2019-2020年高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明知能训练轻松闯关理北师大版选修

1、4.已知a, b, c均为正实数，且互不相等，且abc= 1,求证： *+平+护0,比较(x 1)2与(x + 1)2的大小. 解：(.x 1)2(、x+1)2=(x- 1) + ( x + 1)(，:X 1) (、X+ 1)=4 ,x.因为x0,所以.x0,所以一4 ,；x0, 所以(.x 1)2b。，求证： 丁.卄a2 b2 a b法一：a2+ b2 a+b3 ab2 + a2b a3 + b3 + a2b ab22 设证明:3 a (a2 + b2)( a+ b)2.22a b 2ab 2 2(a + b )( a+ b)2ab (a b) 2 2 (a + b )( a+ b)，因为a

2、b0,所以 a b0, ab0, a + b 0, a+ b0. a2 b2 a b所以 a+b2 a+b 0， 所以臥 哄.a + b a+ b法二：因为ab0, 所以 a+ b0, a b0.2 ,2a b 2 2 . 2a+b a b 所以. 一a b a + ba+ b(a+ b) 2a + ba2 + b2 + 2aba + bab1 +2 21.a + ba2 b2 a b 所以-2b2-b.a + b a+ ba+ ba b1 13. (xx 咼考湖南卷)设a0, b0,且a+ b + .证明：a b(1) a+ b2； a2 + a2与b2 + b0, b0,得 ab 1.a

3、b ab由基本不等式及 ab 1，有a+ b2 . ab 2,即卩a+ b2.假设a2 + a2与b2 + b2同时成立，则由 a2 + a0,得0a1； 同理，0b1，从而ab1，这与ab 1矛盾.故a2 + a2与b2+ b2不可能同时成立.证明：法一：因为 a, b, c均为正实数，且互不相等，且abc= 1,111111+ 71 b c c a a b 11111=一 -所以 Ja+ Jb+ Jc=+ab 222 a b c所以.a+ b+ _ c a+ b + c.a, b, c是不等正数，且 abc= 1,1bc+ ca ca + ab ab+ bc 222+ 2 + 2pabc

4、+7a bc+pab c=#a1 1法二：因为-+匚2a bbc=2a；1 1b+c2所以以上三式相加，得又因为a，法三：因为1 1 .所以匚+ 匚+：= bc+ ca+ ab=,a b c2,c.所以+审+寸&1+舟+1.5. （xx 高考课标全国卷I求a3 + b3的最小值；是否存在a, b,使得（1）由寸ab=1+解:故 所以a3+(2)由(1)知, 由于4 . 36 6.)若 a0, b0,且 1+ 1 =価.2a + 3b= 6 ?并说明理由.2，得ab2,且当a= b=2时等号成立.aba3 + b32 a3b34*2，且当a= b= 2时等号成立.b3的最小值为4 2.,2a+

5、3b2 6 ab4 3.，从而不存在 a, b,使得2a+ 3b= 6.（xx 贵州省六校第一次联考 ）已知a0, b0, a+ b= 1，求证:1 1 1 a+ b+ 旷8； 2次+1 9.b./证明： 因为a+ b= 1, a0, b0, 11111所以一 + +=+a b ab a1 1=2孑b丿a+ b a+ b.a + b=2 b+ b + 44a b1 1 1所以a+1+81 a+ b b abb aa ba+ 4 = 8当且仅当a= b= 2时，等号成立，因为1 +1 1 1 a+ b+ ab+1,所以1 +1 1 由知a+b+8.+1 9.2019-2020年高考数学一轮复习选

6、修部分不等式选讲课时达标检测六十三绝对值不等式理已知函数 f(x) = | x + m - |5 -x|( m R).当m= 3时，求不等式f (x)6的解集；若不等式f (x) w 10对任意实数x恒成立，求 m的取值范围.解：(1)当m= 3时，f(x)6，即|x+ 3| - |5 -x|6 ,不等式的解集是以下三个不等式组x 5,解集的并集 、“|x + 3 x-解得x5;了一 3x5,或解得4x6的解集为x|x4.(2) f (x) = |x + m -15 - x| W |( x + m + (5 - x)| = |5|，由题意得 |5| w 10,则一10W5W 10,解得15W

7、me 5,故m的取值范围为15,5. (xx 江西南昌模拟)已知函数f (x) = |2x- a| + |x- 1|.若不等式f (x) W 2- |x- 1|有解，求实数a的取值范围；当a一一12由不等式f (x) w 2- |x -1|有解，a 2- 1 W 1，即卩0W aw 4. 实数a的取值范围是0,43.3.aa由 2x a= 0 得 x = 2,由 x 1 = 0 得 x = 1,由 a2 知空1,3x + a+ 1:f(x)才 x-a+ 喙x4 ; 若？ x m， 2，不等式a+ 1f (x)恒成立，求实数 a的取值范围.解：(1) f(x) = |2x + 3| + | x

8、1|，3x 2, x |， f (x)=3x + 2,32 w x1,x1,f(x)4，可化为2或 2或3x+ 24,3x 24X+ 44解得 x 2 或 O1.不等式 f (x)4 的解集为(一a, 2) U (0,+).3 由知，当x 2时，f (x) = 3x 2,当 xl,53 a+ 1w 2，即卩 awi实数a的取值范围为(xx 长春模拟)已知函数f (x) = |x 2| | x+ 1|.(1)解不等式f(x)1 ；当x0时，函数g(x)=2 ax x+ 1x(a0)的最小值大于函数f (x)，试求实数a的取值范围.解： 当x2时，原不等式可化为 x 2 x 11,解集是? 当一K

9、 XW2时，原不等式可化为 2 x x 11,即一K x0; 当x1,即卩x 1.综上，原不等式的解集是x| x0.1 因为 g(x) = ax+ -一 12 a 1,X： a当且仅当x =时等号成立，a所以 g( x) min = 2%a 1,1 2x, 00 时，f (x) = * 、3, x2,所以 f(x) 3,1)，所以 2 a1 1,即 a 1,故实数a的取值范围是1 ,+s). (xx 湖北四校联考)已知函数 f(x) = e|x+ a| |xb|, a, b R.当a= b= 1时，解不等式f (x) e；2 . .若f (x) We恒成立，求a+ b的取值范围.解：(1)当

10、a= b= 1 时，f (x) = e|x+1|x1|，由于 y= ex在(8,+ )上是增函数，所以 f(x) e 等价于 |x+ 1| |x1| 1,当 x1 时，|x+ 1| | x 1| = x + 1 (x 1) = 2，则式恒成立；1 当一1x 1,此时- xg(a) + 2;当x a, 1)时恒有f (x) w g( a)，求实数a的取值范围.2x - 2, xw- 3,g(3) = 4.解：(1) a= 3 时，f (x) = |x 1| + | x + 3| = 4,- 3x 1,f(x)g(a) + 2 化为 |x-1| + |x + 3|6 ,-2x - 26,46,2x

11、+ 26,x- 3,或 I 3x 1,解得x2.所求不等式解集为( a, 4) U (2 ,+s).(2) x - a, 1). f(x) = 1 + a.- f (x) w g( a)即为 1 + aw a a 2，可化为 a 2a 30,解得 a3 或 aw 1.又 a 1.综上，实数a的取值范围为3 ,+a).(xx 安徽蚌埠模拟)已知函数 f (x) = |2x a| + |2x + 3| , g(x) = |x 1| + 2.解不等式I g(x)|5 ；若对任意X1 R,都有X2 R,使得f(x” = g(X2)成立，求实数a的取值范围.解：(1)由 | x 1| + 2|5，得5|

12、x 1| + 25, 7|x 1|3，解得-2x4,.原 不等式的解集为x| 2x|(2 x a) (2x+ 3)| = | a+ 3| ,g(x) = | x 1| + 22,. |a+ 3|2,解得 a一1 或 aw 5,实数a的取值范围是(一a, - 5 U 1,+).&已知函数 f (x) = |3 x+ 2|.解不等式 f(x)0),若| x a| f (x) w詬+ (a0)恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)不等式 f (x)4 |x 1|，即 |3x+ 2| + |x 1|4.2当 x 3时，即一3x 2 x + 14 ,3” f 52解得：x_ ：；32当一3w xwi 时,即 3x+ 2 x + 14 ,32 1解得-w x1 时，即 3x + 2 +