共线向量基本定理的引申及其应用

1、PAGE PAGE - 6 -共线向量基本定理的引申及其应用一问题提出共线向量基本定理的内容是：平面内两个向量和，若存在唯一实数，使得则和共线。利用这一定理可以证明三点A,B,C共线，即存在唯一实数，使得且与同过始点A,，则A,B,C三点共直线。ACBO在此基础上，我们提出下面两个问题：问题1：已知A,B,C共直线l,O为直线外一点，且。求证：证明：A,B,C三点共线l,且则问题2：已知A,B,C共直线l,O为直线l外一点，且有（和为实数）。求证：+=1证明：A,B,C三点共线l ，则则令=1-则则+=1通过以上两个互逆命题的得证，我们完全可以得出以下定理：定理：在平面内，A,B,C共线的充要

2、条件是：(O为平面上任意一点)，其中+=1。特殊地，当B为AC中点时，利用以上定理，能比较方便的解决很多有关向量的计算、证明问题。二.定理在解题中的应用BAEDC例1.（2013 江苏）设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点， 若则1+2= .高考解析是这样解的：由题意作如下图形：解法一：在ABC中故还可以这样来求解：解法二：A为直线BC外一点，故设由已知故从解法二可以看出，还可以将条件推广为点E为直线BC上任意一点，所求结果仍然不变。证明如下：证明：点E为直线BC上任意一点，故设又，且,EODBAC例2：如图，已知OAB中,点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2:1的一个分点，DC和

3、OA交于点E,设（1）用和表示向量（2）若求实数的值。解：（1）由已知点A为BC的中点，则故（2）D,E,C三点共线，故设，由（1）则解得=MBADCOFE例3（2007长沙，2010 山东滕州）如图，在OAB中, ,AD与BC交于点M，设(1)用表示(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BDA上取一点F,使EF过M点，设.求证：解：（1）由A,M,D三点共线，可设,又,，同理，由C,M,B三点共线， （2）由E,M,F三点共线，设,由已知 则PAOGBCQ由（1） 例4：如图，ABC中，G为它的重心，PQ的中心为G点，则 。解：Q,G,P三点共线，故设由已知，,又由三角形重心的性质:故例5（

4、江西五校:师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考）已知平面向量满足，且与的夹角为1200，则的最小值是_这道题若象下面的解法化为函数来解，则很麻烦：解法一：由已知，且与的夹角为1200，=令则上式=x2-2x+4=(x-1)2+3的最小值为3，故的最小值为.如果利用向量减法的几何意义，画出如下图形ACOC1B解法二：把与的始点移到同一点O,则,由已知DAB= 1200，则OAB= 600,注意到所求向量与的系数和为1，故对应的向量始点为O，终点C必在直线AB上移动，由向量膜的几何意义，当点C落在点C1时的膜最小即线段OC1的长。在RtOAC1中，,OAB= 600,OC1=.故的

5、最小值为.例6 （2014 天津）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=1200,点E,F分别在边BC、DC上，BE=BC,DF=DC, （ ）A B C D 试题分析：此类向量的问题，若从定义角度或几何的角度出发，对考生的思维层次要求较高，此时可以借助建立直角坐标系的方法，降低问题的难度，通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化即可。解法一：建立如图所示的直角坐标系，故A（0,1），B，C（0，-1），D,故 OEBAxFCDy故,同理故故依题意，解得，故，故选C.BADFCE但是，如果没有想到坐标法，就可以用以下方法解答。解法二：由即B,E,C三点共线，可设同理，可设 又代入上式化简可得：又由又则联立可得：.由此看来，在我们平时的教学、学习过程中，