上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题(解析版)

1、上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1.若a,b为实数，则“ 0 ab 1”是“ b即“ 0v abv 1 ？ “bv”为假命题； aa若 “bv当 a1,即 “bv 1 ” ？ “0v abv 1” 为假命题，综上“ 0vabv1是“ bv 1 ”的既不充分也不必要条件，故选 D a.若函数f(x) 2sin( x)在区间,上存在最小值 2,则非零实数的取值范5 4围是()5A. (, 2B. 6,)C. ( , 2U,)2r15D(,U6,)【答案】C【解析】先根据x的范围求出x的范围，根据函数f(x)在区间,一上存在最小值5 42 ,然后对 大于0和小于0两种情况讨论最值，

2、即可求得非零实数的取值范围.Q函数f (x)2sin( x)在区间一,一 5 4当 0时，x ,54Q 函数 f (x) 2sin(x)在区间1耳上存在最小值可得:当 0时，x ,45q函数f（x） 2sm x）在区间,上存在最小值25 4 TOC o 1-5 h z 可得：2 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 425综上所述,非零实数的取值范围是：（,25,.2故选:C.【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时，求非零实数的取值范围.解题关键是能够 掌握正弦函数y Asin（ x ）图像性质，数学名合.）满足：对任意的（x, y） M，都

3、有，则以下集合中，不存在集合 M的3.已知集合M （x,y）|x| |y| 1,若实数对（， （x, y） M ,则称（，）是集合M的“嵌入实数对”“嵌入实数对”的是（）( , )12(，)12C （ , ）1 22 2D. （ , ） 22 2【答案】C【解析】由定义可知| | 1,| | 1利用不等式的性质，即可得出2的范围，从而得出答案.Q M (x, y)|x| |y| 1Q对任意的（x,y） M，都有（x, y） M可得：| x| | y| 1结合：实数对（）满足，对任意的（x, y） M，都有(x, y) M . TOC o 1-5 h z 可得 | | 1, | | 1 即 11

4、, 11对于A,Q 11,可得11 ,11cc根据可得：22,故存在集合M的“嵌入实数对使 TOC o 1-5 h z 对于B,Q 11可得22, HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 11故存在集合M的“嵌入实数对使2，一 ，一 01,99对于 C,Q | | 1, | | 1可得：， 故 122 1, HYPERLINK l bookmark178 o Current Document 120故不存在集合M的“嵌入实数对使22201 ,2.对于D, Q | | 1, | | 1可得 ，故002 1故存在集合M的“嵌入实数对使22 2综上所述，故C

5、：(22)|2不存在集合 M的“嵌入实数对故选:C.【点睛】本题考查了集合的新定义，解题关键是能理解新定义 “嵌入实数对”，结合不等式知识进行求解，考查了学生的理解能力和推理能力，属于基础题.4.已知函数f(x)2x1x0,则下列命题中正确命题的个数是(f(x 1) x 0函数f (x)在1,)上为周期函数函数f (x)在区间 m,m 1 , m N 上单调递增 函数f (x)在x m 1 ( m N )取到最大值0,且无最小值1 1若万程f(x) loga(x 2)(0 a 1)有且仅有两个不同的实根，则a -)3 2 TOC o 1-5 h z A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答

6、案】B【解析】作出f(x)的图像，由图像对各选项进行判断即可 .x 0 HYPERLINK l bookmark184 o Current Document xx.1时，y 2x11,可由y - 的图像作关于x轴的对称图像，再向上平 HYPERLINK l bookmark250 o Current Document 2移一个单位得到.当x 0时，f(x) f(x 1)故是周期为1的周期函数，0 x 1图像,1，、 r可由1 x 0时，y 11向右平移一个单位得到，根据周期函数的性质即可得2到x 0图像.【详解】f(x)的图像如图所示对于，因为f( 1)1, f(0) 0,可得f( 1)f (

7、0)所以函数f(x)在1,)上不是周期函数，故不正确；对于，当m,m 1 , m N 结合函数图像可知，函数f(x)在区间m,m 1 , m N 上单调递增，故正确；对于，因为m 0时，f(m 1) f( 1)1,不是最大值，故不正确对于，如图所示，111图中两条曲线对应的a分别为和，故方程为f(x) loga(x 2)(0 a 1),有且只 321 1 一，有两个实根，则a-,-,故正确.3 2故选：B.【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像，结合函数图像对其单调性，最值进行求解，考查了计算能力和理解能力，属于中档题.、填空题2.已知集合 A

8、 x|x 3x 4 0,B x |mx 1 0,m R.且 A B A,则所有 满足条件的m构成的集合为【答案】0, 1,1 4【解析】先化简集合 A.由A B A,可彳导B A,分类讨论m=0和m 0,即可求出构成m的集合.【详解】Q 集合 A x|x2 3x 4 0A 1,4Q A B A,可得 B A当m 0时，满足BA,符合题意 TOC o 1-5 h z ,1当 m 0时，B x|mx 1 0 一 mQ B A HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 1,一1 或 一 4mm1解得：m 1或m . 4所有满足条件的 m构成的集合为:0, -

9、1,1.4一，一，1故答案为：0, -,1.4【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，一般涉及子集问题时，需考虑集合是空集或非空集两种情况，属于基础题.设 a,b R ,则b tan 是 arctan b ”的 条件【答案】必要不充分【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断，即可得出答案.【详解】Q a,b R,只有当 一 一时，由b tan 才有 arctanb 22由b tan 不能推出arctanb故b tan 不是 arctanb的充分条件又Q 由 arctanb 得 tan tan(arctanb)可得b tan故b tan 是 arctanb的必要条件；b tan 是

10、arctan b的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定，其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了理解能力与运算能力，属于基础题. z 2z 9 4i （i为虚数单位），则|z| 【答案】5【解析】设z a bi（a,b R ）,则；z a bi，代入z 2z 9 4i,整理后由复数相等的条件列式求得a,b的值，根据z a bi的模为z JOb2 ,即可求得z . 【详解】Q 设z a bi（a,b R）,贝Uz a bi，代入 z 2z 9 4i,得：（a bi） 2（a bi） 3a bi 9 4i3a 9, b 4 故：a

11、 3,b4z 3 4i根据z a bi的模为zVa2 b2z 荷4T 5故答案为：5.【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模，明确复数的实部与虚部是解题关键，考查计算能力，属于基础题.若ABC, a+b=4, O 30 ,则 ABO积的最大值是 .【答案】1【解析】【详解】在 ABC43, 1.1 C= 30 , a+ b= 4,. ABC勺面积 S= ab , sin C= ab - sin30 =22label-ab -（）2= X4=1,当且仅当a=b=2时取等号.因此 ABC面积的最大值4424故答案为1.9.设直线l过点P( 4,0),且与直线m:3x y 1 0的夹角为arccos

12、3斤,则直线l10的方程是【答案】x 4或4x 3y 16 0【解析】设l的方程为a(x 4) b(y 1) 0( a, b不同时为零)，根据直线夹角公式可13a b| 3.10得： 夕r 22二，化简可得b 0或3a 4b,即可求得直线l的方,a2 b2 ,132 ( 1)210程.【详解】直线m:3x y 1 0的方向向量为 (1,3)设所求直线的方向向量为(a,b)(a,b不同时为零)Q依题意有：| cos3 103.10cos arccos1010I亚故| | |l10a 3b.10 a2 b23 1010解得 4a2 3ab,即 a 0 或 3a 4b当a 0时，则 (0,b)且bw

13、0此时直线l的斜率不存在，直线的方程为：当3a 4b时，则a,b均不为0可得:3b一,b，故直线的斜率为4b 4:3h 3-b44. 八直线的万程为：y (x 4)，即4x 3y316 0综上所述，直线l的方程：x4或4x 3y 16 0.故答案为：x 4或4x 3y 16 0.本题考查直线夹角的问题，解题关键是熟记直线夹角的计算公式，考查了计算能力.属于基础题.10.设常数a且展开式中x6的系数为4,则 xlim ana2 L【解析】再代入求可.根据二项展开式的通项公式Tr1 C9rx9 r-a、xa,从而将a代入所求表达式,结合等比数列的前9%a C9x 2和已知求出r,n项和公式求和并取

14、极限即ax 7x9展开式的通项公式为 Tr 1Crx9 r -aC9x.x6,22则a C9所以，limna2 Llimn HYPERLINK l bookmark223 o Current Document 11(1) HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 33nlimn13n故答案为:本题考查二项展开式的通项公式和系数,考查了等比数列的前n项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算,属中档题11.已知y f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x 0时,f(x)11/于1，则此函数的值域为|,1先求当x0时函数的值域,再根据函数的奇偶性得到函

15、数在R上的值域.当 x 0时，f(x)(A人1令 27 t，(0 t 1),所以 g(t)t2 t1(0 t 1), TOC o 1-5 h z 5所以 g(t) (1,-. 4由于函数是奇函数，.5所以当 x 0时，f (x) -, 1). 4当 x 0时，f (0) 0. HYPERLINK l bookmark297 o Current Document 55综上所述，此函数的值域为一，11-0 . HYPERLINK l bookmark299 o Current Document 4455故答案为： 一，11,-0 HYPERLINK l bookmark60 o Current D

16、ocument 44【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.a12 .已知函数f(x) log8(x 8 -)在2,)上是增函数，则实数a的取值范围是x【答案】4,20)【解析】根据复合函数单调性同增异减，因为外层函数y 10g 8 x是单调增函数，则需内a, a层函数y x 8 也是增函数，且满足x 8 - 0,即可求得实数a的取值范围. xx【详解】aQ f (x)log8(x 8 一)xa设 y 10g8t,t x 8 - xQ y 10g8 t在(0,)上为增函数a.要保证f (x) log8(x 8 -)在2,)上是增函

17、数 xat x 8 一在2,)上是增函数 xat 1 丁 0在2,)上恒成立 xa x2在2,)上恒成立Q x 2,x2 4 可得 x24a 4aQ f(x) log8(x 8 )xa c2 8 02a 20实数a的取值范围是：4,20).故答案为：4,20).【点睛】本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减，对函数的内层和外层分别判断，当外层函数是增函数时，内层函数也需要增函数，注意内层 函数要满足外层函数的定义域13 .奇函数yf(x)满足对任意x R都有f(2 x) f(2 x) 0,且f(1) 9,则f (2016) f (2017)f(2018)的值

18、为【解析】由f(2 x)f (2 x) 0推导出f (x 4) f(x)即可得到f(x)的周期为4,当x 0时，由f (2)f(2) 0 得 f (2)0 .结合f (1) 9,即可求得f (2016) f (2017)f(2018)的值.Q f (2 x) f (2x) 0f(2 x) f(2x) Q f(x)为奇函数，故f ( x) f(x)f(2 x) f (x 2) f(x 2)由可得：f (2 x) f (x 2)即：f (x 4) f (x)可得：f(x)的周期为4Q函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得：f (0)0Q 当 x 0时，由 f(2 x) f(2 x) 0,可得：f(

19、2 0) f(2 0) 0f(2)0f (2016) f (504 4 0) f (0)f (2017) f(2016 1) f (1) 9f (2018) f(2016 2) f (2) 0f(2016) f (2017) f (2018) 9故答案为：9.【点睛】本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期，解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.14.在直角坐标系中，已知 A(1,0), B 4,0 ,若直线x my 1 0上存在点P,使得PA 2 PB ,则实数m的取值范围是 .【答案】，S .3,【解析】设点P的坐标为 x, y ,根据条件 PA 2 PB求

20、出动点P的轨迹方程，可得知动点P的轨迹为圆，然后将问题转化为直线x my 1 0与动点P的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m的不等式，即可求出实数m的值.【详解】设点 P 的坐标为 x, y , Q PA 2 PB ,即 J x 1 2 y2 2J x 4 2 y2 ,2化简得x 5y2 4,则动点P的轨迹是以 5,0为圆心，半径为2的圆，2 c由题意可知，直线 x my 1 0与圆x 5 y2 4有公共点， TOC o 1-5 h z 4-则I , 2 ,解得mJ3或m 73.1 m2因此，实数m的取值范围是，6J3,.故答案为：，、3%3,.【点睛】本题考

21、查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题15.下列命题：mx y 1关于x、y的二元一次方程组的系数行列式 D 0是该方程组3mx my 2m 3有解的必要非充分条件；已知E、F、G、H是空间四点，命题甲：E、F、G、H四点不共面命题乙：直线EF和GH不相交，则甲成立是乙成立的充分非必要条件 ； 七2”是对任意白实数x,|x 1| |x 1| a恒成立”的充要条件“p 0或p4”是关于x的方程上x p有且仅有一个实根”的充要条件x其中，真命题序号是【答案】【解析】 根据充分条件和必要条件的定义

22、逐一判断，即可得出答案.【详解】mx y 1对于,Q系数行列式D 0,关于x、y的二元一次方程组有唯3mx my 2m 3一解，D 0是该方程组有解的非充分条件又Q系数行列式D0,Dx0或Dy 0mx y 1关于x、y的二元一次方程组无解3mx my 2m 3系数行列式D 0, DxDy 0mx y 1关于x、y的二元一次方程组有无穷组解3mx my 2m 3关于x、y的二元一次方程组mx y 13mx my 2m的系数行列式D30是该方程组有解的非必要非充分条件故不正确；对于，已知E、F、GH是空间四点，命题甲：E、F、G、H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交.Q 命题甲可以推出命题乙

23、，甲成立是乙成立的充分条件又Q直线EF和GH不相交，当EF P GH ,即E、F、G、H四点共面,命题乙不能推出命题甲，甲成立是乙成立的非必要条件甲成立是乙成立的充分非必要条件.故正确；对于，设y |x 1| |x 1|当 x 1 时，y 2x 2；当 1 x 1 时，y 2 ；当 x1 时，y2x 2.故 |x 1| |x 1| 2Q a 2能推出任意的实数x,|x 1| |x 1| a又Q对任意白实数x,|x 1| |x 1| a不能推出a 2故a 2”是对任意白实数x,|x 1| |x 1| a恒成立”的充分不必要条件故不成立；对于，由关于x的实系数方程p x p有且仅有一个实数根，得：

24、x2 px p 0, x由p2 4p 0得：p 0或 p 4当p 。时，得x 0,检验知：x 0不是方程R x p的实根，故此时方程无解 x当p4时，x2 4x 4 0,解得x 2,检验知：x 2是方程卫 x p的实根.x故此时关于x的方程Exp有且仅有一个实数根 xp 0或p4”不能推出关于x的方程卫x p有且仅有一个实根”x又Q关于x的方程Exp有且仅有一个实根也不能推出p 0或p 4 ”xp 0或p4”是关于x的方程R x p有且仅有一个实根”的既不充分也不x必要条件.故错误.故答案为：.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定，其中熟记充分条件和必要条件的判定方法 是解答的关键，

25、着重考查了推理与运算能力，属于中档题.16 .在直角坐标平面xOy中，已知两定点Fi( 2,0)与F2(2,0)位于动直线l : ax by c 0的同侧，设集合P l |点F1与点F2到直线l的距离之差等于2 , _22一、.Q ( x, y)|x y 4, x, y R,记S (x,y)|(x,y) l,l P,T (x,y)|(x,y) Q I S,则由 T 中的所有点所组成的图形的面积是【解析】根据条件确定集合 P对应的轨迹，利用集合T的定义，确定T对应图形，即可求得T中的所有点组成的图形的面积.【详解】Q两定点Fi ( 2,0)与F2(2,0)位于动直线l : ax by c 0的同

26、侧，如图：过Fi( 2,0)与F2(2,0)分别作l直线的垂线，垂足分别为B,C由题意得FiB F2c 2,即FiA 2Q 在 RtzAF1F2中 F1F2 4,1cos AF1F2 一 可得 AFi F2 60 2.集合P对应的轨迹为线段 AF2的上方部分，Q对应的区域为半径为 2的单位圆内部根据T的定义可知,T中的所有点组成的图形为图形阴影部分c 1c2 14阴影部分的面积为：2 2 -24 Sin60 4、3 623故答案为：4、3 .本题考查了集合的新定义的理解，解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像，数学Z合，考查了分析能力和计算能力.三、解答题x a 217 .关于x的不

27、等式/0的解集为1,b .1 x1求实数a, b的值；2若4 a bi, Z2 cos isin ，且z2为纯虚数，求tan 的值. 1【答案】（1） a 1 , b 2（2） 2【解析】（1）由题意可得：1,b是方程x2 ax 2 0的两个实数根，利用根与系数的关系 即可得出答案；（2）利用（1）的结果得Z1Z2cos 2sin 2cos sin i为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出.【详解】x a 2解：（1）不等式0即xx a 2 0的解集为1,b .x,b是方程x2 ax 2 0的两个实数根，由1 b a , b 2, 解得a 1, b 2 .（2）由（1）知a 1,b 2,Z1Z21

28、 2i cos isin cos 2sin 2cos sin i 为纯虚数，cos 2sin 0,2cos sin 0,-，一1斛得tan .2【点睛】本题考查了行列式，复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、 一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.如图，四棱锥P ABCD中，PD 底面ABCD,且底面ABCD为平行四边形，若 DAB 60 ,AB 2, AD 1.（1）求证：PA BD ;（2）若 PCD 45 ,求点D到平面PBC的距离h.【答案】（1）答案见解析（2） 2标.7【解析】（1）因为 DAB 60，AB 2, AD 1,利用余弦

29、定理求出 BD ,即可判断出 ABD满足勾股定理，即4ABD直角三角形且角 ADB为直角，则AD BD,结合已 知PD 底面ABCD ,即可求证PA BD .（2）利用等体积法，根据Vp bcd Vd bcp列方程，即可求得点D到平面PBC的距离h.【详解】(1)QAD 1,AB 2, DAB 60根据余弦定理可得BD2 AB2 AD2 2AB AD cos60BD . 3AD2 BD2 AB2AD BDQ PD 底面 ABCD, BD 底面 ABCDPD BD，又 ADI PD DBD 平面PADQ PA 平面PADPA BD综上所述，pa BD（2）由（1）可知 BC BDSVBCDBCB

30、DQ PCD45 可得：PD CD 2VP BCDSVBCPVD BCP又 Q Vp bcdVdBCPQ PC 、，2CD 2、2PBPD2 DB2,BC 1BC2 PB2 PC2PB BC1 - BC PB21.7 ,、7h- h 3262 217【点睛】本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直，考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.f P1f P2 L f Pn （其中19 .如果一条信息有 n （n 1,n N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为P1, P2,L , pn ,则称H T

31、OC o 1-5 h z . 11f X XlOgaX, X 0,1 ）为该条信息的信息嫡.已知 f - -22（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求推被选中”的信息嫡的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为 A,A2,L , An）参加，若当k 1,2, L ,n 1时,选手Ak获得冠军的概率为 2 k，求 谁获得冠军”的信息嫡H关于n的表达式.4【答案】（1） 5 （2） 2 2n一，E 11,一，、一，、【解析】试题分析：利用f（）1求出a,根据题目（1）所给出的信息，32名学生,22 、，_,1 一通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，某人被

32、选中”的概率均为,利用公32式 H f Pfp2 L f Pn （其中 f X XlOgaX, X 0,1 ）,求出信息嫡的值；比赛共有n位选手（分别记为Ai,A2,L , An）参加，若当k 1,2, L ,n 1时,选手Ak获得冠军的概率为 2 k，利用公式H f Pif P2 L f Pn （其中XlOgaX, X0,1 ),表示出信息嫡后,利用错位相减法求出数列的和,1试题解析：(1)由f 21 1,可得2-loga122解之得a2.由32种情形等可能，故1Pk 32 k1,2,L,32所以1H 32 log3212325,答:谁被选中”的信息嫡为5 .(2)A获得冠军的概率为11_2

33、rl12n 1，1,2,n1 时，f Pkklog22 kk-k-,又 2kf Pnn 1 n+ n22以上两式相减，可得1h 2答：谁获得冠军”的信息嫡为22n20.双曲线x22 y b21(b 0)的左、右焦点分别为E、F2 ,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为.一,VRAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程;2_uLir umr uuu(2)设b J3,若l的斜率存在，且(F1A F1B) AB 0 ,求l的斜率.(1) y72x; (2)试题分析:(1)设 x,y, 24,根据题设条件得到4 1 b 3b ,从而解得b2的值.(2)设Xi, ViX2,y2 ,直

34、线l: y k x 2与双曲线方程联立，得到次方程，根据l与双曲线交于两点,可得2_k2 3 0,且 36 1 k 0 .再设uuur uuur uuuruuun uur的中点为X , y ,由FlFl0即Fl0 ,从而得到kF1k 1,进而构建关于k的方程求解即可.试题解析：（1）设 x ,y .由题意，F2 c,0 , c 71 b2，y2 b2 c2 1 b4 ,因为VFi是等边三角形，所以2c J31y ,24o即 4 1b 3b ,解得 b2 2 .故双曲线的渐近线方程为 yJ2x .(2)由已知，F12,0 , F2 2,0设X1, y1 ,X2,y2 ,直线 1 ： y k x 2 .显然 k 0.22 y,x一由3y k x1 ，得 k2 3 x2 4k2x 4k22因为1与双曲线交于两点，所以 k2 3 0,且36 1 k20.设的中点为x , yuur uur uur uuuu uur由(F1A F1B) AB 0 即 F10 ,知 E2k26k，yk2 321k2 3kF13k2k2 3所以 2 k 1 ,得k?,故1的斜率为 WEE . 2k2 355【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，