高中数学之函数知识点总结集大成版

1、学员姓名 ： 年 级： 高三 课时数：辅导科目 ： 数学 学科教师： 乐征楠学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题 函数的综合性质授课时间：备课时间： 教学目标基础知识的掌握，解题能力的培养重点、难点函数综合性质的判断与运用考点及考试要求考纲要求教学内容函数知识点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切

2、函数 余切函数 反三角函数的定义域函数的定义域是 ，值域是，函数的定义域是 ，值域是 ，函数的定义域是，值域是.函数的定义域是，值域是.当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域义域是 。 复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。例 若函数的定义域为，则的定义域为 。4、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数的值域。3、判别式法对二次函数或

3、者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面。下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数，的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法

4、中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数的值域。8 数形结合法例：已知点在圆上，例求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点到定点间的距离之和。由上图可知：当点在线段上时，当点在线段的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例:求函数的值域解：原函数可变形为： 上式可看成轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， 故所求函数的值域为。9 、不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：10 倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒

5、过来之后，你会发现另一番境况例 求函数的值域多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂 6. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解x；互换x、y；注明定义域） 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人

6、提供了大方便。请看这个例题：(2004.全国理)函数的反函数是（ B ）ABCD7. 反函数的性质 反函数性质：反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的对应原函数中的）反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的对应原函数中的）反函数的图像和原函数关于直线对称 互为反函数的图象关于直线对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数，则方程的解_.8. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得，找出之间的大小关系可以变形为求的正负号

7、或者与1的关系(2)参照图象：若函数的图象关于点对称，函数在关于点的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数的图象关于直线对称，则函数在关于点的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数与(是常数)是同向变化的函数与(是常数)，当时，它们是同向变化的；当时，它们是反向变化的。如果函数同向变化，则函数和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数同向变化，则函数和它们同向变化；如果负值函数同向变化，则函数和它们反向变化；（函数相乘）函数与在的同号区间里反向变化。若函数，与函数，或同向变化，则在上复合函数是递增的；若函数,与函数，或反向变化，则在 上复合函数是递

8、减的。（同增异减）若函数是严格单调的，则其反函数也是严格单调的，而且它们的增减性相同。都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减 9. 函数具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 , ,判断函数奇偶性的方法定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

9、复合函数奇偶性奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶10. 你熟悉周期函数的定义吗？ 函数，T是一个周期。） 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期. 推导：，同时可能也会遇到这种样子：,或者说.其实这都是说同样一个意思：函数关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，,或者说就都表示函数关于直线对称。 11. 你掌握常用的图象变换了吗？ 联想点, 联想点, 联想点, 联想点, 联想点, 联想点, 注意如下“翻折”变换： 12. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (为斜率，为直线与轴的交点) 的双曲线。

10、应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！ （注意底数的限定！） 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）13. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了代y=x，令x=0或1来求出f(0)或f(1)求奇偶性，令y=x；求单调性：令x+y=x1 几类常见的抽象函数 正比例函数型的抽象函数 -幂函数型的抽象函数 -指数函数型的抽象函数 - 对数函数型的抽象

11、函数-；三角函数型的抽象函数- - 例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f(x)0，f(1) 2求f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例6设

12、f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：f（1）；若f（x）f（x8）2，求x的取值范围.分析：（1）利用313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y f（x）的反函数是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）；f（a） 1（a0，a是定义域中的一个数）；当0

13、x2a时，f（x）0. 试问：f（x）的奇偶性如何？说明理由；在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函数；先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x0）满足f（xy）f（x）f（y），求证：f（1）f（1）0；求证：f（x）为偶函数；若f（

14、x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x）0.分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0）先令xy1，再令xy 1；令y 1；由f（x）为偶函数，则f（x）f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，求证：当x0时，0f（x）1；f（x）在xR上是减函数.分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；受指数函数单调性的启发：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），进而由x1x2，有f（x1x2）1.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y总有f（xy）f（x）f（y），则下列各式中错误的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，则当x0时，f（x）的取值范围是（ ）（A）（1，） （B）（，1）