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文档简介

1、第八章 数字相关和数字卷积(Correlation and Convolution)1PET ScannerSiemens / CTI PET Systems and GE Medical SystemsInner diameter 60 cm24-48 layer crystal, axial length 15cmSpace resolution (fwhm):4-5 mm2CT-PET融合后图像3第一节 线性相关(Linear Correlation) 线性相关是相关的一种运算,这里的线性相关与医学统计中略有不同。线性相关是讨论两信号之间的同步性(synchronism)或相似性(sim

2、ilarity)或同相性(in-phase)或两信号的变化规律是否具有线性关系(linear relationship)或接近线性关系的程度。 4设有离散信号和,其线性相关函数为:线性相关运算的简洁表示为:式中 “”表示线性相关运算符(correlation operator)。当和完全相等时(6-1),(6-2)就由互相关函数变成自相关函数了。求解互相关函数有直接计算法、图形法、表格法。5(3)图形法分别画出x(n)和y(n)以及位移的y(n)序列,把x(n) y(n+m)两两序列相乘然后相加就得到6第二节 循环相关(Circular Correlation) 循环相关是针对序列的循环移位的

3、一种相关运算。有限长序列的循环移位是指,也就是先让序列以N为周期进行周期延拓,然后再进行左移位,只朝一个方向移位的原因是:对周期序列向左移动一个位置,也就相当于向右移动了N1个位置。最后取(0,N1)的N个值就得到了循环移位后的N个序列值 7 循环相关运算的简洁表示为: 式中表示循环相关运算符 求两个序列的四点循环相关函数可以用直接计算法,图形法,表格法 8图形法9循环相关的矩阵表示10第三节 相干函数与相干系数(Coherent Function and Coherent Coefficient)相关函数值的大小与x(n)和y(n) 序列值的大小有关,难于比较各组信号的相关程度,因而提出了相

4、干函数(coherent function)的概念。设有两个离散信号x(n)和y(n),为了比较这两个信号的相似程度,可以用常数a乘上其中一个信号,使得两者之间误差能量最小,a可以用最小二乘法来估计 11误差能量使得误差能量最小12令13第四节 线性卷积(Linear Convolution) 卷积运算是线性时不变系统分析的重要工具,很多滤波器的设计中都要用到卷积运算。给出线性卷积运算的定义,设有离散信号x(n)和y(n),其线性卷积为:14与线性相关运算不同的是:卷积运算时,y(n)要先反折得到y(-n);m0表示y(-n)序列右移,m0表示左移,不同的m得到不同的 值。其余与相关计算相同。

5、线性卷积运算的简洁表示为:式中 “*”表示线性卷积运算符 求解线性卷积也有直接计算法、图形法、表格法 15第五节 循环卷积(Circular Convolution) 循环卷积和循环相关类似,也是针对序列的循环移位的一种运算。有限长序列的循环移位是指 ,也就是先让序列y(n)以N为周期进行周期延拓,再进行反折,然后朝右移位,只朝一个方向移位的原因是:对周期序列向右移动一个位置,也就相当于向左移动了N1个位置。最后取(0,N1)的N个值就得到了循环移位后的N个序列值 16设有序列和,其N点循环卷积为: 由于循环移位的关系最后得到的循环卷积的长度就是N点,m取0,1,2,N-1。循环卷积的简洁表示

6、为: 式中 表示循环卷积运算符求解循环卷积也有直接计算法、图形法、表格法 17第六节 相关技术的应用(Application of Correlation)自相关函数用来研究信号本身,例如信号波形的同步性、周期性等;互相关函数用来研究两个信号的同一性程度,例如测定两信号间的时间滞后或从噪声中检测信号,如果两个信号完全不同,则互相关函数接近于零,如果两个信号波形相同,则在提前、滞后处出现峰值。18对于确定信号x(n)的自相关函数为:如果信号是随机的或周期的,其自相关函数定义为:下面给出几种常用信号的自相关函数:191. 信号为正弦波的自相关函数 设 ,周期为M,则自相关函数为202.信号为白噪声的自相关函数当观测信号x(n)中包含了周期信号s(n)和白噪声w(n)时,即 ,如果信号和噪声互不相关,则自相关函数为:当m足够大时,观测信号的自相关函数仍不为零,则表明在背景噪声中含有周期信号,并且可以估计出该信号的周

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