆的方程是（5分）（）证明：由关于轴于对称，得，设，则有，（6分）直线的方程为，（7分）令，得，（8分）直线的方程为：，（9分）令，得，（10分）（12分）为定值（14分）20椭圆焦点在轴上，离心率为，

14、上焦点到上顶点距离为（）求椭圆的标准方程；（）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，的面积，则是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由【解答】解：（）由题意可得，解得，可得，即有椭圆的标准方程为：；（）设，（1）当斜率不存在时，两点关于轴对称，又，解得，；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入，得，即有，则，到距离，则，解得，满足，则，即有，综上可得为定值521已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于、两点，直线，的斜率分别是，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由

15、【解答】（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆，由，得，所以曲线的方程为（2）设，由已知直线的斜率存在，设直线，联立方程组，得，（定值）22如图，已知动圆过点，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由圆的方程知，圆心为，半径为设圆和圆内切于点，则，三点共线，且因为圆过点，则，于是，所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆因为，则，又，则，所以曲线的方程：（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，

16、得，即设点，则，设点，则，则若为定值，则，解得，此时为定值当直线与轴重合时，点，对于点，则，此时综上分析，存在点，使得为定值23已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为设过点的直线与椭圆相交于不同两点，周长为8（）求椭圆的标准方程；（）已知点，证明：当直线变化时，总有与的斜率之和为定值【解答】解：由题意知，所以因为，所以，则所以椭圆的方程为（）证明：当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，整理得：，恒成立，由，的斜率存在，由，两点的直线，故，由，直线与的斜率之和为0，综上所述，直线与的斜率之和为定值，定值为024在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况？说明理由；（2）证明过、三点的圆在轴上截得的弦长为定值【解答】解：（1）曲线与轴交于、两点，可设，由韦达定理可得，若，则，即有，即为这与矛盾，故不出现的情况；（2）证明：设过、三点的圆的方程为，由题意可得时，与等价，可得，圆的方程即为，由圆过，