工程数学第18讲

1、卷积定理与相关函数卷积的概念若已知函数f1(t), f2(t), 则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)卷积的图示f1(t)f2(t)tOf2(-t)OttOtf2(t-t)一个函数卷积自己的图示在积分中, 令u=t-t, 则t=t-u, du=-dt, 则即卷积满足交换律.下证卷积满足结合律, 即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)为此, 令则交换二重积分的次序, 得令v=t-u, 则u=t-v, 例1 证明 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证 根据卷积的定义任给函数f(t)

2、, 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.在近世代数中, 代数(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则. 比如数的加减乘除, 向量的加, 内积, 矩阵的加和乘, 向量或者矩阵乘数, 等等,都是代数运算.如果一个代数运算满足类似加法的性质, 如有0元素, 有负元素, 满足交换律和结合律, 则相应的集合叫做加法群, 简称群.如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算, 满足交换律和结合律, 有1元素, 且同相应的加法运算满足分配律, 此集合就叫做乘法环, 简称环.如果乘法除0元素外都有逆, 则被称作域了.例2

3、若求f1(t)*f2(t)f1(t)1OttOf2(t-t)1t由卷积的定义有tO1-e-t1卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w)则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w)以及证 按傅氏变换的定义, 有相关函数对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号R(t)表示, 即根据R(t)的定义, 自相关函数是一个偶函数, R(-t)=R(t)事实上,令t=u+t

4、, 可得关于互相关函数, 有如下的性质:R21(t)=R12(-t)前面已经证明过令f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+t), 设f(t)F(w), 则假设f1(t)F1(w), f2(t)F2(w), 称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度. 则即R12(t)S12(w), 且易证S21(w)= S12(w)例3 求指数衰减函数的自相关函数和能量谱密度tOf(t)1tOf(t+t)1tOf(t+t)1-t-t当t0时, 积分区间为0,+)当t0时, 积分区间为-t, +)因此, 当t时, 自相关函数可合写为并求得能量谱密度为例4 利用傅氏变换的性质, 求d(t-t0),例5 若f(t)=cosw0t u(t), 求F f(t)例6 若F(w)=F f(t), 证明奈奎斯特采样率假设时间函数f(t)在区间-a, a之外全为零, 并假设f(t)F(w)tOf(t)a-aOwF(w)现将f(t)进行周期化, 产生fT(t), T=2a, 然后用傅氏级数表示.tOfT(t)a-atOfT(t)a-aOwFT(w)w1w2.根据对称原理有FT(t)2pfT(-w)OtFT(t)i1t2.wOfT(-w)a-a假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在-2pB,2pB之外为0.B称为f(t)的带宽.wOF(w)2pB-2pB