国外小学数学问题

1、国外小学数学问题解决教学代 钦 哲学博士教授 博士生导师内蒙古师范大学 问题解决指的是从一件事，但完成该任务的方法事先并不清楚。为了找到解答方法，学生必学利用他们的知识。在此过程中，通常他们会对数学有新的理解。问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式。 通过学习如何解决数学问题，学生应该学会思考方法、养成坚持不懈和好奇的习惯，使他们有信心面对在数学课堂外遇到的不熟悉的情境。成为好的问题解决者，无论在日常生活还是工作场合都大有益处。1.问题是数学的心脏。 哈尔莫斯(Halmos)2.我渴望力量，上帝却给困难，让我强壮。我渴望智慧，上帝却给问题，让我解决。我渴望财富，上帝却给了

2、体力和头脑，让我工作。我渴望勇气，上帝却给了危险，让我克服。我渴望忍耐，上帝却改变环境，让我被迫等待。我渴望爱，上帝却给了一个碰到麻烦的人，让我去帮助。我没有得到任何想要的东西，但是我却得到了一切需要的东西。 我想要什么（环球时报2009.08.06）3.数学是锻炼思维的体操。4.数学能够锻炼人的心智。 约翰洛克（John Locke）5.一言以蔽之，曰（数学）有锻炼脑髓之效，宛如筋骨运动之于体育也。第一，与以阶梯预备之数学知识。第二，养成数学思想即精神的锻炼。以第一目的，则数学知识，当深浸润学者之脑髓。其重要之部分，维经年月，尚存在其人之记忆，为必要也。以第二为目的之时，则反之。学者将来忘数

3、学可也，其人尚不失为有数学思想之人。此宛如修体操科者后年虽忘体操术，尚强健。 藤泽利喜太郎6.不是所有的问题都必须找到答案。对于那些最重要是问题而言，提出来就已经意义重大。要了解一个人，与其看他给出的答案，不如看他提出的问题。能够用是或否来回答的问题一般都没什么意思。简单的问题常常需要复杂的解释。害怕提问的人必然也羞于学习。知道如何提问比了解答案更为重要。 问题与答案（环球时报2009.08.13）二、国外数学问题解决教学研究的历史1苏格拉底的“产婆术”与数学问题解决问题解决教学方法源于问题教学法。早在两千多年前，古希腊大哲学家、教育家苏格拉底成功地运用提问技巧引导学生学习，后来还有很多教育家

4、研究了问题解决教学。苏格拉底所创造的问题教学法亦称“产婆术”教学法，其教学步骤是：教师首先向学生提出问题，让学生回答，即使学生回答错了，也不立即纠正，而是根据不正确的答案，补充新问题，使学生的回答前后矛盾，出现谬误。然后逐步引申、归纳，帮助学生纠正，放弃原来的错误见解，提出教师认为是正确的结论。他的问题教学法的优点在于能够激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。但这种问题教学法无论形式，还是本质，都无法与当代的问题教学法等量齐观。苏格拉底产婆术的原型苏格拉底产婆术，古希腊哲学家苏格拉底用于引导学生自己思索，自己得出结论的方法。苏格拉底的母亲是助产婆，他以助产术来形象比喻自己的教学方法。这种方法

5、分四部分：讥讽、助产术、归纳和下定义。 所谓“讥讽”，即在谈话中让对方谈出自己对某一问题的看法，然后揭露对方谈话中的自相矛盾之处，使对方承认自己对这一问题实际一无所知。 所谓“助产术”，即用谈话法帮助对方回忆知识，就像助产婆帮助产妇产出婴儿一样。 “归纳”是通过问答使对方的认识能逐步排除事物个别的特殊的东西，揭示事物本质的普遍的东西，从而得出事物的“定义”。这是一个从现象、个别到普通、一般的过程。 所谓“定义”就是揭示概念的本质属性。 在柏拉图的美诺篇中讲到把一个正方形面积加倍的著名段落里，苏格拉底把这个必然性揭示得淋漓尽致。“这里有一个正方形，”一个朋友对他说，“我要画出一个面积是它两倍的正

6、方形。我画不出来，因为，如果我添上一个同样大小的正方形，面积是变成两倍了，但我得到的是个长方形，而不是正方形；如果我把边长拉长到原来的两倍，我得到的是个正方形，但面积却是原来的四倍，而不是两倍。怎么办？” 苏格拉底并没有力图告诉他答案，而是让一个陪着这位朋友的奴隶发现了答案。 苏格拉底从边长加倍后得到的图形出发，让奴隶在每个正方形上划一条对角线。他指出每个步骤，一步步地让奴 隶发现了由四条对角线作 为四边的图形是个正方形， 其面积正是原来那个正方 形的两倍（因为它是由四 个半正方形组成的）。用 不着复杂的表述，苏格拉 底便在我们眼前展现出一 条直线，就是对角线，其 长度相当于数字 。 我们要记

7、住，苏格拉底并没有力图对一个特别聪明的人表达自己的想法，就是到今天，他也不会在“高等学府”的阶梯教室中作论证。他在对一个奴隶说话，而奴隶是被认为无知但明理的人。他把理解力与知识完全区分开来了。摘自法阿尔贝雅卡尔:睡莲的方程式科学的乐趣,广西师范大学出版社,2001年，第56页。知识不等于智慧。一个真正的哲学家把思想能够给清洁工讲清楚，同样一个好的教师也应该把知识和思想用适当的方法传递给学生。2.杜威关于数学问题解决教学的论述 约翰杜威指出： “思维就是问题解决”；“通过问题解决进行学习”；“做中学” “教学应从学生的经验和活动出发，使学生在游戏和工作中，采用与儿童和青年在校外从事的活动类似的活

8、动形式。”他认为问题解决的过程可以分五步： 第一，学生要有一个真实的经验的情境要有一个对活动本身感兴趣的连续的活动； 第二，在这个情境内部产生一个真实的问题，作为思维的刺激物； 第三，学生要占有知识资料，从事必要的观察，对付这个问题； 第四，学生必须负责有条不紊地展开他所想出的解决问题的方法； 第五，学生要有机会和需要通过应用来检验他的观念，使这些观念意义明确，并且让他自己发现它们是否有效。杜威关于问题解决学习过程及其对反思的观点 （1）（问题的提出）：困惑、迷乱、怀疑。因为我们处在一个不完全的情境中，这种情境的全部性质尚未决定。即感觉到问题的困难性。（2）（分析问题）推测预料对已知的要素进行

9、试验性的解释，认为这些要素会产生某种结果。即，检讨问题，确认问题。确认在何处有什么障碍。（3）（提出假设）审慎调查（考察、审查、探究、分析）一切可以考虑到的事情，解释和阐明手头的问题。即，设定一些可行性的解决问题的策略。）（4）（演绎阶段）详细阐发试验性的假设，使假设更加精确，更加一致，因为与范围较广的事实相符。即，根据推理推敲假设和检验假设，逻辑地组织问题的解。（5）（假设的证明）把所规划的假设作为行动的计划，应用当前的事态中去：进行一些外部的行动，造成预期的结果，从而检验假设。即，验证问题结果的正确性，并用它观察新的题材。3.数学家关于数学问题解决的观点（1）希尔伯特关于问题解决教学的观点

10、 德国数学家希尔伯特指出：“只有一门科学分支能提出大量问题的时候，它才充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。”之后，数学问题明显成为激励数学家推进数学发展的一种原动力。希尔伯特的上述观点对数学教育也具有重要的启发作用，如果在数学教学过程缺乏数学问题，那么这样的教学可能失去很多激励作用。（2）B.雅克阿达玛关于问题解决的观点1945年，法国数学家雅克阿达玛在数学领域中的发明心理学 中说： “数学家们从事数学研究工作，固然已属发明的范畴，数学专业的学生在解决一个几何的或代数的问题时，实际上也与数学家们的发明具有同样

11、的性质。只是两者在程度深浅和水平高低上有着差距而已。” 小学生学习数学取得好成绩或能够解决问题的欢乐与数学家和大学生具有同样的性质。阿达玛把数学发明的整体过程分为四个阶段：准备阶段，此时是有意识的工作，但常常不能得到预期的结果；酝酿阶段，即暂时丢开手头的工作，而去干其它事情，或去休息一下，而无意识思维却已由此而开动起来；顿悟阶段，此时问题的答案或证明的途径已经出乎意料地突然出现了；整理阶段，即将顿悟时所感觉到的那些结果严格地加以证明，并将其过程精确化，同时又可为下一步研究做好必要的准备。（3）波利亚关于问题解决的研究美籍匈牙利数学教育家波利亚(GPolya)是数学问题解决教学研究的先驱，他对数

12、学探索法的研究，为现代数学问题解决教学的研究和发展奠定了必要的理论基础。他的思想主要体现在三部著作怎样解题、数学发现和数学与猜想中。波利亚的“怎样解题表”1944年8月，波利亚出版的怎样解题是世界数学教育名著，该书的开端就提出了“怎样解题表”。“怎样解题表”对数学解题的教学和学习具有重要指导作用。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤。第一，你必须弄清问题。弄清问题。未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者它是多余的？或者是矛盾的？画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？第二，找出已知数与未

13、知数之间的关系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。拟订计划。1.你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？2.看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。3.这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？4.你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？5.你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。6.如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的

14、有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？7.你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三，实行你的计划。实现计划。实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？第四，验算所得到的解。回顾。你能否检验这个论

15、证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？这一步骤是否是正确的？三、发达国家数学问题解决教学的实施1980年全美数学教师理事会(NCTM)公布的指导性文件关于行动的议程对80年代学校数学的建议中明确指出：“20世纪80年代的数学大纲，应当在各年级介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去。”“数学课堂应当围绕问题解决来组织。”“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。”自此，问题解决便受到世界各地数学教育研究者的重视。1989年，美国数学科学教育委员会（MSEB）的一份报告人人关心数学教育的未来中指出：“数学教学应从无数的常规练

16、习转变到发展有广阔基础的数学能力，学生的数学能力必须要求辨明关系、逻辑推理，并能运用各种数学方法去解决广泛的、多种多样的非常规问题。”2000年的美国学校数学教育的原则与标准（NCTM）中提出的问题解决教学目标：1.通过解决问题掌握新的数学知识；2.解决在数学及其他情境中出现的问题；3.采用各种恰当的策略解决问题；4.检验和反思数学问题解决的过程。四、国外小学数学教学中问题解决教学案例分析1.几何教学中的问题解决例1：（“超出多少就缩进多少”的原理）问题：请计算下图中的有影部分的面积。可能出现的解决问题的想法有从整体图形面积中减掉一个圆的面积后余下部分就是所求面积。 从以上思考结果中进一步想出

17、以下方法（拆分法），将减掉的圆看做两个半圆，则得出以下结果。因此所求的面积为103=30（cm2）由于原来的形状很难判断，因此我们在圆上加了一个长方形，把它变成以下图形（图1）。如果图1的图形左右各延长3cm，右侧会出现我们要计算的图形，而左侧就会出现一个长方形。我们可以这样考虑，即右侧伸出多少面积，左侧就会内缩多少的面积。（向右延长3CM也可以，这样从左边减掉阴影矩形面积，就等于原来图形面积。）因此，所求的面积是103=30（cm2）例2：假设苹果50元1个，橘子20元1个，两种水果总共买了12个，花了450元。请问苹果和橘子各买了多少！分析1：如果买的12个都是苹果，总价就是600元，但这种买法超出150元。所以把超出的部分用苹果和橘子的差额30元抵去。15030=5，即把5个苹果换成橘子就可以了。答案就是买了7个苹果和5个橘子。示意图如下：如果买的12个都是橘子，总价就是240元，但这种买法少了210元。所以把减少的的部分用苹果和橘子的差额30元补上。21030=7，即把7个橘子换成苹果就可以了。答案就是买了7个苹果和5个橘子。苹果橘子总金额1206000122406642075450例3 中国古代鸡兔同笼问题的解决方法：设现在有若干只鸡和兔