数理金融学连续时间金融初步期权定价

1、数理金融学 第7章连续时间金融初步： 期权定价2022/8/1327.1 期权（Option）期权是一种选择权，它表示在特定的时间，以特定的价格交易某种一定金融资产的权利。期权交易就是“权钱交易” 。期权交易同任何金融交易一样，都有买方和卖方，但这种买卖的划分并不建立在商品和现金的流向基础上。它是以权利的获得和履行为划分依据的。期权的买方就是支付期权费（Option premium）的一方，在他支付了期权费之后，即获得了能以确定的时间、价格、数量和品种买卖合约的权利。 2022/8/1337.1.1 期权合约的概念（1）定义期权合约（ Option contracts）是期货合约的一个发展，它

2、与期货合约的区别在于期权合约的买方有权利而没有义务一定要履行合约，而期货合约双方的权利和义务是对等的。（2）基本术语行权价格（Strike price）：是买卖标的资产(Underlying asset）的价格。它在合约有效期内是固定不变的，而且它不一定就是资产的市价，可以高于或低于市价，当然也可能恰好相等。2022/8/134期权费（Option premium）：期权买方付的购买期权的费用，也就是买卖权利的价格。买入方支付期权费，既可购买买权，也可购入卖权，同理，卖出方收取期权费，既可出售看涨期权，也可出售看跌期权。到期日（Maturity date）约定的实施期权日期。过期作废，一般合约

3、有效期不超过一年，以三个月较为普遍。例外：长期股权期权（Long-term equity securities，LEAPS）数量（Amount）：以股票为例，每份期权合约代表可交易100股股票的权利，但执行价格却是按每股标出。2022/8/135标的资产（Underlying asset): 期权多方在支付期权费后有权购买或出售的合约中规定的资产。如股票期权的标的资产就是股票。结算（Settlement)。期权交易是通过经纪人在市场上竞价实现的，这经纪人就是期权清算公司，它是每笔期权交易的中间人，是所有买方的卖方和所有卖方的买方。期权清算公司采用电脑清算每一笔合约，并为其提供担保。如某个期权卖

4、方不履行义务，公司则必须代为履约，因此，期权无信用风险。2022/8/1367.1.2 期权合约的种类（1）按权利分类买权或看涨期权（Call option） ：看涨期权的多头方有权在某一确定时间以某一确定价格购买标的资产，但无履约义务。一旦多方决定履约，空头必须出售资产。卖权或看跌期权（Put option） ：多头方有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产，但无履约义务。空头方只有履约义务。 注意：这里看涨和看跌是以多头的收益来命名的。2022/8/137看涨期权看跌期权多头：买了以一定价格购买某种资产的权利，希望标的资产价格上涨空头：卖了以一定价格购买某种资产的权利，希望标的资产价格

5、下跌。因为下跌多方不会履约，则空头赚取期权费。多头 ：买了以一定价格出售某种资产的权利，希望标的资产价格下跌。空头：卖了以一定价格出售某种资产的权利。希望标的资产价格上升，因为价格上升多方不会履约，则空头赚取期权费。期权2022/8/138（2）按合约是否可以提前执行（Settlement）欧式期权（European option）：只有在到期日那天才可以实施的期权。美式期权（American option ）：有效期内任一交易日都可以实施的期权。问题：若其他条件相同，那种期权的期权费更高？（3）按标的资产（Underlying asset）分类权益期权：股票期权、股指期权。固定收益期权：利率

6、期权、货币期权。金融期货期权：股指期货期权，将期货与期权结合在一起。2022/8/139例1：清华同方股票期权（欧式）2001年1月1日，投资者A向B购买未来6个月内交割的，以每股35元的价格购买清华同方股票的权利（看涨期权），共10份合约， 100股为标准合约单位，该期权的总价格为500元，即每股期权费为元。概念辩析： 2001年1月1日为合约生效日，这里35元为行权价格，每股期权费为元，2001年6月30日为到期日，也是执行日。A是多头，B是空头。2022/8/1310操作步骤：2001年1月1日合约生效，投资者A必须向B付出500元。因此，不论未来的价格如何，A的成本是500元。如果6月

7、30日股票的价格高于35元，则A行权。那么，A还要再付出35000元购买股票，由于股票价格高于其成本，那么他马上将股票抛售就能获利。问题1：若5月20日清华同方宣布它的股票以1:10的比例进行分割，该期权合约条款是否应该调整？问题2：如果预期清华同方在合约有效期内现金分红，是否对期权价格构成影响？ 2022/8/1311如果到期日股票价格为45元，则多方的利润是多少？空方损失多少？9500如果到期日股票价格为30元，则多方的损失为？空方获利多少？5002022/8/1312例2：投资者A购买清华同方股票看跌期权（欧式） 合约生效日：2001年1月1日有效期：6个月期权费：元/股合约数量：10份

8、标准合约单位：100股执行价（行权价）： 35元/股问题：如果6月30日清华同方股价低于元，A是否行权？假设6月30日的价格为元，A将获利1000元，A如何才能获得这1000元？ 2022/8/1313 因为（1）A必须持有股票1000股，才能在将来行权时出售给B，因此，A原先有1000股。（2）假设6月30日的价格为元， A行权，则以35元的价格向B出售1000股股票，获得35000元。（3）A花33500元购买1000股股票，剩余1500元，扣除500元的期权费，A就获得1000元。（4）现在，A拥有1000股股票加1000元现金的资产，显然A获利1000元。2022/8/1314看涨期权

9、的风险与收益关系ST RST R图中：何为多方、何为空方？ 看跌期权的风险与收益关系7.1.3 期权的风险与收益2022/8/1315看涨期权多头的收益STXCt，若STXCt，若ST X其中，ST是到期日T标的资产的价格； X是执行价格, Ct和Pt分别是t时刻看涨期权和看跌期权的期权费。看跌期权多头的收益X ST Pt ，若ST XPt，若ST X2022/8/1316总结看涨期权的损益（Profit & Loss)（1）多头方：Rclmax(0,ST-X)-Ct（2）空头方：Rcs Ct -max(0,ST-X)看跌期权的损益（1）多头方： Rplmax(0, X -ST)-Pt（2）空

10、头方： Rps Pt -max(0, X -ST)2022/8/13177.1.4 期权的投资策略（1）保护性看跌期权（Protective put）同等数量的标的资产多头与看跌期权多头构成的组合。组合价值至少是X-Pt，最大是ST-Pt问题：保护性看跌期权的投资策略是否违反“风险与收益对等”原则？STXSTX股票多头STST看跌期权多头X-ST-Pt-Pt总计X-PtST-Pt2022/8/1318保护性看跌期权的特征对于该组合的多方而言，其损失是有限的，而理论收益无限双重目的在标的资产下跌时减少损失不影响标的资产上升时的获利机会 所以，它对资产具有保护作用，因此，要付出保护费！2022/8

11、/1319（2）抛补的看涨期权（Covered call）：标的资产多头看涨期权空头。抛补期权空头方将来交割标的资产的义务正好被手中的资产抵消。STXSTX股票多头STST看涨期权空头Ct-(ST-X)Ct总计ST CtXCt组合的最大价值是XCt，最小为Ct。2022/8/1320抛补看涨期权的收益特征在获得期权费的同时，放弃了标的资产价格上涨可能带来的获利机会。问题：投资者希望到期日标的资产市价超过X，还是低于X？（基于“机会（沉没）成本”的分析）若投资者手中拥有股票100元，则他可以设置一个执行价格为110元的看涨期权空头，期权费3元。若价格为到期日资产价格为105元，则投资者获利8元。

12、反之，若股票价格低于100元呢？ 投资策略：尽可能设置高的执行价格X。2022/8/1321（3）对敲（Straddle），又称骑墙或者跨坐组合：对敲多头组合：同时买进具有相同执行价格与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌期权。（期权费可能不等？）STXSTX看涨期权多头-CtST-X-Ct看跌期权多头X-ST PtPt总计X-ST -Ct-PtST- X-Ct -Pt2022/8/1322 RST RXST00 RXST02022/8/13232022/8/1324对敲组合多头的收益特征损失有限：若标的资产价格=执行价格，则损失最大（理论）收益无限：收益随标的资产价格的上升或下降而增加。问题

13、：对敲组合多头适用于什么样的市场条件？当投资者预期标的资产的价格会有较大的波动，且无法判断其方向时。例如一家企业成为兼并收购的目标时。2022/8/13257.1.5 期权与金融工程金融工程（Financial engineering）包括创新型金融工具与金融手段的设计、开发与实施，以及对金融问题给予创造性的解决。运用期权与标的股票以及无风险债券构造资产组合（Portfolio），可以得到与某些金融工具有完全相同的损益特征（即模仿金融工具），也可以合成金融工具，例如：可转换债券。2022/8/1326实例：模仿股票（the mimicking stock)模仿股票是一个买权多头和一个卖权空头的

14、组合。假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，两个期权的执行价格都是XSt（t时刻股票的价格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为 R= max(0,ST-X)-max(0, X -ST)- (ct-pt） =ST-X-ctpt =ST- St -ctpt2022/8/13277.1.6 期权的作用与本质（1）套期保值（Hedge） 利用期权损益的不对称性可以对资产进行保值。期权的多头方相当于购买了一个保险，期权费相当于保险费。例：假设A公司的股票当前价格为每股60元，投资者B估计股票A将上涨。投资者要购买10000股的股票（10份期权合约）。那么，他有两个策略可以选择。2022

15、/8/1328策略1：B直接购买10,000股股票，总投资600,000元；策略2：B买入执行价格为60元的看涨期权，假设期权费为3元/股，总投资30000元。两种策略比较：若A公司的股票大幅上涨，上涨越多二者的获利越趋向于相同（虽然策略要付出期权费，但策略1的投资额大大多于策略2，要付出利息） 。若股票大幅下跌，策略2的损失锁定为30000元，策略1的损失却是无法预期的。2022/8/1329（2）高杠杆(Leverage)的投资例4：公司股票现价为60元/股，其未来3个到期的看涨期权的期权费为2元/股，若预期到期日的股票价格为63元，投资者持有6000元，则两种投资策略下的损益为：购买股票

16、获利300元，利润率：5；购买30份期权合约（100股/份）获利3000元，利润率：50%。若股票价格下跌到61元，期权投资亏损6000元，股票亏损100元。期权投资是赌博？2022/8/1330（3）期权的本质时间价值期权的购买者买到的是：降低未来不确定性的保险。期权空头方给予多头方一段时间，使其能够进一步利用所获得的新的信息，降低对未来预期中的不确定程度，从而做出更加合理的决策。投资：时间价值的交易风险的交易。引申：由于时间的单向性，时间是最宝贵的资源：义务=献出时间，权利=得到时间。2022/8/1331练习题假设有两个标的资产和到期日相同的看涨期权1和2，期权1的执行价格和期权费分别是

17、95元和7元，期权2的执行价格和期权费分别是105元和3元。 若某投资者买入两个期权1，同时卖出1个期权2，形成一个期权投资组合，请计算该组合的损益?（分别用分段函数和图来表示）。2022/8/1332练习题假设某股票当前的市场价格为100元，以该价格作为执行价格买权和卖权分别为7元和3元。投资者选择以下两种投资策略通过股票市场以100元价格买入该股票；通过期权市场构造模仿股票。如何模仿？请列出二者的损益，并分析其投资效率（投入产出比）？2022/8/13337.2 Black-Scholes期权定价模型概述Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Mer

18、ton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权2022/8/1334无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动2022/8/1335B-S模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式2022/8/13367.3 维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是Ma

19、rkov stochastic process的一种。对于随机变量w是Wiener process，必须具有两个条件：在某一小段时间t内，它的变动w与时段满足t（）2. 在两个不重叠的时段t和s, wt和ws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！（）有效市场2022/8/1338满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量wt的满足证明：2022/8/1340在连续时间下，由（）和（）得到（）（）所以， 概率分布的性质以上得到的随机过程，称为维纳过程。2022/8/13417.4 ITO定理一般维纳过程(G

20、eneralized Wiener process)可表示为（）显然，一般维纳过程的性质为2022/8/1342一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程2022/8/1343B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（）证券的预期回报与其价格无关。2022/8/1344ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资

21、产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为（）证明：将（）离散化由（）知利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为（）在连续时间下，即因此，（）可以改写为（）从而即x2不呈现随机波动！（）由（）可得（）由（）得到（） 由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即当t0时，由（）可得7.5 B-S微分方程假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为2022/8/1351假设某投资者以份的标的资产多头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且满足则该组合的收益为202

22、2/8/1352下面将证明该组合为无风险组合，在t时间区间内收益为注意到此时不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于t较小（不采用连续复利），则整理得到B-S微分方程的意义衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。2022/8/1355若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布

23、，即7.6 几何布朗运动与对数正态分布2022/8/1356令则这样由伊藤引理得到即2022/8/1357由（）2022/8/1358则称ST服从对数正态分布，其期望值为所以2022/8/13597.7 B-S买权定价公式 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为2022/8/1360（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St,则T时刻的股票价格的期望值为B-S买权定价公式推导（）2022/8/1361（）由（）和（）得到（）根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则这表明

24、：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。2022/8/1362（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为（）2022/8/1363由于ST服从对数正态分布，其pdf为（）第1项第2项将由(7.16)得到2022/8/1364（3）化简（）中的第1、2项，先化简第1项（）当前时刻价格，不是变量2022/8/1365（）2022/8/1366 将（）与（）内的第2个指数项合并，即（）2022/8/1367将（）代入（）下面，将利用变量代换来简化（），不妨令（）2022/8/13682022/8/1369y的积分下限为y的积分上限为202

25、2/8/1370将dy与y代入（），即有这样就完成了第1项的证明。（）2022/8/1371下面证明B-S公式中的第2项，首先进行变量代换，令2022/8/1372则z的积分下限z的积分上限2022/8/1373将z和dz代入（）2022/8/1374则由（）和（）得到其中2022/8/1375pr0dN(d)例如:当d时,N(d)913.5%2022/8/1376B-S买权公式的意义N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的

26、现值。 2022/8/1377其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。假设两个N(d)均为1，看涨期权价值为St-Xe-rT，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了现值Xe-rT的债务。期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数，具有如下性质FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInt