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1、工程数学第13讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择工程数学子目录)1第四章 随机变量的数字特征2分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性. 但在一些实际问题中, 不需要去全面考虑随机变量的变化情况, 而只需知道随机变量的某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数. 例如, 在评定某一地区的粮食产量的水平时, 在许多场合只要知道该地区的平均产量; 又如在研究水稻品种优劣时, 时常是关心稻穗的平均稻谷粒数; 再如检查一批棉花的质量时, 即需要注意纤维的平均长度, 又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度. 因此, 与随机变量的有关数值, 能够描述随机变量的重要特征.31 数学期望4

2、一个例子. 一射手进行打靶练习, 规定射入区域e2得2分, 射入区域e1得1分, 脱靶, 即射入区域e0, 得0分. 射手一次射击得分数X是一个随机变量.e0e1e25设X的分布律为PX=k=pk, k=0,1,2.现在射击N次, N是一个很大的数, 也可能是一百, 也可能是一万, 等等. 其中得0分的有a0次, 得1分的有a1次, 得2分的有a2次, a0+a1+a2=N.射击这N次得分总和为a00+a11+a22. 于是平均一次射击的得分数为6这里, ak/N是事件X=k的频率. 当N很大时, ak/N将近似为事件X=k的概率pk. 就是说,7定义 设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=

3、pk,k=1,2,.若级数绝对收敛, 则称此级数的和为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即8设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分绝对收敛, 则称此积分的值为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即数学期望简称期望, 又称为均值.9例1 甲乙二人打靶, 所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布律分别为试评定他们成绩的好坏.解 计算X1,X2的数学期望为E(X1)=00+10.2+20.8=1.8(分)E(X2)=00.6+10.3+20.1=0.5(分)很明显乙的成绩远不如甲的成绩.X1012pk00.20.8X2012pk10例2 有2个相互独立工作的电子

4、装置, 它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布, 其概率密度为若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(以小时计)N的数学期望.11解 Xk(k=1,2)的分布函数为由第三章5(5.8)式N=min(X1,X2)的分布函数为12因而N的概率密度为于是N的数学期望为13例3 按规定, 某车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立, 其规律为到站时刻8:009:108:309:308:509:50概率1/63/62/6一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.14解 设旅客的候车时间为X(以分计), X的

5、分布律为在上表中, 例如其中A为事件第一班车在8:10到站, B为第二班车在9:30到站.15候车时间的数学期望为16例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式, 记使用寿命为X(以年计), 规定:X1, 一台付款1500元;1X2, 一台付款2000元;23, 一台付款3000元.设寿命X服从指数分布, 概率密度为试求该商店一台收费Y的数学期望.17解 先求出寿命X落在各个时间区间的概率,18一台收费Y的分布律为Y1500200025003000pk0.09520.08610.07790.7408得 E(Y)=2732.15即平均一台收费2732.15元.19例5 在一群体中普查

6、某种疾病, 为此要抽检N个人的血, 可以用两种方法进行. (1)将每个人的血分别去验, 这就需要验N次. (2)按k个人一组进行分组, 把从k个人抽来的血混合在一起进行检验, 如果这混合血液呈阴性反应, 就说明k个人的血都呈阴性反应, 这样k个人的血就只需要验一次. 若呈阳性, 则再对这k个人的血液分别进行化验. 这样, k个人的血总共要化验k+1次. 假设每个人化验呈阳性的概率为p, 且这些人的试验的反应是相互独立的. 试说明当p较小时, 取适当的k按第二种方法可减少化验的次数, 并说明k取什么值时最适宜.20解 各人的血呈阴性反应的概率为q=1-p. 因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为q

7、k及呈阳性反应的概率为1-qk.设以k个人为一组时, 组内每人平均化验次数为X, 则X是一随机变量, 其分布律为21X的数学期望为N个人平均需化验的次数为由此可知, 只要选择k使则N个人平均需化验的次数0, 常数), 求W的数学期望.解 由(1.4)式有29例9 设随机变量(X,Y)的概率密度30解 由(1.5)式得31例10 某公司计划开发一种新产品, 并要确定产品的产量. 评估出售一件产品可获利m元, 而积压一件产品导致n元损失. 预测销售量Y(件)服从指数分布, 其概率密度为问若要获得利润的数学期望最大, 应生产多少件产品(m,n,q均为已知)?32解 设生产x件, 则获利Q是x的函数:

8、Q是随机变量, 是Y的函数, 其数学期望为333435数学期望的几个重要性质: (假设所提随机变量的数学期望存在).(1) 设C是常数, 则E(C)=C.(2) 设X是一个随机变量, C是常数, 则有E(CX)=CE(X).(3) 设X,Y是两个随机变量, 则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).此性质可推广到任意有限个随机变量之和.(4) 设X,Y是相互独立的随机变量, 则有E(XY)=E(X)E(Y).可推广到多个相互独立的随机变量.所有性质都可用式子(1.3)(1.6)证.36例11 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车.

9、以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).解 引入随机变量易知 X=X1+X2+.+X10.现在来求E(X).37按题意, 任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.38由此进而39例12 设一电路中电流I(A)与电阻R(W)是两个相互独立的随机变量, 其概率密度为试求电压V=IR的均值.解402 方 差41先从例子说起, 一批灯泡的平均寿命是E(X)= 1000(小时). 仅由这一指标还不能判定灯泡的质量好坏. 也有可能绝大部分灯泡的寿命都在9501050小时; 也有可能其中约有一半是高质量的, 寿命约有1300小时, 而另一半却是很

10、差的, 寿命约为700小时. 为要评定灯泡的质量, 还需考察灯泡寿命X与其均值的偏离程度, 若偏离程度较小, 表示质量比较稳定. 再比如说评定棉花质量时, 即要注意纤维的平均长度, 还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度.42由此可见, 研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的. 用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E|X-E(X)|能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值, 运算不方便, 为运算方便起见, 通常是用量EX-E(X)2来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度的.43定义 设X是一个随机变量, 若EX-E(X)2存在, 则称EX-E(X)2为X的方差

11、, 记为D(X)或Var(X), 即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2.(2.1)在应用上还引入与随机变量X具有相同量纲的量称为标准差或均方差.44按定义, 随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度. 若X取值比较集中, 则D(X)较小, 反之, 若取值比较分散, 则D(X)较大. 因此, D(X)是刻画X取值分散程度的一个量, 它是衡量X取值分散程度的一个尺度.45由定义知, 方差实际上就是随机变量X的函数g(X)=(X-E(X)2的数学期望. 于是对于离散型随机变量, 按(1.3)式有其中PX=xk=pk, k=1,2,.是X的分布律.对于连续型随机变量, 按(1.4)式有其中f(x)是X的概率密度.46随机变量X的方差可按下列公式计算:D(X)=E(X2)-E(X)2.(2.4)证 由数学期望的性质(1),(2),(3)得D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)E(X

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