数学建模电子教材

1、.：.；第一章 数学模型概述1.1 数学模型概述数学模型的历史可以追朔到人类开场运用数字的时代。随着人类运用数字，就不断地建立各种数学模型，以处理各种各样的实践问题。真正开场提出并研讨它是20世纪70年代后，由于它的广泛性与适用性，于是迅速推行开来。大家能够记得，从20世纪80年代起，我国科技界兴起一股不论对什么问题进展研讨，都要建立数学模型的风气。从此不论是经济、法律、医学、农业、交通、军事等领域，数学模型已不再是陌生的名词。在工程领域，电气工程师必需建立所要控制的消费过程的数学模型，以便对控制安装做出相应的设计和计算，才干实现有效的过程控制。气候任务者为了得到准确的天气预告，一刻也离不开根

2、据气候站、气候卫星聚集的气压、雨量、风速等资料建立数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间、空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效的指点临床用药。城市规划者需求建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为指点层对城市开展规划的决策提供科学根据。厂长经理们应该可以根据产品的需求情况、消费条件和本钱、贮藏费用等信息，谋划出一个合理安排消费和销售的数学模型。就是在平常对大学生的综合素质测评、对教师的任务业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最正确方案。对于宽广的科学技术任务者对大学生的综合素质测评、对教师的任务业绩的评定以及诸如访友、采购

3、等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最正确方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实践问题与数学工具之间联络的一座必不可少的桥梁。1.2 数学模型概念什么是数学模型？国外曾有人为它下了一个简单的定义：把实践问题中各变量之间的关系用数学方式表示出来，叫数学模型。由于它的广泛性，这样的定义是难以真正了解它的真实含义的。下面举例来阐明。 1、各种运用题的解过程都是数学模型。小学的数学题可以分为文字题、码字题两类，文字题较难，何况还可以有不同的方法、思绪，这部分就是在建模。码字题是以有算式，只需求求解可看作是模型的求解。有这样一道题：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？用x,y分别表示鸡与兔

4、，可以列出方程 x+y=46 ,2x+4y=128 实践上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解为x=28,y=18,这就是鸡兔同笼问题的答案。2、九大行星的发现过程。太阳系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、海王星和冥王星等九大行星。在人类开展的历史长河中，很早就经过察看留意到了金、木、水、火、土五星与其他星不同，中国历史上的“五行一说也来源于此。在伽利略、哥白尼的太阳中心说确立后，到它们与地球一同是太阳系的行星，不久又发现了天王星，之后就没有单纯依托观测发现其它行星。微积分开展起来之后，人们开场计算太阳系每颗行星的轨道。科学家发

5、现除了天王星之外，其它行星的实际轨道根本吻合，而天王星相差较大，仿佛遭到变化的外力，估计有另外的行星经过万有引力在影响着它的运动。于是根据天王星运动的差别，经过计算确定在天空的某一位置应有一颗行星，这样在确定的区域里去寻觅，终于发现了第八颗行星海王星。后来，有人又用同样方法发行了冥王星。用数学模型的方法找到海王星的事例 ，是人类最初也是最重要的数学模型运用的范例。 3、美国总统竞选的模拟。总统竞选是西方国家政治上的头等大事。早在20世纪30年代美国有人企图用模拟的方法去预测一下评选结果，于是国家出资成立一个专门的预测机构。经过搜集资料，设计不同的模拟方法，进展预测。开场没有运用计算机，后来运用

6、计算机，前后预测了十几届的总统选举，都收到非常好的效果。首先选举结果没有预测错，其次票数也根本一致，这里主要是采用模拟模型。4、内燃机。从20世纪80年代初起，国内兴起优化设计的风气，各行各业的设计部门纷纷采用各种方法对本人的设计进展优化。日本在这方面走在前面，各种产品小巧而精致，性能又好。内燃机设计行业首先留意到，内燃机的性能主要由进气过程、排气过程而决议，而两个过程由凸轮来完成，那么凸轮的外形设计自然是内燃机性能的主要决议要素了。但凸轮有许多个，每一条曲线的外形都影响性能，而性能也由许多目的构成。这比n维变量m个目的函数的非线性规划难得多，虽然许多人在这些方面做了大量任务，但是本质的问题数

7、学模型的建立没有处理。至今仍是运用领域的一个有待处理的实践问题。 又有人提出一种方法，排气管里的压力波能充分决议整机的任务性能，经研讨这个压力波满足热传导方程，而不同的设计对应着方程中参数a与初始条件、边境条件的改动 。 反过来确定a与一组初始条件、边境条件也就相当于进展了一个设计。于是采用计算机模拟这个热传导方程的开展过程，在反复调整边境与初始条件在模拟，寻觅最优的性能就是一种全新的内燃机优化设计方法。 5、冲压过程的有限元模型。冲压是汽车、迁延机等行业非常重要的加工手段，即板材在压力下加工成型。模具是虫牙行业最重要的设备。本钱最高，远超出常人的料想。一套模具在设计、制造出来以后，它的性能曾

8、经决议，不能更改。因此模具的设计与制造都是责任很大的任务，技术性要求很高，能否在设计时用计算机模拟一下所设计的模具的任务性能呢？这是当今世界上公认的难题之一。我国年轻学者胡平教授潜心研讨近十年，根本上处理了这一难题，世界上公认他的成果处于首位。他是采用有限元刚度矩阵胜利模拟了瞬间的钢板变形，指出危险应力区与详细的应力值，这样反复修正设计、反复模拟，即可得到性能优良的模具设计。6、四处都有数学模型的问题。不是只需那些大型、中心的问题才有数学模型问题。在我们身边四处都是需处理的问题。20年前中央发下的售房的价钱通知中，有这样一个公式，根据房子本钱价、运用年限以及工龄等可算出应售出的价钱。公式中有一

9、括号，括号内是加减运算，其中一项为哪一项工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子运用年限构成的“成新率，含义是按运用年限对房屋进展折旧。但是有心人马上能看出公式有缺陷；工龄也被折旧了！本来对这样一个简单的公式，只需对大家都公平，没有仔细琢磨，也都知道这不是出于数学任务者之手，不用求全指摘。可偏偏不是这样，明显看出这种公式对工龄越长、住房越久的人越不公平。从这个问题更看出普及建模才干的必要性。 从以上 我们可以看出数学建模的威力，它正在浸透在科学研讨、工、农业消费、我们日常生活等各方面。那么数学建模的准确定义是什么呢？ 数学建模是运用数学的言语和工具，对部分现实世界的信息景象、数据加以翻译、归纳的

10、产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预测、决策或控制，再经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必需经受实践的检验，完成实际实际实际这一循环，假设检验的结果是正确或根本正确的，即可用来指点实践，否那么，要重新思索翻译、归纳的过程，修正数学模型。作为一种数学思索方法，数学模型是对现实的对象经过心智活动构造出的一种能抓住其重要而且有用的经常是笼统化的或者是符号的表示。更详细的，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，动用适当的数学工具得到的一个数学构造。它或者能解释特定景象的现实性态，或者能预测对象的未来情况，或者能提供处置对象

11、的最优决策或控制。数学模型的分类方法有多种，下面引见常用的几种分类。1按照建模所用的数学方法的不同，可分为：人口模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等2按照数学模型运用领域的不同，可分为人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。3按照人们对建模机理的了解程度的不同，有所谓的白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这是把研讨对象比喻为一只箱子里的机关，我们要经过建模过程来提示它的微妙。白箱主要指物理、力学等一些机理比较清楚的学科描画的景象以及相应的工程技术问题，这些方面的数学模型大多曾经建立起来，还需深化研讨的主要是针对详细问题

12、的特定目的进展修正与完善，或者是进展优化设计与控制等。灰箱主要指生态、经济等领域中遇到的模型，人们对其机理虽有所了解，但还不很清楚，故称为灰箱模型。在建立和改良模型方面还有不少任务要做。黑箱主要指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型机理知之甚少，甚至完全不清楚，故称为黑箱模型。人们对其在工程技术和现代化管理中，有时会遇到这样一类问题：由于要素众多、关系复杂以及观测困难等缘由，人们也经常将它作为灰箱或黑箱模型问题来处置。应该指出的是，这三者之间并没有严厉的界限，而且随着科学技术的开展，情况也是不断变化的。1按照模型的表现特性可分为：确定性与不确定性模型，不确定模型包括随机性与模糊性模型；静态模型

13、与动态模型；离散模型与延续模型；线性模型与非线性模型。1.3 建立数学模型的方法与步骤现实世界中的实践问题是多种多样的，而且大多比较复杂，所以建立数学模型需求哪些步骤并没有固定的方式，建立数学模型的方法也是多种多样的。但是建立数学模型的方法和步骤也有一些共性的东西，掌握这些共同的规律，将有助于数学模型的建立。一、数学建模的方法数学建模的方法按大类来分，大体上可分为三类：1、机理分析法机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识、阅历等，分析研讨对象中各变量要素之间的因果关系，找出反映其内部机理规律的一类方法。建立的模型常有明确的物理或现实意义。运用这种方法的前提是我们对研讨对象的机理应有

14、一定的了解，模型也要求具有反映内在特征的物理意义。机理分析要针对详细问题来做，因此没有一致的方法。2、测试分析法 测试分析法是一种统计分析法。当我们对研讨对象视为一个“黑箱系统，对系统的输入、输出数据进展观测，并以这些实测数据为根底进展统计分析，按照一定准那么找出与数据拟合最好的模型。当我们对对象的内部规律根本不清楚，模型也不需求反映内部特征时，就可以用测试分析建立数学模型。测试分析有一套完好的数学方法。3、综合分析法对于某些实践问题，人们常将上述两种建模方法结合起来运用，例如用机理分析法确定模型构造，再用测试分析法确定其中的参数。二、数学建模的根本步骤 1、模型预备对原始实践问题进展调查了解

15、，笼统出言语表达的模型及相应的数据条件等，常称为原始模型。建模竞赛时常换为问题重述实践上笼统出原始模型时经常已对模型的进一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪种类型模型等。此步骤留意要将一切搜集到信息表述出来，不得脱漏。2、 模型的假设 这是非常关键的步骤，不同的假设将导致不同的模型。利用合理的、必要的假设，可简化模型使无法下手的问题易于处理。但过度的简化而得到模型能够无适用价值，舍不得简化又能够导致得到一个无法求解的模型或模型的解非常复杂，以致无法运用。究竟简化到什么程度要看问题的性质与建模的目的以及建立模型中的某些需求。这里要提示留意的是：对于一个假设，最重要的是它能否符合实践情况，而不是

16、为理处理问题的方便。 通常做出合理假设的根据一是处于对问题内在规律的认识，二是对数据或景象的分析，也可是两者的综合。作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发扬想象力、洞察力和判别力，擅长区分问题的主次，抓住主要要素，舍弃次要要素，尽量使问题简化比如线形化、均匀化等。阅历在这里也常起重要作用 有些假设在建模过程中才会发现。因此在建模是要留意调整假设。 3 、模型的建立 根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学构造，是建立数学模型的第三步。为了完成这项数学模型的主体任务，人们经常需求宽广的运用数学知识，

17、除了微积分、微分方程、线形代数及概率统计等根底知识外，还会用到诸如规划论、排队论、图与网络及对策论等。推而广之，可以说任何一个数字分支都能够运用到建模过程中。当然，这并非是要求他对数学的各个分支都知晓，现实上，建模时还有一个原那么，即尽量采用简单的数学工具，以便使更多的人了解和运用。当然建模时需求有灵敏、清醒的头脑和发明性思想的才干。4 、模型的求解 根据模型的性质，选择适当方法去解。能够是解析方法，也可是求近似解。再根据建模目的对系统进展预测，决策与控制。5、模型的检验 把上述结果翻译回原问题，并与实践数据进展比较，检验模型的适用性与合理性。假设模型不适用，必需从模型假设那里重新开场，直到得

18、到可用模型。6、模型的推行在一个领域里处理问题时建立的模型，经常简单的稍加处置推行到其他领域。讨论一下这方面内容常可添加模型的运用价值。1.4 数学建模实例1 、动物数量预测 动物繁衍是一个非常复杂的问题，但是假设把影响繁衍的许多次要要素忽略掉或简单化，可以用微分方程来描画动物繁衍的近似规律，从而预测动物的未来数量。 如今思索一种与外界完全隔绝的某种动物，这里所说的与外界完全隔绝是指他们中间除了本族的出生和死亡之外，既无迁出也无迁入。设在时间内这种动物的数量为，并设他们的出生率与死亡率分别为与。假设他们的出生数与死亡数都和时的动物数及时间成正比。如今讨论动物数与时间之间的函数关系。 ：设时间间

19、隔内动物数量的增量为，由题意，在时间内这类动物的出生量与死亡量分别为与。根据增量=出生量-死亡量 容易得到 即 假设处始条件为，解上变量可分别方程， 得 那么 或写成 从上式看出，假设，那么动物数量将无限添加；假设，那么动物数量将逐渐减少，趋于灭亡。这样的结论是非常天真的，现实决不会如此简单。为此生物学家及数学家根据统计数据对作了修正，使节果能更符合现实。比如，设 ，式中均为正常数。上两式阐明出生率与死亡率已不再是常数。而是的线性函数，前者均匀随减小，后者均匀随添加。这时方程1-1化为令 那么上式化为即 积分上式留意到 得 或其中是 时的动物数，不论初值多少，当 时，的极限总为 。 可以用实验

20、的方法对不同的问题，像人口的增长、传染病的发生率等来确定1式的图形。这个图形称为Logistic曲线。所以2004年的动物数量是174(百万)只。 2、在越野赛中取胜的方法越野赛在湖边举行，场地情况如书中 图1-2：出发点在陆地处，终点在湖心岛处，南北相距5km，东西7km，湖岸位于点南侧km，是一条东西走向的笔直长堤。竞赛中运发动可自行选择道路，但必需先从出发到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点。知运发动甲跑步速度为，游泳速度为。问他们应该在长堤的何处下水才干使竞赛用时最少？以长堤作为轴建立直角坐标系，坐标分别是，。设甲在轴上处下水，为使耗时最少，运发动在陆上和水中的运动道路应该都取直线。跑

21、步耗时：游泳耗时：全程总耗时：求 ，使 到达极小。 1-5 令 ，得 1-6 利用1-6可解出驻点 。计算可知，类似可得 比较端点与驻点处的值，可知 时到达最小值。因此，甲应该在处下水，才干使竞赛全程用时最少。第二章 数学规划模型2.1 线性规划模型数学规划模型的普通表达式： 其中为目的函数，为约束函数，为可控变量，为知参数，为随机参数。 数学规划分为线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划等十几种。一线性规划的普通方式及其解的概念1.线性规划:通常把目的函数及约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划，普通可表示为： ，那么线性规划模型1可表示为矩阵的方式：2. 线性规划的可行解:满足约束条件

22、的解；3.线性规划的最优解:使目的函数到达最优的可行解。二软件求解命令求解线性规划的软件很多，下面引见Mathematica和MATLAB软件。1Mathematica命令可用于求解各种方式线性规划命令。 命令输入格式 c=c1x1+c2x2+cnxn；m=a11x1+a12x2+a1nxn=b1，am1x1+am2x2+amnxn=bm；ConstrainedMinc，m，x1,x2, ,xn 用于求极小或Constrained-Maxc，m，x1,x2, ,xn用于求极大2MATLAB命令命令输入格式它用于求解线性规划模型：，x0是算法迭代的初始点可恣意取，nEq表示等式约束的个数。三、模

23、型示范 三 模型示范例1 、 消费组织与方案问题某工厂方案消费甲、乙两种产品，主要资料有钢材3600kg、公用设备才干3000台时。资料与设备才干的耗费定额以及单位产品所获利润如下表所示，问如何安排消费，才干使该厂所获利润最大只需建立数学模型。单位产品消 产 甲件 乙件 现有资料与备 资料与设备 耗定额品 设备才干钢材kg 9 4 3600铜材kg 4 5 2000设备才干台时 3 10 3000单位产品的利润元 70 120建模过程： 设甲、乙两种产品方案消费量分别为，(件)，总的利润为(元)。求变量，的值为多少时，才干使总利润最大？建立数学模型： 例2、营养配餐问题每种蔬菜含有的营养素成份

24、是不同的从医学上知道每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养室在制定下一周菜单时，需求确定表61中所列六种蔬菜的供应量，以便使费用最小而又能满足营养素等其它方面的要求。规定白菜的供应一周内不多于20千克，其它蔬菜的供应在一周内不多于40千克，每周共需供应140千克蔬菜，为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求，问在下一周内该当供应每种蔬菜各多少千克？建模过程：设分别表示在下一周内该当供应的青豆、胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量，那么费用的目的函数为：建立数学模型：0 x140，0 x240，0 x340，0 x420，0 x540，0 x640运用MATLAB程序求解得青豆40，胡罗

25、卜40.0000，菜花0，白菜20.0000，甜菜0，土豆40，最小费用560.0000。 例3、背包问题有件物品，编号为。第件重为，价值为元。今一装包者欲将这些物品装入一包，其质量不能超越，问应装入哪几件价值最大？建模过程： 设， 建立模型： 例4、投资场所的选定相互排斥的方案某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置点可供选择。规定 在东区，由三个点中至多项选择两个； 在西区，由两个点中至少选一个；在南区，由两个点中至少选一个。如选用点，设备投资估计为元，每年可获利润估计为元，但投资总额不能超越元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？建模过程：引入变量，令 .建立模型： 2.2

26、非线性规划模型在数学规划问题中，当目的函数或约束函数中至少有一个是非线性函数时称这类问题为非线性规划。一、非线性规划的普通规范方式1.非线性规划：设均为上的实值函数，我们称为非线性规划的规范普通方式。2.可行域:假设令 称为可行域，那么可写成简单方式3.无约束问题与约束问题：当时，称为无约束问题，否那么称为约束问题。二模型示范例5、 某装饰资料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。普通来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进展了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰资料公司计划做广告，投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据阅历，广告费与销售增

27、长因子关系见表2。如今的问题是装饰资料公司采取怎样的营销战略预期的利润最大？表1 表2建模过程：设x表示售价单位：元，y表示预期销售量单位：桶，z表示广告费单位：元，k表示销售增长因子。投入广告费后，实践销售量记为s， 获得的利润记为P单位：元。由表1易见预期销售量y 随着售价x 的添加而单调下降，而销售增长因子k在开场时随着广告费z的添加而添加，在广告费z等于50000元时到达最大值，然后在广告费添加时反而有所回落，为此可用Mathematica画出散点图。运转之后，可显示图1，图2 图-1 图-2从图1和图2易见，售价与预期销售量近似于一条直线，广告费与销售增长因子k近似于一条二次曲线。为

28、此可令： 系数是待定参数。建立模型： 模型求解： 首先利用Mathematica计算12中的参数，并画出散点图和拟合曲线。文件名：ch622.ma f3=Fitd1,1,x,x f4=Plotf3,x,1,7Showf1,f4f5=Fitd2,1,x,x2,xf6=Plotf5,x,0,70000Showf2,f6运转之后，显示Out3= 50422.2-5133.33xOut5=1.01875+0.0000409226x-4.25595 10-10 x2 图-3 图-4 及拟合曲线图-3和图-4。图-3 即： 其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅能求极小值，为此将优化模型转化为

29、且=5.9113，=33113，函数到达最大值16670。2.3 多目的规划模型一.多目的规划模型的普通方式为称之为多目的规划问题的数学模型。假设记那么上述模型可简记为二.模型示范 例1、投资收益和风险问题这是全国大学生数学建模竞赛的A题。市场上有种资产股票、债券、 供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务分析人员对种资产进展评价，估算在这一时期内购买有平均收益率为 ，并预测出购买的损失率为。思索到投资分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买假设干种资产时，总体风险可用所投资的中的最大一个风险来度量。购买要付买卖费，费率为,并且当购买额不超越给定值时，

30、买卖费按购买计算不买当然无须付费。另外，假定同期银行存款利率是,且既无买卖费又无风险。 1知时的相关数据如下：试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买假设干种资产或存银行生息，使净收益尽能够大，而总体风险尽能够小。2试就普通情况对以上问题进展讨论，利用以下数据进展计算。%元元9.6422.118118118.5543.240740749.4606.042842823.9421.55495498.11.27.627027014393.439739740.7685.617817831.233.433.122022033.653.32.747547536.8402.924824

31、811.8315.119519595.55.732032035462.72672679.45.34.532832815237.6131131建模过程:1. 模型的假设及符号阐明1模型的假设在一个时期内所给出的 坚持不变。在一个时间内所购买的各种资产如股票、证券等不进展买卖买卖，即在买入后不再卖出。每种投资能否收益是相互独立的。在投资过程中，无论盈利与否必需先付买卖费。2符号阐明元：公司现有投资总金额；：欲购买的第种资产种类其中=0表示存入银行；：:公司购买金额； ：公司购买的平均收益率；()：公司购买的平均损失率；()：公司购买超越时所付买卖费率。设购买的金额为，所付的买卖费,令. 投资额相当

32、大，所以总可以假定对每个的投资 ,这时1式可简化为 对投资的净收益 3对投资的风险 4对投资所需资金投资金额与所需的手续费之和即 (5)当购买的金额为，投资组合的净收益总额 6整体风险： 7资金约束： 82.数学模型为使净收益总额Rx尽能够大，而整体风险Qx又尽能够小，那么该问题的数学模型可归为多目的规划模型，即 9 假定投资者对风险收益的相对偏好参数为，那么模型9可转化为： 10将总收益与整体风险相比，那么模型9可化为： (11)2.4 动态规划模型 一最短路问题及其解法 如以下图所示，称它为线路图网络图。B1B2C1C2C3C4D1D2D3EA53136876683533843221问题求

33、一条从起点A到终点E的连通弧，使其总弧长最短最短路问题。2意义最短路问题的含义是很广泛的，如点代表加油站，弧代表管道，弧长代表铺设管道的费用。问题就变成让我们设计一条从起点A到终点E的管道，使其总费用最少。3特点 从A到E整个过程可分为从A到BB有二种选择B1,B2从B到CC有四种选择C1，C2，C3，C4 ，从C到DD有三种选择D1，D2，D3，在从D到E四个阶段，是一个多阶段决策问题。 每个阶段都有起点，用表示第K阶段的起点，并称为形状变量：每个阶段都有终点，前一段的终点就是后一段的起点。从每个起点出发形状出发，都有假设干选择例如从B1出发有三种选择，用 表示从第K阶段的形状出发所作的选择

34、并成为决策变量。决策变量全体成为决策集合允许决策集合，即为。假设用表示从第K阶段的形状出发终点的最短弧长，或者用表示从起点到第K 阶段的形状的最短弧长，那么问题就变成求或者求出。 4解法 逆序解法：从后向前逐渐求出各阶段到终点E的最短道路与最短弧长，最后求出即从最后一个阶段K=4开场。逆序解法：求 K=3,有4个形状，每个形状又有两个决策可选取，所以有最短弧长为9，途径为 决策为 。类似地有K=2，有2个形状，每个形状又有3个决策可选，所以有 或 那么从A到E的最短弧长为14，途径为 。 决策为 上述解法的四个步骤可归纳为下述地推公式 其中。顺序解法：从前逐渐求出从起点A到个阶段起点的最短弧长

35、及其对应的途径。最后求出 。二动态规划的根本概念1. 多阶段决策问题，形状变量，允许决策变量，决策集合，最优函数 这些概念在前面的例中都已引见过不再反复。需补充阐明的是形状变量必需满足无后效性即马尔科夫性条件。即：给定某一阶段的形状，以后各阶段的行进不受以前个阶段形状的影响。 2. 阶段目的：用表示形状和形状间对应的目的，并称为阶段目的。 3. 战略：当每一阶段的战略都确定以后，由初始形状出发到终止形状每阶段的决策所构成的决策序列就成为一个整体战略，简称战略。记为 ，而 称为子战略。到达最优的战略成为最优战略。4.形状转移方程：把过程由一个形状变到另一个形状的变化叫做形状转移。它与形状有关，由

36、与战略有关。逆序时，假设第K阶段的形状和决策都确定以后，第K+1阶段的状态就随之确定，那么把这个对应称为形状装移方程，记为 。最短路问题的形状装移方程是。5.目的函数：用来衡量所实现过程优劣的一种目的成为目的函数，用或表示。目的函数有和与积二种方式。又分逆序和顺序二种情形。即 逆序情形顺序情形6.动态规划方程：1逆序情形： 2顺序情形7.最优化原理：从最短路问题我们看到他具有这样的特点，假设最短道路过第K阶段的形状，那么从出发到达终点的这条道路，对于从出发到达终点的一切道路来说，也是最短的。三建立动态规划模型的根本步骤 1将问题的过程恰当地分成假设干阶段，普通可按问题所处的时间或空间进展划分，

37、并确定阶段变量。如。 2正确选择形状变量并满足无后效性条件。 3确定决策变量及允许决策集合。 4写出形状转移方程。 5明确目的函数或与阶段目的之间的关系以及边境条件。 6写出动态规划方程数学模型。第三章 微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解3.1 一阶微分方程初值问题数值解一、两个模型1、饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一同起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否平安回到巢穴？解 首先建立坐标系，兔子在O处，狼在A处。由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一

38、时辰，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹是y=f(x)，那么有 ，又因狼的速度是兔子的两倍，所以在一样时间内狼走的间隔 为兔子走的间隔 的两倍。假设在某一时辰，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，那么有整理得到下述模型这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹因，所以狼追不上兔子。2、尸体冷却模型受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4，室温在几个小时内一直坚持21.1。此案最大的嫌疑犯张某声称本人是无罪的，并有证人说：“下午张某不断在办公室上班，5:

39、00时打完后就分开了办公室。从张某到受害者家凶案现场步行需5分钟，如今的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。解：首先应确定凶案的发生时间，假设死亡时间在下午5点5分之前，那么张某就不是嫌疑犯，否那么不能将张某排除。设T(t)表示t时辰尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，那么T(0)=32.6，T(1)=31.4。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37的时辰，进而确定张某能否是嫌疑犯。人体体温受大脑神经中枢调理。人死亡后体温调理的功能消逝，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温

40、度的变化律与他同周围的温度差成正比。即 k是常数，分别变量积分得： 由T(0)=21.1+a=32.6 得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4 得e-k115/103，即k=0.11，所以 T(t)=21.1+11.5e-0.11t .当T=37时，有t=-2.95 小时-2小时57分，8小时20分2小时57分5小时23分。即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。二、一阶微分方程初值问题数值解1、导入课程：微分方程的定解问题中着重思索的一阶方程的初值问题函数满足利普希茨条件：3-1的解存在并且独一。常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实践

41、问题中主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点上的近似值相邻两个节点的间隔 称为步长，节点为初值问题3-1的数值解法都采用提高式，即只需给出用知信息就能给出计算的递推公式。2、欧拉方法的递推公式：它的根本思想是在小区间上用差商替代导数，而方程右端函数中的在小区间的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉公式。向前欧拉公式：n=0,1,2. 1被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。2向后欧拉公式： 2被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。3梯形公式：n=0,1,2, (3)被称作梯形公式。4改良的欧拉公式: (4)被称作改良的欧拉公式。例1、求解初值问题 3.3解1向前欧拉公式

42、的方法详细方式为：取步长h=0.1，计算结果见表31。0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.73212用改良的欧拉公式为仍取h=0.1，计算结果比较见表32 0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41

43、.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.73213、Runge-kutta(龙格库塔)方法它的根本思想是将在x处进展泰勒展开，并取其前面几项来近似而得到公式：由上式产生的迭代公式：假设，那么称以上述公式为P阶公式，P的大小反映出精度的高低。二阶Rungekutta公式(5)其中为待定系数，它满足：上式被称作是二阶RK公式。四阶Rungekutta公式 (6)其中待定系数共13个，由于计算复杂，直接给出一组的值，得 (7)称作四阶R-K公式。例3.2 设取步长h=0.2，从x=0直到x=1用四阶龙格库塔方法求解初值问题(3-3)。解

44、 四阶龙格-库塔公式表3-3列出计算结果，表中仍表示准确解。 表3-30.21.18321.18320.41.61251.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321比较例3.3和例3.2的计算结果，显然以龙格库塔方法的精度为高。值得指出：龙格库塔方法的推导基于泰勒展开方法，因此它要求所求的解具有较好的光滑性质。假设解的光滑性差，运用四阶龙格库塔方法求得的数值解，其精度能够不如改良的欧拉法，实践计算时，我们该当针对问题的详细特点选择适宜的算法。3.2 猪的最正确销售与天然气储量问题一、猪的最正确销售时机问题：1、问题的提出：对于猪的商业性豢

45、养和销售，人们总是希望获得最大的利润，在市场需求不变的情况下，假设我们不思索猪的豢养技术、程度，猪的类型等要素的影响，那么影响销售利润的主要要素，就是销售时机问题，由于随着猪的生长，单位时间耗费的豢养费用逐渐增多，而猪的体重增长却逐渐变慢，因此对猪的豢养时间过长是不合算的。假定一头猪在开场豢养时的分量为x0，在豢养后恣意时辰t的分量为x(t)，对于某一种类的猪，它的最大分量假定为X0，猪的最小出卖体重为xs，相应的豢养时间为ts。一头猪从开场豢养到时辰t所需的费用为y(t)，同时我们假定反映猪体重变化速度的参数为，猪在到达最大体重后，单位时间的豢养费为y，反映豢养费用变化大小的参数为，请根据上

46、面的假设，建立起猪的最正确销售时机的数学模型，并用下面所给的数据验证他的模型。假设X0=200kg，xs=75kg，=0.5kg/天，猪的市场销售价设为c=6元/kg，=1.5元/天，=1元/天，x0=5kg。2、问题分析：由于猪在进展豢养时已具有一定的体重，而其体重的添加随豢养时间的延伸逐渐减慢，因此由Logistic模型可得；又由于猪的体重添加，单位时间耗费的豢养费用就越多，到达最大体重后，豢养费用为常数，所以有，因此，得到微分方程：求解可得： 1养猪能否获利，主要看猪从出生到ts时，假设出卖能否可以获利，因此，获利的充要条件为： 2其中c0为仔猪的价钱。由1式可得：，解之可得：，将1，2

47、式代入可得： 3所以只需3式成立，豢养就会获利。设猪的最正确出卖时机为t*，由1式求导可得： 4由盈亏平衡原理：即单位时间内由猪添加体重所获得的利润与耗费的豢养费用相等，可得由4式可得：，解之可得。假设时，故猪应在时出卖。假设时，故猪应在时出卖由于猪必需长到xs。猪的最正确销售时机问题的计算。下面给出Mathematica计算程序：%最正确销售时机ch411%文件名：ch411.mX=200.0;xs=75.0;x0=5.0;c=6.0;alpha=0.5;bet=1.0;gama=1.5;temp=gama*X/(X-xs)-(c*alpha+bet);t=iftemp0,X/alpha*L

48、og(c*alpha+bet)*(X-x0)/(gama*X),X/alpha*Log(X-x0)/(X-xs)执行后输出Out1=True,382.205,177.874即猪的最正确出卖时间为豢养到382天左右。3.3 天然气储量问题一、 天然气储量问题1 、 问题的提出:天然气资源是现代社会重要的根底能源之一，应合理的开发和利用。对开发公司而言，准确地预测天然气的产量和可采储量，一直是一项重要而又困难的任务，下面是某天然气公司在19571976年20年间对某气田产量的统计资料。 某气田1957年至1976年产量表年 度1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1

49、964 1965 1966产量108m3 19 43 59 82 92 113 148 151 157年 度1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976产量108m3 158 155 109 89 79 70 60 53 45试根据所给的数据资料，建立起该气田产量的预测模型，并验证所建立模型的合理性。2、模型假设及符号阐明1假设该气田的产量是延续的，没有阶段性停产景象。2假设所提供的数据是正常消费情况下，气田的产量。3假设没有因不测事故或自然灾祸呵斥停产或减产的情况。4假设rt为天然气产量的增长率。5假设Nt为天然气田的累积产量。6假设Q为

50、气田的年产量。7假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间tR。3、问题分析及数学模型根据所给的实践问题，预测气田的产量和可采储量，在这方面，目前国内外的方法很多，但各种预测方法中有一种简单而适用的指数增长模型，它是自创英国人口学家Malthus马尔萨斯于1798年提出的人口增长模型，而得到的。假设假设天然气产量的增长率为rt，它是时间t的延续函数。气田的累积产量设为Nt，那么它们满足如下的关系：而气田的年产量，于是上述方程变为：有统计资料显示，气田的每年产量与累积产量之比与气田的开发时间t存在如下关系，即 5或写成：，其中：假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间为tR，由上面的分析可得到

51、方程：解之可得 ： 6对上式求导预测模型为 74 、 模型的分析与计算1模型3中a , b的计算由于，所以关键问题在于求出A，B的值。由1式，设，其中为第i年的产量，为第i年之前的累积产量，时间t以年为单位，那么由所给数据可得根据线性回归的最小二乘估计，令为使LA，B最小，取L分别关于A，B的偏导数，并令它们为0。解此方程可得 其中： 从而。6模型7中NR的计算对2式两边取常用对数可得 ： 8其中：。由8式和所给的数据，建立回归方程同上，可求得、，从而计算出油田的可采储量略。3模型的求解将根据上述求得的a，b，NR的值代入模型67式便可计算出相应年份累积产量Nt和年产量Q的预测值。气田储量的m

52、athematica计算程序：%气田储量ch42%文件名：ch42.mdata1=19.0,43.0,59.0,82.0,92.0,113.0,.0,148.0,151.0,157.0,158.0,155.0,.0,109.0,89.0,79.0,70.0,60.0,53.0,45.0;data2=Table0,n,20;i=2;Fordata21=data11,i=20,i+,data2i=data2i-1+data1idata3=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,data3i=i,Log10,data1i/data2iFitdata3,1,t,taa=-0.02

53、15995;bb=0.0809426;a=10aa;b=Log10.0*bb;c=a/b;data4=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,data4i=Exp-b*i,Log10,data2iFitdata4,1,x,xalpha=3.36832;bet=2.35678;Nr=10alpha;Qpt_:=a*Nr*Exp-c*Exp-b*t-b*t;Npt_:=Nr*Exp-c*Exp-b*t;data5=TableQpt,t,1,20;data6=TableNpt,t,1,20;compdata1=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,com

54、pdata1i=data1i,data5i;compdata2=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,compdata2i=data2i,data6i;f1=ListPlotdata1;f2=PlotQpt,t,0,20;f3=ListPlotdata2;f4=PlotNpt,t,0,20;Showf1,f2Showf3,f4MatrixFormcompdata1MatrixFormcompdata2执行后输出A=-0.0215995 B=0.0809426NR=10alpha alpha=3.36832实践值与预测值对照表年份TaQ108m3/aNP108m3实践值预

55、测值实践值预测值19571958195919601961196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976123456789101112131415161718192019.043.059.082.092.0113.0.0148.0151.0157.0158.0155.0.0109.089.079.070.060.053.045.026.67445.45768.60393.527117.186.899150.897152.492159.935156.116148.242.580125.282112.29899.35186.9

56、4775.40964.91455.53447.26519.062.0121.0203.0295.0408.0546.0694.0845.01002.01160.01315.01452.01561.01650.01729.01799.01859.01912.01957.069.365126.117207.160312.745440.207584.626739.855899.5521057.9701210.4303.5201485.0501603.8601709.6601802.7501883.8401953.9102021.0402065.350从结果看计算比较准确。3.4 最优捕鱼战略问题的提

57、出：这是1996年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：为维护人类赖以生存的自然环境，可再生资源如渔业、林业等资源的开发必需适度。一种合理、简化的战略是，在实现可继续收获的前提下，追求最大产量或最正确效益。思索对某种鱼的最优捕捞战略：假设这种鱼分4个年龄组：称一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均分量分别为5.07，11.55，17.86，22.99克；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.81/年；这种鱼为季节性集中产卵繁衍，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1

58、龄鱼条数与产卵总量n之比1.221011/(1.221011+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期的前8个月内进展捕捞作业。假设每年投入的捕捞才干如鱼船数、下网次数等固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不防称为捕捞强度系数。通常运用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1建立数学模型分析如何实现可继续捕捞即每年开场捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，并且在此前提下得到最高的年收获量捕捞总分量。2某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的消费才干不能遭到太大破坏。

59、知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1，3.29109条。假设仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的战略才干使总收获量最高。2、 模型假设及符号阐明1假设只思索一种鱼的繁衍和捕捞，鱼群增长过程中不思索鱼的迁入与迁出。2假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生。3假设3、4龄鱼全部具有生殖才干，或者虽然雄鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差别。4假设产卵期鱼的自然死亡率发生于产卵之后。5假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼。6假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强度系数坚持不变，

60、且捕捞只在前八个月进展。7假设t时辰i龄鱼的数量为。8假设第k年初i龄的数量为；第k年底i龄鱼的数量为i=1，2，3，4。9假设鱼的自然死亡率为r；4龄鱼的平均产卵量为c。10假设第i龄鱼的平均分量为Mii=1，2，3，4。11假设第k年度鱼的产卵总量为。12假设对第i龄鱼的捕捞强度系数为bi；对i龄鱼的年捕捞量为aii=1，2，3，4。13假设年总收获量为M，即M=M3a3+M4a4。14假设5年的总收获量为MM，即。3 问题分析及数学模型由知条件，可得，E为捕捞努力量，r为自然死亡率，在t，t+t内，根据死亡率的定义，由于不捕捞1、2龄鱼，所以变形可得 1解得。对于3、4龄鱼由于捕捞在前8