北大教授张顺燕老师

1、PAGE PAGE 15数学与数学教育 前言终日驰车走,不见所问津.会当凌绝顶，一览群山小。What:数学是什么？ Why:为什么学数学？ How:如何学和教数学？目的：数学与国家的兴衰，数学与人生的关系，理解我们所处的时代。学好教好数学.四有。有妙赏，有哲思，有洞见。有超越.报告分成两大部分: 数学世界, 数学的学与教.在未来的十年中领导世界的国家将是在科学的知识、解释和运用方面起领导作用的国家.整个科学的基础又是一个不断增长的数学知识总体.我们越来越多地用数学模型指导我们探索未知的工作.H.Fehr一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量.A.N.Rao使青年人发展批判的独立思考，对于

2、有价值的教育也是生命攸关的。由于太多太杂的学科造成青年人的负担过重，大大地损害了这种独立思考的发展。 负担过重必然导致肤浅。教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受，而不是作为一种艰苦的任务去承担。爱因斯坦我们中学和大学的课程与教学工作落后于时代好多年。它们既不反映对高层次思维技巧的已经增大了的需要，也不反映已极大地扩大了的数学应用，更不反映我们所已知的学生学习数学的最佳方法。美国国家研究委员会第一章 数学世界调整自己的数学观：用新的观点审视数学；用新的观点学习和教授数学；用新的观点使用和发展数学。 1数学与当今社会1科学的新形势。新形势主要有三点：首先，多种学科的交融和新分支的诞

3、生。其次，各个学科，特别是社会科学，都在走着从定性描述到定量化的道路。第三，计算机的使用加速了社会的发展，信息的管理、使用和传输的高效率改变着一切学科。2信息时代。新的转轨从工业社会转向信息社会。1980年，美国信息产品的产值已经占到它整个经济的40%。信息产业的核心技术是数学。三个深刻的变化：1）数学应用的领域扩展到了整个社会。2）数学正由辅助性作用向主导性作用转变。3）正在改变人们的思维方式。必须转变数学教育的指导思想：把数学教育作为整个教育的不可缺少的重要环节。把数学教育扩展到高等院校的所有系，包括人文科学和艺术系。为不同专业提供不同的数学。3国际情况。2000年世纪转折年； 联合国确定

4、2000年是世界数学年。美国出版为新世纪学习数学。过去三百年间美国课程表对数学的要求。哈佛大学于1636年建立，当时没有一个数学教授。1726年，哈佛大学任命了第一位数学教授。入学考试只考算术。1820年，要求考代数，1844年要求几何。1912年，美国仅有一半的高中讲一年的代数和一年的几何，其他学校只要半年的代数。第二次世界大战使人们的数学观发生了深刻的变化。数学课成了中学最重要的课程之一。A.Kaplan说：“由于最近20年的进步，社会科学的许多领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。”A.N.Rao更指出，一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量。2000年是世界数学年。里约热内卢

5、宣言：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把大钥匙.”20世纪70年代末，美国的扫盲任务已转变为扫数学盲。1989年，美国发表人人关心 数学教育的未来。强调：“我们正处在国家由于数学知识而变得在经济上和种族上都被分裂的危险之中。”并解释道：“除了经济以外，对数学无知的社会和政治后果给美国民主政治的生存提出了惊恐的信号。因为数学掌握着我们的基于信息的社会的领导能力的关键，具有数学读写能力的人与不具有这种能力的人之间的差距越来越大，从种族和经济的范围上，其程度是惊人地一致。我们冒着变成一个分裂的国家的危险，其中数学知识支持着多产的、技术强大的精英阶层，而受赡养着、半文盲的成年人、不相称的西班

6、牙人和黑人，却发现他们远远不具备经济和政治的能力。这必须纠正过来，否则没有数学基本能力的人和文盲将迫使美国崩溃。” 美国指出：“信息时代就是数学的时代，未来的公民将需要极其多样的数学教育，以对付工作场所中的大量以数学为基础的工具、设备和技术。大多数公民已经意识到了这一点，但是光意识到这一点还不够，还应当看到，当学生离开学校并进入工作生涯时，数学教育极大地决定了一个人能从事什么样的工作与不能从事什么样的工作。”20世纪科学技术的进步给人类的生产和生活带来巨大的变化。1）信息技术的广泛使用，信息时代的到来；2）原子能的发现与利用；3）太空飞行；4）计算机的诞生和使用；5）遗传基因的发现和与之有关的

7、生物技术。4. 美国的数学教育。学生：每年都要学习数学。发现我们周围的数学。在其他课程和日常生活中运用数学。研究各种各样的数学课题。老师：讨论数学问题。考察当前实践，并辩论新建议。家长：要求学校贯彻全国数学理事会的标准。鼓励孩子们不断学习数学。支持教师探索课程改革。希望家庭作业不是例行的计算题。校长：为教师集体工作创造条件。在数学教育上成为受教育者。支持创新。社会组织：为所有学生组织一些能丰富数学知识的活动。支持地方努力改进数学教育。向公众解释改革的必要性。商业界与工业界：鼓励学生学习数学与科学。不要把好的教师挖走。支持地方努力以确保教育基金。为教师提供实习机会。州长：为鼓励改革提供物力与财力

8、。要求新的数学教育的标准。引导公众按优先顺序作最佳的选择。为有才能的学生制定内容丰富的计划。总统：与州长们一起批准全国的议程。把公众注意力引向数学教育。强调教育严重地关系到国家安危。数学认识周。1986年，美国总统宣布：每年4月14日4月20日为全国数学认识周.中国的情况如何？5. 日本的数学学习潮。和田秀树数字，成功之本；副标题是，21世纪管理新浪潮。数字专家最抢手。：WHO（谁）：信息时代最抢手的人是谁？WHAT（做什么）：成功三要素是，1。能解读数字；2。能进行逻辑思考，判断正确；3。勇于尝试，不怕失败。HOW（如何做）：提高数学力。6现代人的必备素质。在中小学，什么课程最基本？语文和数

9、学。语文。你的词汇量有限，你成功的机会就有限。新泽西州的某技术学院的100名学生做了词汇量的测验。五年之后，名次在前10%的无一例外都有了行政领导的职务，最后25%内的无一成为行政领导。在今天我们必须把英文也包括在内.数学。数学的读写能力，即量的读写能力正在提到我们的眼前。用量的方式去思维，去推理和判断成为一种基本能力。未来的精英:语言表达能力。通过语言，展现自己的理想、信念、优势和水平。逻辑思维能力、推理能力。量的思维能力。1999年美国出版表1。技术水平语言水平数学水平4写报告、总结、摘要，参加辩论熟练使用初等数学，熟悉公理化几何5读科技杂志、经济报告、法律文件，写社论，评论文。懂微积分与

10、统计，能处理经济问题6比5更高级使用高等微积分，近世代数和统计。表2。 职业要求职业语言水平数学水平生物化学66心理学家65律师64经济分析师45会计55公司懂事45计算机推销员44税务代理人64私人经纪人55应用实例。1）理性决策电视猜车。问题。设甲、乙、丙三个门，只有一个门后有一辆车。猜，哪个门后有车？答：你第一次猜对的概率是三分之一。如果改变，你猜对的概率是三分之二。概率统计的思想方法，就象读和写的能力一样，将来有一天会成为效率公民的必备能力。2）微软面试。3) 字典的困境.未来的精英=语言能力+数学思维+专业特长。7数学事业。101种数学事业。1）著名高技术企业的研究人员和管理人员，如

11、、美国电报电话公司、贝尔实验室、美国航空公司等。2）政府部门的研究人员和技术人员，如美国航天太空总部、戈达德空间中心、农业部等。3）教育界。4) 专业人士，包括法律和医学工作。5) 个人开业，包括软件设计制作等。艺术与媒体行业的雕塑家、音乐家、电视制作及演播人员等。几千年的文明史发展到今天，使整个人类面临一个新的转折时期。2.数学的特点1数学是什么？数和形的学问。题西林壁苏轼横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在庐山中。观察细节微分；综观全局积分。先微分，后积分，就可以知道庐山真面目。四个特点:古老,常新,繁茂,奇特.这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史； 这棵树是如此之长

12、新，它年年都在发新枝；这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域；这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同花异果。且你中有我，我中有你。几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力，培养逻辑推理能力。代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力。几何的基本功是推理，代数的基本功是计算。数形结合华罗庚数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉， 形少数时难入微。数形结合百般好， 隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。2形的学问。欧几里得几何。 爱因斯坦：“在那里世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系

13、如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题都是不容置疑的我这里说的是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心。如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学思想家。”3代数的作用。最基本的运算：四则运算；最基本的运算法则：结合律，分配律，交换律。三个主要进步：1）从数字运算到文字运算；2）从已知数运算到未知数运算；3）引进指数与对数两种新运算。自然数集与加法（或乘法）结合在一起构成近代代数中的群的原型。有理数集与四则运算结合在一起构成近代代数中的域的原型。这是了解数学结构的开始.记住，认清几何与代数的基本特征对学好数学极为重要。4.

14、解析几何.恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”中学数学的主要任务有四：1）发展符号意识；2）实现从直观描述到严格证明的转变，培养严密的逻辑思维能力；3）实现从具体数学到概念化数学的转变；4）实现从常量数学到变量数学的转变。恩格斯：数学是关于空间形式和数量关系的科学。现代数学中的空间可以不是现实的；现代数学中的关系可以不是数量.5. 两种基本能力直觉能力, 逻辑推理能力。直觉是发明的源泉，逻辑是证明的工具。庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条

15、路能引导我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。”阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养”。6. 数学的特点。抽象性，精确性，应用的极端广泛性。抽象性.数学抽象的特点在于：只保留量的关系和空间形式；数学所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。维钠说：“数学让人们抓住本质而忽略非本质的东西。数学也容许人们在不同的领域提出相同的问题，而不必囿于某一特定专业领域。对那些视野开阔、敏感严谨的数学家而言，数学无疑是发现和发明的工具。”数学的抽象

16、性帮助我们抓住事物的共性和本质。数学的抽象性显示了思维的广阔性。抽象的另一个作用是对日益扩大的数学知识总体进行简化和统一化。数学的精确性. 表现在数学定义的准确性,推理和计算的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。爱因斯坦说：“为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重？一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中。数学之所以有高声誉，还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”数学的精确性是思维严谨性的典范。数学应用的极其广泛性.华罗庚指出，宇宙之

17、大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的。N.布特勒说：“现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。”数学应用的广泛性是思维广阔性的具体体现。7 数学提供了有特色的思考方式.抽象化。抽象化就是数学的概念脱离与具体事物间的特定联系

18、。柏拉图在共和国中说：你是否也知道，他们虽利用可见的形象并用来进行推理，但他们想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象：他们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对直径。他们力求看到数学的本质，而这只有用心灵之目才能看到。数学是用粗糙图形进行精确推理的艺术。数学家辛富（J.Singh） 说：数学之所以能够以令人吃惊的程度深入到科学和技术的每一个分支中去，其原因在于数学的思想是纯粹抽象的，而抽象化正是科学和技术的主要动力。数学越是远离现实（即走向抽象），它就越靠近现实。因为不管它显得多么抽象，它归根到底还是从某些现实范围中抽象出来的，一定的本质特征的具体表现。理想化。数学如此有用的另

19、一个原因是理想化。建立数学模型的过程既是抽象的过程，也是理想化的过程。符号化。数学是符号的世界。克来因说：“符号常常比发明它们的数学家们更能推理。” 符号化的主要优点是什么呢？首先，它节省并帮助数学家进行思维，大大地促进了数学的发展。其次，符号是交流和传播数学思想的媒介。数学语言具有表达与计算两种功能。赫兹说：“我们无法避开一种感觉，即这些数学公式自有其独立的存在，自有其本身的智慧；它们比我们还要聪明，甚至比发明它们的人还要聪明；我们从它们得到的实比原来装进去的多。”数学语言具有单义性、准确性和演算性。公理化.最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。数学模型：通过数学建模活动，学生的对实际问

20、题的分析能力，运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力都能得到提高。3.纵观数学赫尔岑:彻底回顾一下，我们每次都对过去有不同的看法；我们每次都从过去看出新的方面，每次我们都是把重新走过的道路的全部经验加以补充的理解。充分意识过去，我们就可以认清现在；深深地沉思往事的意义，我们就能发现未来的意义。傅鹰:一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。卡西尔:对过去的新的理解,同时也给于我们对未来的新的展望.1五个质不同的时期。第一个时期数学形成时期.第二个时期常量数学时期.形成了初等数学的主要分支： 算术、几何、代数、三角.几何学的主要成果是欧几里得的几何原本

21、及其延续。代数学则研究数的运算。解方程的学问在代数学中居中心地位。第三个时期变量数学时期.欧氏几何是一种度量几何，关心长度和角度。它的方法是综合的，没有代数的介入，为解析几何的发展留下了余地。解析几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程碑.他的创始人是笛卡儿和费马。笛卡儿说：我决心放弃那个仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。第一个决定性步骤出现在1637年笛卡儿的著作几何学.在这个转折以前，数学中占统治地位的是常量，这之后，数学转向研究变量了.第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨建立了微积分.微积分的重要性

22、. 微积分使得局部与整体，微观与宏观，过程与状态，瞬间与阶段的联系更加明确。恩格斯说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里.”微积分已成为现代人的基本素养.代数学.17，18世纪期间,代数学处于沉寂的状况。一个重要成果是吉拉尔于1629年提出的代数基本定理。证明是1799年高斯第一个给出的。数学家们在较容易的多元线性方程组的研究中取得了进展。麦克劳林和关孝和分别提出了行列式的概念。克莱姆在1750年给出了元联立线性方程组的公式，即克莱姆法则。行列式和矩阵的理论,二次型和线性

23、变换的理论得到很大的发展,不变量的理论也发展起来了.第四个时期公理化数学时期.数学思想的重大变化,主要体现在以下三点:引入严密性的概念;对数学结构的研究;新分支的创立.代数学.高于四次的代数方程不可用根式求解的问题由挪威的阿贝尔所证明。他引入了两个新的数学概念：域和不可约多项式。“域”是最早的数学结构。伽罗瓦完满地解决了一元代数方程可用根式求解的充要条件。代数方程式的理论不过是群和域的一般结构理论一个应用而已。19世纪早期发生在代数学的革命是，远离计算，朝着数学基础结构的识别和使用的方向发展。任何一个数学体系都是一种逻辑结构，对这些结构进行研究才是理解数学体系本身的最直接的方法。代数学的核心研

24、究对象不应当是代数方程，而应当是各类代数系统。代数的目的是研究各种代数系统，这就是公理化的抽象的代数。群论和不变量的理论对几何学的发展起了重大影响.几何学.非欧几何诞生了.其重要性与哥白尼的日心说,牛顿的引力定律,达尔文的进化论一样,对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响. M.克莱因说：“在19世纪所有的复杂技术创造中间，最深刻的一个，非欧几何学，在技术上是最简单的。这个创造引起数学的一些重要新分支的产生，但它最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变了对数学的性质的理解，以及对它和物质世界的关系的理解，并引出关于数学基础的许多问题，这些问题在20世纪仍然进行着争论。”非欧几何的出现打破了长期以

25、来只有一种几何的局面.19世纪中叶以后,产生了各种新而又新的几何学.例如,非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等,加上与非欧几何平行发展的高维几何、射影几何、微分几何、拓扑学等,19世纪的几何学展现了广阔的发展前景.统一几何学的大胆计划是由克莱因提出的.1872年, 他的演讲以” 爱尔朗根纲领”著称. 克莱因对几何学作了统一:几何学是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问.分析学.分析的算术化.数学史上的第二次危机.第一个是达兰贝尔.他于1754年提出需要以极限理论作为微积分的基础,1821年,柯西发展了一种可接受的极限理论.用极限定义连续性可微性和定积分.阿贝尔发展了无

26、穷级数收敛的严格方法.1874年.当时外尔斯特拉斯给出一个引人注目的例子:存在处处连续,但处处不可微的函数.这时数学家们才发现,实数的定义还没有!外尔斯特拉斯提出一个规划:实数系本身首先应该被严格化,然后再去定义极限连续性可微性收敛和分散.这两部分被人们称为分析的算术化.19世纪开始了从变量的数学向公理化数学的过渡。主要体现在下面几个方面： 数学的研究对象发生了质的变化。数学与现实世界的关系也发生了质的变化。数学的抽象程度进入更高的阶段。罗素的数学定义：数学可以定义为这样一门学科：我们不知道在其中我们说的是什么，也不知道我们说的是否正确。数学的真理性.对物理学影响。怀特海说：现在我们知道，它是

27、错误的，但这是一个伟大的错误。没有非欧几何，不会有相对论。第五个时期为信息时代的数学。信息加工时代的数学工作包括数学研究工作，数学工程工作和数学生产工作。4.四个高峰期。欧几里得几何原本的诞生。解析几何与微积分的诞生。公理化的数学诞生与计算机结合的当代数学. 5七次飞跃。从经验几何到演绎几何的飞跃.从数字运算到符号运算的飞跃.从常量数学到变量数学的飞跃.从研究运算到研究结构的飞跃。从必然性数学到或然性数学的飞跃。从线性到非线性的飞跃。从明晰数学到模糊数学的飞跃。惟有门前鉴池水，春风不改旧时波。请君莫奏前朝曲，听唱新翻杨柳枝。5. 证明的限度我们必须知道。我们必将知道。希尔伯特我们必须认识到，绝

28、对的证明只是个目标而不是现实，是一个我们所追求，但很可能永远达不到的目标。M.克莱因1希尔伯特的梦想。希尔伯特明确表述：“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。”1930年他发表了另一篇著名的演说：“认识自然和生命是我们崇高的任务。逻辑科学有了显著的发展，现在公理化的方法已提供了一种对所有的科学问题进行理论处理的普遍技巧。”“我们必须知道。我们必将知道。”包含如下两条：每一个明确的数学问题必须能被正确地解决；全部数学都能实现完全的公理化。2 数学的公理化.希尔伯特的几何基础于1899年发表,为重建公理化方法作出了重大贡献.对公理化提出了一些逻辑上的要求:1) 完备性.2) 独立性.3) 相容

29、性.3. 哥德尔的不完全性定理1930年11月17日，数学物理月刊收到一篇稿件：”论数学原理和有关系统中的形式不可判定命题”.作者是奥地利数学家和逻辑学家哥德尔,主要影响有四个方面:1) 它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念;2) 它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望;3) 它使得人们不得不必须重新评价普遍认可的数学哲学;4) 它把一个新的、强有力且内容丰富的分析技术引到了基础研究之中.哥德尔第一定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系，存在中的不可判定命题;即存在中的命题,使得和非都不是在中可证的.自然数系的任何公设集,如果是相容的就不是完全的.

30、哥德尔所做的就是永远粉碎了真与证明同一的信念。1936年车敕证明了下面的定理:车敕定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系,不存在有效的方法,决定中的哪些命题在中是可证的.哥德尔第二定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系,的相容性不能在中被证明.由此得到,在的不可判定问题中, 的相容性就是其中的一个.希尔伯特原来的希望是彻底破灭了.哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最重要的定理之一.人类对于宇宙和数学地位的认识被迫作出了根本性的改变.第二章 数学的学与教1。 国际数学教育改革运动克莱因贝利运动。贝利：数学教育应该面向大众,数学教育必须重视应用。克莱因，数学教育的意义、内容、教材、方法等

31、必须紧跟时代。缺点是，过分强调实用，忽视系统理论的学习，降低了学生认识活动的起点。新数运动。发生在20世纪中叶.指导思想:”精英教育“.倡导者认为，数学教育的主要任务是培养数学家和科学家。布鲁纳说：”不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构。“布鲁纳说：”我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他参与获得知识的过程。学习是一种过程，而不是结果。学会学习本身比学会什么更重要。“回到基础去”。指导思想是“大众教育“和”数学为人人“。目的在于提高学生的数学素养，促进学生主动地学习数学。“问题解决”。 1980年4月

32、，行动的议程中指出：“80年代的数学大纲，应在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去。”“学校课程应当围绕问题解决来组织。”“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。”80年代以来，“问题解决”已成为美国和西方数学教育的中心环节。大众数学。20世纪90年代以后，最响亮的口号是，大众数学Math for all.目标是，让每个人都能掌握有用的数学，并且不同的国家有不同的大众数学。国际数学教育改革运动为我们的改革提供了借鉴。2. 如何学与教1致广大而尽精微。柏拉图说：我认为，只有当所有这些研究提高到彼此互相结合、互相关联的程度，并且能够对它们的相互关系得到一个总括的、成熟的看

33、法时，我们的研究才算是有意义的，否则便是白费力气，毫无价值。整体观念更为重要。水泥和砖不是宏伟的建筑。整体总是大于部分的总和。泰戈尔说：采摘花瓣，你将无法得到一朵美丽的鲜花。在微观上重析理、明其幽微，在宏观上看结构、通其大义。2澄其源而清其流。一是对数学的重要性认识不足，二是对数学缺乏兴趣。斯特劳斯说：“如果他不知道来自何处，那就没有人知道他去向何方。”明历史之变的方法有三。一曰求因，二曰明变，三曰评价。求因。上溯以求之，看问题是如何提出的。明变。重理其脉络。考察概念的演变史，方法的进步史。评价。评价理论的本质、意义和局限性。没有评价就没有理解。3循序渐进法。4笛卡儿的方法论.发展知识的原理和

34、程序比智慧和洞察力更重要。笛卡儿说：“我从来不相信我的脑子在任何方面比普通人更完善。”经过精心的构思，他列出四条原则：只承认完全明晰清楚，不容怀疑的事物为真实；分析困难对象到足够求解的小单位；从最简单、最易懂的对象开始，依照先后次序，一步一步地达到更为复杂的对象；列举一切可能，一个不能漏过。马克思写资本论的指导思想：1）排除不可靠的说法；2）将资本分解到最简单的单位，商品，再剖析其中的价值和劳动；3）从此开始一步步引向最复杂的资本主义的社会结构及其运转；4）任何一点也不漏过。 用老子的话总结，“天下之难作于易，天下之大作于细”。5 如何以简驭繁.把笛卡儿的方法归结为两步：第一步是化繁为简，第二

35、步是以简驭繁。化繁为简这一步最重要，通常用两种方法： 将复杂问题分解为简单问题；将一般问题特殊化。例。求四面体的重心。6验证与总结。笛卡儿说：我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解其他问题。他还说：如果我在科学上发现了什么新的真理，我总可以说它们是建立在五、六个已成功解决的问题上；它们可以看成是五、六次战役的结果，在每次战役中，命运之神总跟我在一起。7从师、读书与讨论。从师。读书。精其选，解其言，知其意，明其理。精其选。培根说：“有些书可供一尝，有些书可以吞下，有不多几部书则应当咀嚼消化。”解其言。学数学一定要把概念学好，对定义要逐字逐句地扣。知其意。知道定理的来源、含义及用途。明其理

36、。对定理要会证明，知道它在整个理论中的地位。对理论要融会贯通。讨论激励思想. 记着一个石头不会产生火花。只有石头与石头相撞才会产生火花。历史上最著名的例子是布尔巴基学派。8. 刻苦努力不受一番冰霜苦，那有梅花放清香。马克思说:“在科学上是没有平坦的大道可走的，只有那些在崎岖的攀登上不畏劳苦的人，才有希望到达光辉的顶点”。中庸指出，“人一能之，己百之；人十能之，己千之。果能此道矣，虽愚必明，虽柔必强。”马尔夏克的一首诗:我们知道，时间有虚实和长短，全看人们赋予它的内容怎样。它有时停滞不前，有时空自流逝！多少小时，多少日子，光阴都是虚度。纵然我们每天的时间完全一样，但是，当你把它放在天平上，就会发

37、现:有些钟头异常短促，有些分秒竟然很长。讲求方法，刻苦学习，不断地超越自己。 3 怎样解题(见数学教育2)逻辑推理能力的培养，基本计算能力的提高，对基本概念的理解等。1问题是数学的心脏。数学的真正组成部分是问题和解。1980年4月，美国数学教师全国联合会公布了行动纲领,首次提出必须把问题解决作为中学数学教育的核心.2问题的不同层次。常规问题。概念性问题。探索性问题。研究性问题。主要讨论探索性问题.好的问题具有启发性和可发展的空间。启发性不仅指问题的解答中包含重要的数学原理，而且能启发你识别模式。可发展空间指，问题解决后，它会给你开辟一个新的领域.3对学生的要求。想学好数学，成为解题能手，需要做到下面两点：不能缺课。先读书，后做题。4作题四境界:准备、酝酿、顿悟和总结。准备。准备工作包含下列三种：了解问