12.3　复数的几何意义 学案

1、123复数的几何意义探究点1复数与复平面内的点 已知复数z(a21)(2a1)i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围).(1)在实轴上；(2)在第三象限【解】(1)若z对应的点在实轴上，则有2a10，解得a eq f(1,2).(2)若z对应的点在第三象限，则有 eq blc(avs4alco1(a210，,2a10，)解得1a0，,4m0，)解得m2，即m(，2)时，复数所表示的点在第一象限探究点2复数与复平面内的向量 已知O为坐标原点，向量OZ1，OZ2分别对应复数z1，z2，且z1 eq f(3,a5) eq blc(rc)(avs4alco1(1

2、0a2)i，z2 eq f(2,1a) eq blc(rc)(avs4alco1(2a5)i eq blc(rc)(avs4alco1(aR).若 eq o(z,sup6()1z2是实数(1)求实数a的值；(2)求以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的面积【解】(1)由题意可得 eq o(z,sup6()1 eq f(3,a5) eq blc(rc)(avs4alco1(10a2)i，因为z2 eq f(2,1a) eq blc(rc)(avs4alco1(2a5)i，则 eq o(z,sup6()1z2 eq f(3,a5) eq f(2,1a) eq blc(rc)(avs4alco1(a2

3、2a15)i，由于复数 eq o(z,sup6()1z2是实数，则 eq blc(avs4alco1(a22a150，,a50，,1a0，)解得a3.(2)由(1)可得z1 eq f(3,8)i，z21i，则点Z1 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,8)，1)，Z2 eq blc(rc)(avs4alco1(1，1)，因此，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的面积为S eq blc|rc|(avs4alco1(Z1Z2)1 eq f(11,8).复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之

4、复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化 1已知平面直角坐标系中O是原点，向量 eq o(OA,sup6()， eq o(OB,sup6()对应的复数分别为23i，32i，那么向量 eq o(BA,sup6()对应的复数是()A55iB55iC55iD55i解析：选B向量 eq o(OA,sup6()， eq o(OB,sup6()对应的复数分别记作z123i，z232i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 eq o(OA,sup6()(2

5、，3)， eq o(OB,sup6()(3，2).由向量减法的坐标运算可得向量 eq o(BA,sup6() eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 eq o(BA,sup6()对应的复数是55i.2在复平面内，O为原点，向量 eq o(OA,sup6()表示的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量 eq o(OB,sup6()表示的复数为()A2iB2iC12iD12i解析：选B由题意得A(1，2)，则B(2，1)，所以向量 eq o(OB,sup6()表示的复数为2i.探究点3复数的模 已知

6、虚数z满足|2z1i|z22i|(i为虚数单位).(1)求|z|的值；(2)若mz eq f(1,z)R，求实数m的值【解】(1)z为虚数，可设zabi(a，bR且b0)，则 eq blc|rc|(avs4alco1(2a2bi1i) eq blc|rc|(avs4alco1(abi22i)，即|(2a1)(2b1)i|(a2)(b2)i|，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(2a1)2 eq blc(rc)(avs4alco1(2b1)2 eq blc(rc)(avs4alco1(a2)2 eq blc(rc)(avs4alco1(b2)2，整理可得a2b22，所以 eq blc

7、|rc|(avs4alco1(z) eq r(a2b2) eq r(2).(2)由(1)知mz eq f(1,z)ambmi eq f(1,abi)ambmi eq f(abi,a2b2)am eq f(a,2) eq blc(rc)(avs4alco1(bmf(b,2)i.因为mz eq f(1,z)R，所以bm eq f(b,2)0.因为 b0 所以m eq f(1,2). 复数的模的求解思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解1已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z在复平面内对应点的集合是()A1个圆B线段C2个点D2个圆解析：选A由题意

8、知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1，因为|z|0，所以|z|3，所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆2已知复数z1m(m22m)i，z21 eq blc(rc)(avs4alco1(m23m1)i，其中mR.(1)若复数z1为实数，求实数m的值；(2)求 eq blc|rc|(avs4alco1(z1z2)的最小值解：(1)由复数z1为实数，则m22m0，解得m2或m0，即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0.(2)因为z1z2(m1)(m1)i, 所以 eq blc|rc|(avs4alco1(z1z2) eq r(（m1）2（m1）2) eq r(2m22)， 故 e

9、q blc|rc|(avs4alco1(z1z2)的最小值为 eq r(2)，此时m0.1已知z(m3)(m1)i(mR)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3，1)B(1，3)C(1，) D(，3)解析：选A由题意得 eq blc(avs4alco1(m30，,m10，)解得3m1.2在复平面内，O为原点，向量 eq o(OA,sup6()对应的复数为12i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量 eq o(OB,sup6()对应的复数为()A2iB2iC12iD12i解析：选D由题意可知，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(1，2)，故向量 eq o(OB,sup6()

10、对应的复数为12i.3已知复数z满足 eq f(22i,z)22i，则 eq blc|rc|(avs4alco1(z)()A eq r(3)B 2C 1D eq r(2)解析：选C因为z eq f(22i,22i)i，所以 eq blc|rc|(avs4alco1(z)1.故选C4(1)设复数zai，i是虚数单位，且|z| eq r(17) ，求a的值(2)图中复平面内点Z表示复数z，若复数 eq f(z,2) eq f(mi,1i)(mR)对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 解：(1)因为zai，|z| eq r(17)，所以|z| eq r(a21) eq r(17)，所以a216，

11、所以a4，(2)由图可得z12i，所以 eq f(z,2) eq f(mi,1i) eq f(12i,2) eq f(（mi）（1i）,（1i）（1i）) eq f(m,2) eq f(（m3）i,2)，又因为复数 eq f(z,2) eq f(mi,1i)对应的点在第二象限，所以 eq blc(avs4alco1(m0，)所以3m0，,m30，)解得1m3.又因为mZ，所以m2，所以z1i，所以| eq f(1,z1)| eq f(1,2i)| eq f(2i,（2i）（2i）)| eq f(2,5) eq f(1,5)i| eq r(（f(2,5)）2（f(1,5)）2) eq f(r(5

12、),5).故选A4设复数z满足 eq blc|rc|(avs4alco1(zi)1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21解析：选Czxyi(x，yR)，zix(y1)i，|zi| eq r(x2（y1）2)1，则x2(y1)21.故选C5如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 eq o(OA,sup6()， eq o(OB,sup6()，则复数z1 eq f(z1,z2)的虚部为()A1B3C1D2解析：选B由题图可得，z112i，z22i，则z1 eq f(z1,z2)12i eq f(12i,2i)12i

13、 eq f(blc(rc)(avs4alco1(12i)blc(rc)(avs4alco1(2i),blc(rc)(avs4alco1(2i)blc(rc)(avs4alco1(2i)12i eq f(5i,5)13i，所以复数z1 eq f(z1,z2)的虚部为3.故选B6已知复数z12mi(mR)，且|z|2，则实数m的取值范围是_解析：|z| eq r(14m2)2，解得 eq f(r(3),2)m eq f(r(3),2).答案： eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，f(r(3),2)7在复平面内，O是坐标原点，向量 eq o(OA,sup6()对应的复数是2i，

14、若点A关于实轴的对称点为点B，则向量 eq o(OB,sup6()对应的复数的模为_解析：因为向量 eq o(OA,sup6()对应的复数是2i，所以A(2，1)，又点A关于实轴的对称点为点B，所以B(2，1).所以向量 eq o(OB,sup6()对应的复数为2i，该复数的模为|2i| eq r(blc(rc)(avs4alco1(2)2blc(rc)(avs4alco1(1)2) eq r(5).故答案为 eq r(5).答案： eq r(5)8复数z1，z2满足 eq blc|rc|(avs4alco1(z1)3， eq blc|rc|(avs4alco1(z2)2， eq blc|rc

15、|(avs4alco1(z1z2) eq r(7)，则 eq blc|rc|(avs4alco1(z1z2)_解析：因为|z1|3，|z2|2，|z1z2| eq r(7)，所以z eq oal(sup1(2),sdo1(1)2z1z2z eq oal(sup1(2),sdo1(2)7，即2z1z26，则|z1z2|2z eq oal(sup1(2),sdo1(1)z eq oal(sup1(2),sdo1(2)2z1z294619，则|z1z2| eq r(19).故答案为 eq r(19).答案： eq r(19)9复数z(1i)23a2i(aR).(1)若z为纯虚数，求实数a的值，及z在

16、复平面内对应的点的坐标；(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围解：由题意得，z(1i)23a2i(23a)i.(1)若z为纯虚数，则23a0，解得a eq f(2,3)，此时zi，z在复平面内对应的点的坐标为(0，1)，所以z为纯虚数时实数a eq f(2,3)，z在复平面内对应的点的坐标为(0，1).(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，则 eq blc(avs4alco1(23a0，,1 eq f(2,3).所以z在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是( eq f(2,3)，).10设复数z的共轭复数为 eq o(z,sup6()，已知 eq blc

17、(rc)(avs4alco1(12i) eq o(z,sup6()43i.(1)求复数z及 eq f(z,o(z,sup6()；(2)求满足 eq blc|rc|(avs4alco1(z11) eq blc|rc|(avs4alco1(z)的复数z1对应的点的轨迹方程解：(1)因为 eq blc(rc)(avs4alco1(12i) eq o(z,sup6()43i，所以 eq o(z,sup6() eq f(43i,12i) eq f(blc(rc)(avs4alco1(43i)blc(rc)(avs4alco1(12i),blc(rc)(avs4alco1(12i)blc(rc)(avs4

18、alco1(12i) eq f(105i,5)2i，所以z2i，所以 eq f(z,o(z,sup6() eq f(2i,2i) eq f(blc(rc)(avs4alco1(2i)blc(rc)(avs4alco1(2i),blc(rc)(avs4alco1(2i)blc(rc)(avs4alco1(2i) eq f(414i,5) eq f(3,5) eq f(4,5)i.(2)设z1xyi eq blc(rc)(avs4alco1(x，yR)，因为|z11|z|，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(x1)2y222125，即复数z1对应的点的轨迹方程为 eq blc(rc)(

19、avs4alco1(x1)2y25.B能力提升11(多选)设复数z满足z12i，i为虚数单位，则下列命题正确的是()A|z| eq r(5)B复数z在复平面内对应的点在第四象限Cz的共轭复数为12iD复数z在复平面内对应的点在直线y2x上解析：选AC|z| eq r(（1）2（2）2) eq r(5)，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为12i，C正确；复数z在复平面内对应的点(1，2)不在直线y2x上，D不正确故选AC12设复数z的共轭复数为 eq o(z,sup6()，若z1i(i为虚数单位)，则复数 eq f(o(z,sup6(),z)

20、z2 eq blc|rc|(avs4alco1(z)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选D复数 eq f(o(z,sup6(),z)z2|z| eq f(1i,1i)(1i)2|1i| eq f(（1i）2,（1i）（1i）)2i eq r(2)i eq r(2)，在复平面内对应的点( eq r(2)，1)，位于第四象限故选D13设复数z满足 eq blc|rc|(avs4alco1(z2i) eq blc|rc|(avs4alco1(z1)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A2x4y30B2x4y30C4x2y30D2x4y30解析：选B设zxy

21、i(x，yR)，因为|z2i|z1|，所以x2(y2)2(x1)2y2，解得2x4y30.故选BC拓展探究14(多选)欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位，xR)是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是()Aei10B eq blc|rc|(avs4alco1(eix)1Ccos x eq f(eixeix,2)De12i在复平面内对应的点位于第二象限解析：选ABei1cos isin 10，A对；|eix|cos xisin x|1，B对；cos x eq f(

22、eixeix,2)，C错；依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 12，sin 12)，显然该点位于第四象限，D错；故选AB15在 eq f(z1,ai)0，复平面上表示z1z2的点在直线xy20上，z2 eq o(z,sup6()22.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数z，以及 eq blc|rc|(avs4alco1(z).已知复数z11i，z2a2i eq blc(rc)(avs4alco1(aR)，_若 eq f(1,z) eq f(1,z1) eq f(1,z2)，求复数z，以及 eq blc|rc|(avs4alco1(z).解：方案一：选条件，因为z11i，所以 eq f(z1,ai) eq f(1i,ai) eq f(blc(rc)(avs4alco1(1i)blc(rc)(avs4alco1(ai),blc(rc)(avs4alco1(ai)blc(rc)(avs4alco1(ai) eq f(a1blc(rc)(avs4alco1(a1)i,a21)，由于 eq f(z1,ai)0，所以 eq blc(avs4alco1(a10,a10)，解得a1.所以z212i， eq f(1,z) eq f(1,z1