新教材新高考一轮复习北师大版 11.2 排列与组合 学案

1、第二节排列与组合课程标准考情分析 核心素养 1.理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式2020年新高考第3题考查了组合计数和乘法原理；2021年新高考()卷和()卷都未考查排列和组合逻辑推理数学运算教材回扣夯实“四基”基础知识1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照_排成一列组合作为一组【微点拨】定义中规定mn，如果mn，则这样的排列只是取一部分元素作排列，叫做选排列；如果mn，则这样的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列2排列数与组合数排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有_的个数从n个不同元素中取出m(mn)个元素

2、的所有_的个数公式Anm n(n1)(n2)(nm1)n！(n-m)！Cnm AnmAmm_性质Ann_，0！_CnmCnn-m ，Cnm + Cnm1 Cn+1m【微点拨】排列数与组合数的两种形式：连乘积形式；阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证常用结论1Anm(n-m+1) Anm-1 .2AnmnAn-1m-1.3(n1)！n！nn！.4kCnk nCn-1k-1 .5CnmnmCn-1m1nn-m Cn-1mn-m+1m Cnm1 .6 Anm Cnm Amm .基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.所有元素完全相同的

3、两个排列为相同排列()2两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()3若组合式Cnx Cnm ，则xm成立()4(n1)！n！nn！.()题组二教材改编5 A42 + C73 ()A35B47C45 D576若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是()A6 B12C18 D24题组三易错自纠78名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为()A.A55 A33 B. A83 + A55C.A85 + A33 DA888某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为_题型突破提高“四能”题型一排列问

4、题 例1(1)2022广东实验中学模拟某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有()A18种B36种 C60种D72种(2)某校高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A1 800B3 600 C4 320D5 040(3)2022天津耀华中学模拟三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有_种听课记录类题通法求解排列问题的四种常用方法巩固训练1(1)2022安徽合肥模拟有8位学生春游，其中小学生2名

5、、初中生3名、高中生3名现将他们排成一列，要求2名小学生相邻、3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有()A288种 B144种C72种 D36种(2)某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有_种题型二组合问题 例2男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员听课记录类题通法组合问题的两类题型巩固训练2(1)某市为了提高整

6、体教学质量，在高中率先实施了市区共建“12”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去两所共建学校交流学习若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则共有选派方法()A160种 B80种C40种 D20种(2)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)题型三分组、分配问题角度1 不等分问题例32020新高考卷6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A120种 B90种C60种 D30种听课记录类题通法对于不等分问题，首先要对分配

7、数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题巩固训练3若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法角度2 整体均分问题例4国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有_种不同的分配方法听课记录类题通法对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘巩固训练4将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动

8、，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有_种(用数字作答)角度3 部分均分问题例52022河北辛集中学模拟有5名同学考虑报书法、围棋、绘画3个暑假兴趣班，如果每人只能报1个兴趣班，每个兴趣班都有同学报名，可能的报名结果共有_种(用数字作答)听课记录类题通法对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m！.巩固训练52022山东日照模拟某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村必须有1名干部，每个干部至多去3个村，则不同的选派方案共()A243种 B210种C150种 D125种16排列、组合问题的解题策略策略一特殊元素与特殊位置优先策略典例

9、12022北京丰台模拟若从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为()A18B24C28 D32【解析】根据题意，分2种情况讨论：从0，2，4中任取2个数字中不含0，其取法有1种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种，将选出的3个数字全排列，组成三位数，有A336种情况，此时有2612个没有重复数字的三位数，从0，2，4中任取2个数字中含有0，其取法有2种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种，用选出的3个数字组成三位数，有A21 A224种情况，此时有22416个没有重复数字的三位数，故有121628 个符合题意的三位数故选C.【答案】C类题通

10、法策略二相邻元素捆绑策略典例22022河北正定中学月考张老师、孙老师与三位学生共五人在清华大学数学系楼前排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法数是()A12 B24C36 D48【解析】把2位老师捆绑在一起看作一个元素，剩下3位同学全排列，有A336种，2位老师构成的元素插入到3位同学所成空隙里，由于不在两端，所以共有2个空，故有A22A33 A2124种故选B.【答案】B类题通法策略三不相邻问题插空策略典例3某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数

11、为()A12 B24C48 D720【解析】先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有A22种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有A33种不同的排法，再排2本语文书，有A22种不同的排法，最后排2本英语书，有A22种不同的排法根据分步乘法计数原理，得共有A22A33A22 A2248种不同的排法故选C.【答案】C类题通法策略四定序问题倍缩、空位插入策略典例47人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有_种不同的排法【解析】方法一共有A77 A33 840种不同的排法方法二设想有7把椅子让除甲、乙、丙以外的4人坐，共有A74种坐法，其余的三个位置给

12、甲、乙、丙坐，有1种坐法，则坐法种数为A74840.故共有840种不同的排法方法三先让甲、乙、丙排队，有1种排法，再把其余4人分别插入，不同排法的种数为4567840.故共有840种不同的排法【答案】840类题通法策略五分排问题直排策略典例5有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是()A234 B346C350 D363【解析】方法一一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为A202，还需排除两左右相邻的情况把可坐的20个座位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有A191A22，还

13、应再加上2A22，所以不同坐法的种数为A202-A191A22+2A22346.方法二因为前排中间的3个座位不能坐，实际上可坐的位置是前排8个，后排12个，分成以下3种情况：甲、乙2人一个前排，一个后排，有C81C121A22种排法；两人均在后排，共A1212种排法，还需排除甲、乙2人相邻的情况，即A111A22种排法；故有A1212-A111A22种排法；甲、乙均在前排，又分两类：第一类，甲乙2人一左一右，有C41C41A22种排法；第二类，甲乙2人同左同右，有2(A42-A31 A22)种排法综上不同排法种类有C81C121 A22 + A1212 - A111A22 + C41 C41

14、A22 +2(A42-A31 A22)346.故选B.【答案】B类题通法策略六元素相同问题隔板策略典例6将十个相同的小球装入编号为1、2、3的三个盒子(每次要把十个球装完)中，要求每个盒子里的个数不少于盒子的编号数，则这样的装法种数为()A9 B12C15 D18【解析】根据题意，先在编号为2、3的三个盒子中分别放入1、2个小球，编号为1的盒子里不放；再将剩下的7个小球放入3个盒子里，每个盒子里至少一个，分析可得，7个小球排好，有6个空位，在6个空位中任选2个，插入挡板，共C6215种放法，即可得符合题目要求的放法共15种故选C.【答案】C类题通法第二节排列与组合教材回扣夯实“四基”基础知识1

15、一定的顺序2不同排列不同组合nn-1n-2n-m+1m！n！1基本技能、思想、活动经验12.3.4.5解析：A42+C734！2！+7！4！3！123547.故选B.答案：B6解析：由题可知，甲、乙两人必须相邻，使用捆绑法，看作一个整体，则所求的不同排法数为A22A3312.故选B.答案：B7解析：8名学生站成两排，前排3人，后排5人，等价于8人去站已排好的8个位置，无任何条件限制，所以不同站法的种数为A88.故选D.答案：D8解析：分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31 C42种不同的选法(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法所以不同

16、的选法共有C31C42+C32 C41181230(种)答案：30题型突破提高“四能”例1解析：(1)因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：A在1号位置，B有2、4、5三种位置选择，有3A3318种次序；A在2号位置，B有4，5号两种选择，有2A33种次序；A在4号位置，B有5号一种选择，有A336种；故共有1812636种故选B. (2)先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种排法，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A62种排法，所以共有A55 A623 600(种)排法故选B.解析：(3)先将甲乙捆绑再与另一男生排列有A22A224种站法，三名女生任选两名捆绑，再与另一

17、女生插入男生的3个空位中有A32 A3236种站法，所以不同的站法有436144种站法答案：(1)B(2)B(3)144巩固训练1解析：(1)第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有A22种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有A33种不同排法；第三步，排2名小学生有A22种不同排法，排3名初中生有A33种不同排法根据分步乘法计数原理，共有A22A33A22 A33144种不同排法故选B.解析：(2)现将5名男生全排列，然后再将4名女生插入5名男生之间，则共有A55 A44120242 880种排列方法答案：(1)B(2)2 880例2解

18、析：(1)分两步完成：第1步，选3名男运动员，有C63种选派方法；第2步，选2名女运动员，有C42种选派方法由分步乘法计数原理可得，共有C63 C42120(种)选派方法(2)方法一直接法，“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类加法计数原理可得选派方法共有C41C64+C42C63+C43C62+C44 C61246(种)；方法二间接法，从10人中任选5人有C105种选派方法，其中全是男运动员的选派方法有C65种所以“至少有1名女运动员”的选派方法有C105 -C65246(种)(3)方法一直接法，可分类求解：“只有男队长”的选派方法种数为C84；

19、“只有女队长”的选派方法种数为C84；“男、女队长都入选”的选派方法种数为C83.所以共有2C84 +C83196(种)选派方法；方法二间接法，从10人中任选5人有C105种选派方法，其中不选队长的选派方法有C85种所以“至少有1名队长”的选派方法有C105 -C85196(种)(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C94种选派方法；当不选女队长时，必选男队长，共有C84种选派方法，其中不含女运动员的选派方法有C54种，所以不选女队长时的选派方法共有(C84 -C54)种所以既要有队长又要有女运动员的选派方法共有C94+C84 -C54191(种)巩固训练2解析：(1)先给一所学校派3名教师和

20、1名中层干部，则有C63C21种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，只有1种方法，由分步乘法计数原理可知共有C63 C2140(种)选派方法，故选C.(2)方法一直接法，1女2男，有C21C4212，2女1男，有C22C414，根据分类计数原理可得，共有12416种；方法二间接法，C63 -C4320416种答案：(1)C(2)16例3解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C61；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C52；最后剩下的3名同学去丙场馆故不同的安排方法共有C61C52C3360种故选C.答案：C巩固训练3解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C61种取法；第