电动力学-第四章-2010-11

1、第三讲信息科学技术学院 李正斌2004年10月19日动电力学北京大学信息科学技术学院 区域光纤通信网与新型光通信系统国家重点实验室李正斌理科楼2424 Tel：62754815 Email：2010年11月1电磁波的传播平面电磁波电磁波与导体电磁波的反射、折射和衍射电磁波在导体内部电磁波包围导体波导谐振腔电磁波与介质2平面电磁波电磁场波动方程时谐电磁场与波平面电磁波平面电磁波的偏振时谐电磁波的边值关系电磁波的能量和能流时谐电磁场的唯一性定理3一、电磁场波动方程麦克斯韦方程组J 和 是电流密度和电荷密度1、在真空中4电场满足的波动方程磁场波动方程令真空（自由空间）电磁场波动方程形式，c为电磁波速

2、度。横场条件52、在（均匀、非导电）介质中极化率频域这种介质的 和 随频率变化的现象称为介质的色散材料色散介质中传播的波的频率不同，感受到介质对它的作用也不同。同理介质中的波动方程为v为电磁波在介质中传播的速度由于 和 随频率变化，因此v也会随频率变化63、在导电媒质中电导率欧姆定律以及磁场满足的方程7二、时谐电磁场与波单频率任意电磁波是随时间变化同理麦克斯韦方程改写所以设同样步骤赫姆霍兹方程8波矢量，波的传播方向波数解表示电磁波在空间中的分布状况每一种在空间可能的分布形式称为模式(mode)解写成9三、平面波电磁波k 代表波的传播方向，与 k 垂直的平面为等相位面平面波：等相位面始终是一平面

3、，持续时间无始无终E和H不是相互独立的，满足麦克斯韦方程组首先，在E和H的解幅度、角频率 、波矢量 k、相位常量、传播方向赫姆霍兹方程其次横波条件一般解10自由电磁波是横波E和H垂直，E、H和k满足右手螺旋关系由关系式利用矢量公式得到即均匀平面波的E、H均与传播方向k垂直。电场与磁场的方向都在传播方向垂直的横截面内的电磁波叫横电磁波，TEM波。TEM波是一类非常重要的电磁波，自由空间、传输线中传输的波都是TEM波。电磁波的传播速度：电场与磁感应场强度幅度的比值11第三 色散、相速度、群速度、能速 介质特性是频率的函数，介质的色散，具有色散特性的介质称为色散介质。 速度:电场和磁场相互激发在空间

4、传递的速度称为电磁波的速度。但存在着不同物理量的传播速度。相速度：等相位传播的速度相速度是频率的函数相速度色散群速度：波包传播的速度，非理想单色波时，合振幅为一定值的推进速度12群速度是波包中心传播的速度即传播速度由电场幅度（波包）中心确定。 群速度与电磁波包的能量传播速度一致。从能量角度看，稳态情形下的任何信号的传输必然以能量的传输为信号的传输，因此电磁波信号传播的速度必然是能量的传播速度。群速度与能流传播速度利用Poynting矢量的定义式，电磁波能流密度矢量群速度是多个频率的平面波叠加形成的波包在空间传播的速度，相速度是单个频的平面电磁波的等相位面在空间传播的速度。如果，与频率无关，相速

5、度与群速度相等。群速度与相速度的关系色散带来的问题不同频率的电磁波信号在色散介质中传播具有不同的相速度，这将导致电磁波波包在传播过程中发生形状的变化，即信号失真。13四、平面电磁波的偏振平面电磁波的电场矢量和磁场矢量与波传播方向垂直。但电场或磁场矢量的方向一般随时间而变。平面波中电场矢量在垂直于传播方向的平面上随时间变化的性质叫偏振。偏振指电场而不是磁场电场的振幅可能是复矢量对任意平面电磁波取任意两个矢量一般取E的实数部分14轨迹为椭圆，称为椭圆偏振轨迹为圆，称为圆偏振称为模，随时间变化e2分量取正号t增加，增大，对着波看逆时针旋转，左旋令15e2分量取负号t增加，|增大，对着波看顺时针旋转，

6、右旋左旋椭圆偏振右旋椭圆偏振左旋圆偏振右旋圆偏振线偏振平面电磁波的六要素指数因子频率、相位、传播方向、波速振幅因子强度大小、偏振特性总结：描述电磁波16五、时谐电磁波的边值关系平面波的解为真空和介质中的亥姆霍兹方程导电媒质中的亥姆霍兹方程17在介质分界面传导电流为零自由电荷为零18在导体界面上面电流可能不为零面电荷可能不为零特别注意：准静电平衡感应电流、感应电荷仅在导体表面即电流只可能在表面流动，磁场切向分量可透入表面层，而法向不能19六、时谐电磁场的唯一性定理问题：如何确定时变电磁场？时变电磁场的唯一性定理：在闭合面S包围的区域V中，当t=0时刻电场E及磁场H的初始值给定后，在0,T时间内，

7、只要该区域V边界S上电场E的切向分量 Et 或磁场H的切向分量 Ht 给定后，则0,T时间内的任意一时刻，V内任意一点的电磁场由麦克斯韦方程组唯一的确定。E、HVSEtHtn时变电磁场表述了在某区域V中，当满足3个条件时，时变电磁场是唯一的：1、初始条件，t=0时区域V中的电磁场给定2、边界条件，在V的边界上，电磁场的切向分量 Et 或 Ht 给定3、区域V中的源给定，时变电磁场满足麦克斯韦方程组证明： 作为思考题20七、电磁波的能量和能流电磁场的能量密度电磁场的能流密度计算能量和能流的瞬时值时，用实部21 w 和 S 是时间的函数，实际工程中关心的是时间平均值其平均值，用二次式平均值一般公式

8、 即w 和 S 在一个周期内的平均值对任意两个时变函数221、运动学特征反射定律和折射定律2、动力学特征振幅关系菲涅耳公式3、反射波与折射波强度、反射与透射系数电磁波在介质分界面上的反射和折射23两介质中的电场为利用利用24在z=0界面上电磁场应满足的边值关系平面波与坐标有关的是在指数因子上（相位关系）在 y=0 的平面内（入射面）25由于反射波和折射波不能先假设在入射面内Y是任意的结论：1、入射波、反射波和折射波在入射面内2、入射波、反射波和折射波的波矢在分界面 z=0 上的投影相等反射定律折射定律由此结论可以得到反射和折射定律26振幅关系菲涅耳公式由相位关系推出反射定律和折射定律，从而及电

9、磁关系27菲涅尔公式讨论上述分析均是斜入射1、垂直入射时由相位关系得到根据振幅关系菲涅尔公式2、反射波的半波损失a、垂直入射反射波有半波损失28b、由在入射面掠入射时在掠入射时，在平行于入射面内的反射波有半波损失c、由以任何入射角入射时，垂直于入射面的波的反射波有半波损失3、全折射现象与布儒斯特角如果即反射波是部分偏振的由即反射波中是完全线偏振的，平行于入射平面内的分量全部折射，无反射，此时的入射角称为布儒斯特角Brewster当由折射定律29反射系数和透射系数入射波的强度为单位时间投射到分界面上单位面积的平均能量用复矢量表示的单频率平面波的平均能流反射波的平均能流折射波的平均能流在一般介质中

10、30定义31全反射讨论i、全反射时介质1中的反射波32反射波无相位变化33i i 、全反射时介质2中的透射波由菲涅尔公式34其振幅按指数下降，是衰减波透入第二介质中波是沿介质分界面传播的表面波，称为隐失波、衰减波、衰逝波。特点为A、振幅随着透入的深度z指数衰减，透入的有效深度即仅有波长量级B、隐逝波不是横波存在沿传播方向（x）的分量C、隐逝波的相速度即使第二介质为真空，其相速度也小于C35i i i 、全反射时的能流关系即反射波的强度与入射波的强度相等或者说全反射时，平均而言没有能流透入到第二介质中。折射波沿z方向的平均能流36电磁波在均匀导电介质中的传播与衰减平面电磁波在金属导体表面上的反射

11、与透射电磁波在导电介质中的传播及其在导体表面的反射透射波功耗表面波37导电媒质中的亥姆霍兹方程电磁波在导电介质中的传播令代入平面波的解为衰减常数其方向代表振幅衰减的方向 为传播常数相当于波矢k，它的方向为波传播的方向在导电媒质中传播的波是振幅衰减的波从严格意义上已不是平面波，称为准平面波38实部虚部39讨论i、不良导电媒质不良导电媒质 将 和作泰勒展开传导电流位移电流在弱导电介质中与频率无关，仅与物质常数有关衰减长度40干燥土潮湿土海水41i i 、强导电媒质弱导电时强导电媒质越是良导体、越是高频，衰减越强烈。金属导体内根本就不能传播。电磁波向导体入射，只能进入表面层；感应出电荷和电流。这种现

12、象叫集肤效应，是集肤深度对于高频电磁波（3MHz）普通导线不能传输1、电流集中在表面，2、热损耗大，3、辐射损耗怎么办？用同轴传输线、金属波导、微带线42磁场比电场落后/4相位，而在真空中是同相的一周内电磁能不是一直向前，有T/4时间倒流，这种现象叫反流现象，实验已证实这种现象强导电媒质中能流43结论：在良导体内，高频电磁波衰减快传输速度很慢还有反流现象不能传播磁场与电场的能量之比在良导体内，电磁波的磁能占主要地位，或只有磁能44平面电磁波在金属导体表面上的反射与透射1、运动学问题2、动力学问题45平面电磁波在金属导体表面上的反射与透射1、运动学问题：要求指数因子相等反射定律虚部必须为零结论：

13、不论是正入射还是斜入射，衰减方向永远垂直于导体表面46折射定律结论：对良导体来说，与几乎平行，即在法线方向，不论是正入射还是斜入射，折射角近似等于零，透射波总是沿法线方向2、动力学问题，菲涅尔公式47i、当情况与理想介质差不多ii、当即良导体电磁波在金属表面反射时，其垂直于和平行于入射面的分量发生的相位变化不同。入射电磁波是线偏的，其偏振与入射面有角度时，其反射波将是椭圆偏振的。电导率越高，反射系数越接近1电磁波在金属导体表面上总是全反射与入射角无关正是由于这一特性，才能实现电磁波的屏蔽、雷达探测与目标搜索，并利用金属壁制成波导和谐振腔。注意分析与静电屏蔽的区别！48透入到金属内部的电磁波49

14、单位时间透入导体表面单位面积的平均能流导体表面单位面积的功率损耗50表面波概念TE型表面波 Transverse Electric ModeTM型表面波 （ Transverse Magnetic Mode ）51TE型表面波 Transverse Electric Mode为x方向传播的行波，叫表面波在z0是电场的波节。（波节：始终不动的点称为波节）磁场分量为讨论：TE型波，E是横场，无纵向分量；H有横向分量，也有纵向分量52即在z=0的表面上，电场形成波节，磁场是波腹电场和磁场相位差/2是即/4。沿z方向的能流为0表面感应电流表面感应电荷53TM型表面波 （ Transverse Magn

15、etic Mode ）TM型波，H是横场无纵向分量，故叫横磁波；E有横向分量，也有纵向分量，在z形成驻波，沿x是行波在z=0的平面上即由菲涅尔公式54表面感应电荷表面感应电流表面波是反射波和入射波合成的如果有两个平行金属板，就有这种条件如果有两组正交平行的金属板就围成矩形波导其衍生物有同轴线、圆波导、介质波导等等55有界空间中电磁波方程与其解理想导体的边界条件矩形导体中传播的电磁波导行波(模)和消逝波(模)截止频率、截止波长、相移常数、导波波长简并模与非简并模正交性相速度、波导色散和群速度电磁波在波导中的传播基模TE10的场分布和壁电流分布波阻抗和波导传输功率圆柱波导中的场分布介质波导与光导纤

16、维电磁波在同轴线中的传播56一、有界空间中电磁波方程和解入射接收引入矢量位取由有称为 赫兹矢量满足规范条件5758二、理想导体的边界条件任意两个介质界面上的边值关系理想导体与真空界面的边值关系导体内部没有电磁场场分解T横向梯度算符59要满足理想导体的边界条件，只需W 满足60三、矩形导体中传播的电磁波1893年，J.J. Thomson提出用空心金属管传电磁波1897年，L. Rayleigh奠定了矩形波导和圆波导的基础1936年，波导传输试验获得成功，开启了微波应用之先河1937年，Schelkunoff将阻抗的概念推广到电磁场中61本征模62i、对TM型波令对应要满足的边界条件为在波导中，

17、存在横向约束TM的电场在金属管壁上必须是驻波波节kx、ky取分立值kzhmn也取分立值6364讨论若m=0，n=0，则场分量为0，故m、n应从1开始由边界条件，kx、ky只能取分立值，叫本征值一组本征值，对应一种场分布，称为导波的波型或模式用TMmn表示，叫本征模，横磁波的最低模式是TM11横磁波TMmn又叫Emn电波场是沿z方向传播的行波，在横向是驻波在内壁，E是波节、H是波腹即电场振幅在x、y方向与时间无关在x、y方向的驻波个数由m、n决定ii、对TE型波TE型波的边界条件为6566讨论TEmn是沿Z方向传播的行波，在x、y方向形成驻波m=0可以、n=0也可以，但不能同时为零TE00不存在

18、，TE10、TE01都存在，可写成H10、H01TE10是最低模式，称为矩形波导的主模m、n取定一组值，就对应一个模式所有存在的模式在波导中都可以传输通常波导是用单模工作，即用主模或基模TE10其它模式都称为高次模，可以写成Hmn67四、导行波(模)和消逝波(模)传播常数h是波导中的波数，相当于真空中的波数k是实数（kck）波动因子 变成衰减因子是消逝波取决于波导尺寸a、b和模序号m、n能在波导中传输的模式叫导行模，否则为消逝模和截止模68五、截止频率、截止波长、相移常数、导波波长截止频率和截止波长对应某一特定的模式，每一模式都有一个截止波长当c则该模式截止当模式序号m、n相同时，TMmn和T

19、Emn具有相同的导行波波长和相移常数当 c或 c时，h才是实数，是导行波即波导具有高通特性导波波长g：在z方向相位差为2的两点之间的距离69六、简并模与非简并模正交性TMmn和TEmn具有相同的导行波波长、相移常数、截止频率和截止波长简并：模序号相同（本征值相同）、对应的场结构不同同一组本征数值（m，n）对应两种状态的场TMmn、TEmn一组本征值有两种本征态一个固定频率的波送进波导，可以以TMmn模式传输也可以以TEmn模式传输，或者是两种模式的混合同时传输理论上可以证明非简并模是正交的非简并模之间没有功率耦合，具有功率正交性不同频率的电磁波可以用非简并模式同时传输70七、相速度、群速度和波

20、导色散相速度：等相面的运动速度，即相位传输速度波动因子为：等相位方程：相速度是等相位面的移动速度，不是信号速度信号总是携带能量，vP不是能量传递速度在波导中，不同频率的相速度不同，叫波导色散与光学中的色散原理不同，波导色散是波导特性之一群速度：波包传播的速度，是信号传播速度，也是能量传播速度7172八、基模TE10的场分布和壁电流分布在所有TMmn和TEmn中，TE10的fc最低、 c最长在波导中，TM01和TM10不存在，通常用主模TE10工作，抑制高次模单模工作条件：若工作波长为，用TE10传输，适当选择波导尺寸a、b使TE01截止，因此要求TE10的相移常数h1073讨论： TE10TE

21、10模只有三个场分量，都与y无关，电场沿y方向不变化，电场只有Ey分量沿x方向成正弦分布，在宽边只有半个驻波，在x=a/2处电场最强电场沿z方向成正弦分布管壁内表面电流波导内腔的E线和内壁电流线相接形成闭合线在宽边正中央沿z方向开槽，不会切断电流线不会影响波导内的场分布，沿此缝可用于测量沿横向开槽就可能切断电流线，形成缝隙天线74九、波阻抗和导波能流与波导传输功率导波的波阻抗的定义：横向电场与横向磁场之比真空中平面波的波阻抗无穷大均匀无耗介质中平面波的波阻抗在TM波中对TE波有75导波能流在波导中沿z轴方向的平均能流沿波导的横截面a积分，得到传输功率格林公式76沿波导单位长度的电磁平均功率对于

22、矩形波导电磁波的损耗与衰减，沿波导传输的功率要衰减，有三个原因1、波长大于截止频率时，波的振幅按e-az衰减即不同长度的波导可以用作波长大于截止波长的电磁波的衰减器772、介质损耗引起的衰减若介质有弱导电特性会引起损耗，理想介质在高频场中，介质极化矢量方向随外场不断快速变化，产生内摩擦，引起热损耗等效电导率13、波导管壁引起的衰减波导管壁有电导率，电磁波沿波导传输时，有一部分电磁场会透入导体壁，并转化为焦耳热被损耗。这种损耗可以通过计算导体壁的能流得到，该损耗使场沿z方向按e-az损耗单位长度上的功率损害78十、圆波导中的场分布圆截面半径为b，取柱坐标和赫兹电矢量将W代入TM和TE的场表达式，

23、即可求得对应的场79圆柱形波导的截止频率和波长为TM型的最低模式为TM01，其最大截止波长为TE型的最低模式为TE11，其最大截止波长为当m=0时，导波的场与无关，即轴对称的，称为主波80十一、圆柱形波导中的简并模1、EH简并，由即TM1n与TE0n是简并模，TE01与TM11截止波长相同2、极化简并在TE模式和TM模式中都含cos(m- 0)和sin(m- 0)项，其中0具有不确定性0的不确定性表示在圆周方向有两个线性无关的、正交的独立成分，它们具有相同的截止波长、传输特性和完全相同的场结构圆波导的三个常用模式主模（主波）TE11、加速模TM01和低损耗模TE0181十二、介质波导与光导纤维

24、1、光纤介绍石英光纤有三个典型的窗口光纤分类：单模、多模阶跃光纤、渐变光纤2、阶跃光纤的几何光学分析子午光线：光线的轨迹在包含光纤轴线的平面内空间光线：不过光纤轴的光线光纤端面的折射定律82发生全反射的条件为数值孔径以不同角度入射的光线在光纤中形成不同的模式相应的传输路径也不同，也即射线的倾斜程度不同轴向传输速度也不同值小，光纤为弱导光纤833、阶跃光纤中的电磁场结构可以得到横向分量仅用纵向分量Ez和Hz表示的场分布84表征了圆偏振，表示左旋圆偏、表示右旋圆偏也可用线偏sinm或cosm 代替在芯区内a，在包层内波是衰逝波其解要求是衰减的需要选取第二类修正柱贝塞尔函数85十三、电磁波在同轴传输

25、线中的传播对同轴传输线，解电磁场分布的方法与圆柱波导类似，但是边界条件不同A、B非零的条件，即TM的kc同样可求得TE的kc86上述两个方程各自确定kc的本征值，及相应的模式和对应的截止频率但是，方程的根本征值要用数值计算或者图解的方法对TMmn型波当kca和kcb很大时，TMmn模的截止波长与m无关在同轴线中，一旦出现TM01模式，则TM02、TM03、TM11等可能同时出现。TM型的最低模式是TM01，截止波长为条件：n越大越精确87有无数个根，可以近似写为要使同轴线不出现高次模，同轴线的尺寸和工作波长满足对TEmn型波TE型的最低模式是TE11，同样的方法得到其截止波长为881、同轴线中的主模TEM导波系统同轴线和圆柱波导最大的区别在于前者能传TEM波即TEM存在的条件kc0并不导致EH0，即TEM波不存在截止波长导波的相速度、群速度与频率无关，为无色散型的电磁波既可以传高频电磁波，也可以传低频电磁波，甚至稳恒电流