信息技术2.0微能力：中学九年级数学上（第二单元）-中小学作业设计大赛获奖优秀作品-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学九年级数学上（第二单元）义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品 PAGE 10第 23 章 解直角三角形单元内容第一课时锐角的三角函数-正切第二课时锐角的三角函数-正弦与余弦第三课时30，45，60 角的三角函数值第四课时互余两角的三角函数关系第五课时一般锐角的三角函数值 第六课时解直角三角形第七课时解直角三角形的应用-仰角、俯角问题第八课时解直角三角形的应用-方位角问题第九课时解直角三角形的应用-坡度（坡角）问题第十课时初高衔接-两个斜率公式第十一课时 单元复习小结教材分析本章内容是三角学中最基础的内容，也是

2、今后进一步学习三角学的必要基础. 教材在运用学习过的相似三角形知识的基础之上推出当直角三角形的锐角大小确定后，直角三角形的两边之比为一定值，从而引入锐角三角函数的概念，进一步强化了数形结合思想，且有利于数学知识间的串联、延伸.解直角三角形的应用的知识在实际中应用比较广泛，本章首先从学生比较感兴趣的汽车爬坡能力引出正切三角函数，也是生活中应用最多的三角函数，如山坡的坡度、物体的倾斜程度等都是用正切来刻画的.类比正切的概念，进而引出正弦和余弦函数.教材中 运用直角三角形中的锐角三角函数的概念求出特殊角的三角函数值，可以计算含有特殊角的三角函数值得式子，或是由已知三角函数值求出对应的锐角.对于一般的

3、锐角三角函数值的计算问题，教材中详细介绍了运用计算器由锐角求三角函数值，及由三角函数值求锐角的方法，并适当地加强这方面计算能力的训练.解直角三角形的应用题、教学活动与课题学习不仅巩固三角函数知识，还有利于培养学生的空间想象能力，让学生通过对实物的观察、或是通过给出的条件，画出对应的平面图形，教材提供了相应的训练，目的在于通过对锐角三角函数知识的学习，着力培养学生的数学能力以及数形结合的思想.本章重难点：重点：锐角的三角函数的概念和直角三角形的解法难点：锐角的三角函数的概念单元学习目标1、经历对现实生活中测量高度、宽度等活动，了解锐角三角函数的概念，能够正确运用正弦、余弦、正切的符号表示直角三角

4、形中两边之比，熟记30，45，60 角的各个三角函数值，并且会运用它们进行计算，会由特殊三角函数值求出角的度数.2、能够利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数的值求出相应的锐角.3、理解直角三角形中的边与边的关系，角与角的关系，边与角的的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.4、会运用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，特别是测量中锐角三角函数知识的运用，培养学生解决实际问题的能力和在生活中应用数学的意识. 5、通过锐角三角函数及解直角三角形的学习，进一步认识和体会函数及函数的变化与对应的思想，领悟数形结合的思想方法.单元作业目标

5、1、前置性小研究作业目标让学生根据自己的知识水平和生活经验进行尝试性学习，“以学定教”，让学生带着问题走进课堂，提高课堂学习效率.2、知识与技能巩固作业目标这类题面向全体学生，目的主要在于把握学生对基础知识的掌握程度，了解学生的知识与技能水平.能够熟练利用三角函数的概念求角的三角函数值以及解直角三角形.3、能力发展作业目标这类题主要是检验学生对知识的灵活运用程度，由知识与技能到能力发展过渡， 让学生能够利用三角函数解决一些拐弯题、变式题甚至中考题，达到能够举一反三的目的.4、素养提升作业目标设置一些小组探究题、操作题、生活实践题等不同类型的题目，让学生体验生活中处处有数学，让人人学有价值的数学

6、，让不同的人在数学得到不同的发展.因此， 这类题的设置主要针对的是学优生，让他们能够在探究中提升数学学科素养，达到真正的育人目标.单元作业整体设计思路作业是课堂教学的延续，可以帮助学生预习、复习、巩固知识、训练技能、培养学生的各种能力和创新意识，开发学生的学习潜能，帮助学生养成良好的学习习惯，充分发挥作业的育人功能，落实“双减”政策，促进学生全面发展.我们将本单元作业分为四类：一、前置性小研究作业：从教材实际出发，设置一些简单、根本、开放性的问题， 让学生经历自主探究、操作、实践等过程，作为预习作业，为课堂小组交流展示归纳新知作准备，激发学生学习兴趣，发展学生探究问题和解决问题的能力，是进行生

7、本课堂的重要手段.二、知识与技能巩固作业：围绕本单元数学基本技能设计的知识与技能作业，根据教材特点，设置面向全体学生的基础性作业，检验学生预习新知、接受新知的能力， 也能够及时、有效地反馈学习效果.三、能力发展作业：这是针对本单元知识灵活运用的反馈设置，是对基础知识的凝练与升华.根据数学新课程标准以及“双减”政策，合理、有效地设置试题，促进学生能力的提高.四、素养提升作业：基于单元一体化考虑及让不同的人在数学上得到不同的发展， 在学习本单元各小节过程中，布置一些探究型、操作性、实践性等作业，让学生的个性得到发展，素养得到提升.四大类作业的设计，环环相扣，层层递进，将本单元的数学要素与人文要素融

8、为一体，实现数学与语文、物理等学科融合渗透，促进五育并举.作业评价标准评价级别参照标准ABCD自我评价小组评价教师评价书写字迹整洁美观字迹工整字迹欠工整，有涂改现象字迹潦草，有多处涂改前 置 性小 研 究主动探究并带动小组成员参与探究，对问题进行交流、分析、归纳积极探究思考问题，参与小组成员交流、分析、归纳活动完成部分探究活动，未认真思考，未积极参与小组交流未进行探究活动，未参与小组交流知识与技能巩固积极认真思考， 全部完成，正确率高积极思考并完成，有少量错误未全面思考， 错误率较高未思考，全面放弃能力发展主动思考，全部完成，正确率高主动思考和完成,有少量错误未全面思考， 错误率较高未思考，全

9、面放弃，或思考部分但错误率高素养提升主动思考、完成且正确率高主动思考完成，有少量错误未全面完成， 错误率高未思考,全面放弃单元小结思维导图完全原创，单元知识呈现完整、简明、扼要，积极收集典型错题和中考靓题，主动思考素养提升并带动小组成员讨论探究解决问题思维导图大部分原创， 单元知识呈现比较完 整、清楚， 收集部分典型错题和中考靓题，主动思考素养提升，参与小组交流、分析活动思维导图参 考笔记较多， 或单元知识 呈现有缺漏， 未积极收集 典型错题和 中考靓题，未认真思考素 养提升或未 积极参与小 组交流思维导图未做或照搬笔记，单元知识呈现过分简单或复 杂，未收集典型错题和中考靓题， 未思考素养提升

10、或未参与小组交流探究活动单元质量检测卷面整洁，正确率高卷面整洁， 有少量错误卷面一般，错误率较高卷面不干 净，错误率高单元作业设计目录第一课时锐角的三角函数-正切6第二课时锐角的三角函数-正弦与余弦8第三课时30，45，60 角的三角函数值 12第四课时互余两角的三角函数关系14第五课时一般锐角的三角函数值16第六课时解直角三角形19第七课时解直角三角形的应用-仰角、俯角问题22第八课时解直角三角形的应用-方位角问题25第九课时解直角三角形的应用-坡度（坡角）问题28第十课时初高衔接-两个斜率公式30第十一课时 单元复习小结34单元质量检测作业39单元质量检测作业答案与分析45第一课时 锐角的

11、三角函数-正切一、前置性小研究：（可根据自己的实际选做一个）活动一：【我当小记者】采访你居住小区的汽车车主，衡量汽车性能的重要指标是哪些？ 哪个性能和本节学习的知识有关呢？活动二：【我是小骑手】从我校食堂到教学楼有一个上坡，当你从食堂骑车上坡到教学楼， 感受一下，想一想斜坡怎样改变，骑车上来会更轻松？【设计意图】本活动是预习作业，都是实践活动，让学生从实际生活中发现本节相关知识如汽车的爬坡能力与坡度关联，从学生骑车上坡体验坡度与哪些元素有关，激发学生学习本节知识的欲望，同时让学生从生活中体验数学与实际的联系，让学生知道用数学眼光看世界，同时锻炼了学生的表达能力，交际能力，实践活动能力，发展核心

12、素养.二、知识与技能巩固（A 类）(完成时间 8 至 10 分钟)1、在 RtABC中，C90，AC=2，BC1，则 tanA的值为（）A. 2B. 2 555 51 2【作业分析】学生根据画图直接观察，两条直角边已知，代入正切函数公式计算即可。【答案】选 D2、在 RtABC中，C90，AB=5，BC3，则B的正切值是（）4 53 54 33 4【作业分析】先根据勾股定理求出B对边即可解决问题【答案】选 C3、小明把爷爷的放大镜放在直角三角板的一个锐角上面，则小明从放大镜里看到的锐角的正切值与原来的正切值相比（）A 变大B 变小C 不变D 不确定【作业分析】只要锐角的大小不改变，三角函数值就

13、不变【答案】选 C4、在平面直角坐标系中，点 P坐标为（3， 3），且 OP与 x轴正半轴的夹角为，则 tan= .【作业分析】利用点的坐标与 x 轴，y 轴的距离关系即可得【答案】 335、从城关中学食堂到教学楼有一斜坡 AB，坡度 i=1： 3，小华沿坡面向上走了 5m，则小华沿竖直方向升高了 m.【作业分析】利用坡度为坡角的正切知坡角为 30，斜边为 5m，则对边为 2.5m.【答案】2.56、如图，某小型拦水坝的横截面是四边形 ABCD，DC/AB,AD 为背水坡，其坡度为 i=1.5:1, 已知坝高为 4.5m,则背水坡水平宽度 AE 为多少？.DC4.5mABE【作业分析】由坡度定

14、义及 DE=4.5m 代入比例式即可求解【答案】AD 坡度 i=1.5:1DE:AE=1.5:1 ，将 DE=4.5m 代入得AE=3m【设计意图】1 至 6 题是必做题，重在考查正切、坡度、坡角的定义，利用定义进行基本求边求角的运算，同时为后面解直角三角形及其应用奠定基础.三、能力发展（B 类）(完成时间 8 至 10 分钟)7、如图ABC的顶点都在正方形网格格点上，则 tan B 的值为（ ）A.A. 10B 1103C.3 1010D.3BC【作业分析】利用方格网中B所在的直角三角形直角边分别为 1,3 求解.【答案】D变式题：如图，每个小正方形边长均为 1，A,B,C 均为格点，则At

15、anBAC= BC【作业分析】连接 BC，利用方格网中勾股定理求出ABC 三边，由三边满足勾股定理的逆定理知ABC=90，利用正切定义求解即可.【答案】 22【设计意图】第 7 题及变式题为选做题，重在考查学生的数学学习素养，如运用转化思想、类比的方法解决数学问题，同时考验学生学科知识综合运用能力，如解决方格网中勾股定理及其逆定理、三角函数求值的综合问题，四、素养提升（C 类）(完成时间 8 至 10 分钟)8、如图所示，在ABC，已知BAC=120，AB=4，ABC的面积为 2 3，求 tan B 的值.ABC【作业分析】构造 AB 边上的高线 CD，利用面积公式求出 CD，再利用勾股定理求

16、出 AD，接着利用正切定义求出 tan B= 35AD【答案】作 AB 边上的高 CD，AB=4，ABC的面积为 2 3BC1 4CD=2 3, 得 CD= 32BAC=120, CAD=180120=60ACD=30AC=2AD设 AD=x,AC=2x，在 RtACD 中2 + ( 3)2 = (2)2，解得 x=1（负根舍去）BD=5，tan B= 35【设计意图】本题设计利用本节三角函数等知识，从直角三角形问题拓展到解决斜三角形里面的求值问题，让学生通过探究体会将斜三角形问题转化到直角三角形问题，体现转化数学思想，同时本题也考查学生运用学科综合知识解决问题的能力，如三角形面积公式、直角三

17、角形的相关性质定理等【作业评价】自我评价小组评价教师评价书写前置性小研究知识与技能巩固能力发展素养提升第二课时锐角的三角函数-正弦、余弦一、前置性小研究量一量，算一算，想一想：观察课本 113 面图 23-4，测量ABC，AB1C1，AB2C2 三边长度，求出在这三个三角形中对边，邻边的值，比较三个三角形中这两个比值有什么特点？斜边斜边由此活动你有什么猜想吗？【设计意图】本活动通过动手操作，让学生从测量、求值、比较中猜想“对边”，“邻边”几乎为定值（因测量有误差），激发学生对本节新课的求知欲.斜边斜边二、知识与技能巩固（A 类）（完成时间 5 至 8 分钟）1、已知在 RtABC 中，C90，

18、AC4，BC3，则 sin A 的值是()34A.B.5534D.43【作业分析】利用正弦定义代入计算即可【答案】选 A2、在 RtABC 中，B90，BC=3,sin A14,则 AC 的长度为 【作业分析】由题意知 BC:AC=1:4，BC=3 代入比例式可得 AC=12【答案】123、 在ABC 中，AC=BC=1，AB= 2，则 sin A= ，cos B= 【作业分析】利用勾股定理逆定理判定ABC 为直角三角形，C90，再利用正弦和余弦的定义求解【答案】 2 2，2254、如图，直线 yx5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，则 cosBAO 的值是 ()512125131213

19、C.D.1312yBAO【作业分析】先求出直线 AB 与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为 A（12,0），B（0,5）得OA=12,OB=5，故 AB=13，由余弦定义即可得出答案为 C【答案】选 C【设计意图】1 至 4 题为必做题，为巩固本节正弦、余弦的定义理解，利用正弦、余弦解决基本三角函数求值问题，同时强化学生综合运用知识的能力，如勾股定理，一次函数性质等综合运用.三、能力发展（B 类）（完成时间 8 至 12 分钟） PAGE 235、如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=16cm,菱形 ABCD 面积为 96，试求DAC 的三角函数值.DCOAB【作业分析

20、】利用菱形 ABCD 面积与对角线的关系可求出 BD，再利用菱形性质和勾股定理求出直角三角形AOD 三边，即可求出DAC 的三角函数值【答案】菱形面积为 96，1 ACBD=96，将 AC=16 代入，得 BD=12，2由菱形性质知AOD=90，AO=8,OD=6，由勾股定理知 AD=10， 在 RtAOD 中sinDAC= 610=3,5cosDAC=8 =410 5,tanDAC=6=38 46、如图，在四边形 ABCD 中，D90，CD6，AD8，AB26，BC24，则 cos B DCAB【作业分析】连接 AC，由勾股定理知 AC=10，计算得出2 + BC2 = 212 故ACB=9

21、0，cos B=BC:AB=1312【答案】13【设计意图】5、6 题为选做题，重在培养学生将四边形问题转化为含有直角三角形的问题， 如 5 题中菱形的对角线互相垂直得直角三角形，6 题中连接对角线 AC 得出直角三角形，其次考查了学科知识综合运用，如菱形的性质，勾股定理及其逆定理等知识综合运用.四、素养提升（C 类）（完成时间 7 至 10 分钟）7、（规律探索与应用）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：3122sin30 ，cos30，则 sin 30cos 30 ；22sin452222，cos45 22，则 sin 45cos 45 ；3，cos60sin6012222，则

22、sin 60cos 60 ；观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2Acos2A 你能利用已学知识证明你的猜想吗？若能，请给出证明；小华说：一个锐角的三角函数一定是正数，你觉得他说的对吗？为什么？4已知A 为锐角且 cos A ，结合（1）（2）求 sin A 的值5【作业分析】(1）以锐角 A 构造 RtABC，结合勾股定理和三角函数计算即可得出猜想结论小华说的对，利用锐角的三角函数定义数形结合即可知正确代将 cos A4入5【答案】填空：1,1,1,1sin2Acos2A1，结合（2）求得 sin A=35（1）以锐角 A 构造 RtABC，设A,B,C 对边分别为 a,b,c2

23、2则 sin2Acos2A=a2 b2 =a2+b22由2 + 2 = 2得sin2Acos2A1小华说的对.以锐角 A 构造 RtABC，设A,B,C 对边分别为 a,b,c，由sin A=a ,ccos Absin A, cos A 均为正数. 知c将 cos A4代入5sin2Acos2A1，得 sin2A= 9 ，由（2）知 sin A0，故 sin A=3255【设计意图】本题为选做题，重在培养学生阅读与探究能力和解决问题的能力，通过本题的探究让学生养成善于找规律，总结规律，验证规律并运用规律解决同类问题的良好思维习惯.【作业评价】自我评价小组评价教师评价书写前置性小研究知识与技能巩

24、固能力发展素养提升第三课时30,45,60角的三角函数值一、前置性小研究：玩转学具 拿出一副直角三角板，用刻度尺测量各边长度，算算各个锐角的三角函数， 分别等于多少？你有什么猜想呢？【设计意图】通过本次活动让学生体会 30,45,60角与直角三角板的锐角紧密相连， 而且通过这种操作，强化学生认识到直角三角形从角到边的关系，也为本节课的新知引入起到抛砖引玉的作用，激发学生学习兴趣.二、知识与技能巩固（A 类）（完成时间 8 至 10 分钟）1、sin60的值为 ( ) 22 32D. 3【作业分析】熟记特殊角的三角函数即可【答案】选 B2、已知为锐角,且 cos =1,则等于()2A.30 B.

25、45 C.60 D.901【作业分析】cos60=2【答案】选 C3、在ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,a=b=1,c= 2,则A 的度数为() A.30 B.45 C.50 D.60【作业分析】由勾股定理的逆定理判定ABC 为直角三角形，计算出 sin A= 2,故A 为 452【答案】选 B4、计算：(1)4cos230-2sin60cos45;(2)sin30 2sin45+|-3tan30|;2【作业分析】(1)原式=4( 3)2-2 3 2=3 62222(2) 原式=1 2 2+3 3=1+ 32223【答案】(1)3 6（2）1+ 32【设计意图】1 至 4 题

26、为必做题，重在巩固本节基础知识，如熟记 30,45,60角的三角函数值并且能利用这些函数值解决关于它们的综合运算，其次还要让学生通过此类题的训练，知道锐角的三角函数和直角三角形性质紧密相连的关系.三、能力发展（B 类）（完成时间 5 至 10 分钟）5、点 M(-sin60,-cos60)关于 y 轴对称的点的坐标是 ( )A.223 ,- 1B. - 3 ,- 1C. - 3 , 1D. - 1 ,-32222 22【作业分析】 由特殊角三角函数值知M - 3 ,- 1，关于 y 轴对称点横坐标相等，纵坐标22互为相反数即可.【答案】选 A6、在ABC 中,已知A,B 都是锐角, sin A

27、- 22+(1-tanB)2=0,那么ABC 的形状为 .【作业分析】由绝对值和平方具有非负性知 sin A= 2,tan B=1, 因为A,B 都是锐角, 所2以A=45,B=45，C=90，故ABC 的形状为等腰直角三角形【答案】等腰直角三角形【设计意图】5 至 6 题重视本节知识与其他章节知识的综合运用，如轴对称、绝对值和平方的非负性组合求值等，难度有所提高，为选做题，鼓励学有余力的学生积极完成.四、素养提升（C 类）（完成时间 5 至 10 分钟）7、数学拓展课程玩转学具课堂中,爱观察的小敏同学发现:一副三角板中,含45角的三角板的斜边与含30角的三角板的长直角边相等.如图（1），于是

28、,爱动手操作的小敏同学将这副三角板重新摆放如图（2），并由此模型和小组同学合作设计了一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合叠放在一起,点B,C,D 在同一直线上.若AB=4,求BD 的长. 请你运用所学的数学知识解决这个问题.EABCD图（1）图（2）图（3）【作业分析】在 RtABC 中，由 cos B =2, AB = 4 得 BC = 2 2，由题意知 CE = AB = 4，2在 RtCDE 中，由 tan E= 3,CE = 4,得 CD = 4 3,故 BD = BCCD = 2 2 4 3333【答案】2 2 4 33【设计意图】第 7 题为选做题，本题拿一副三角板拍照编制问题

29、情景，这个问题的设计既考查了本节特殊三角函数的运用，又渗透了素养教育，如动手操作能力，观察探究能力， 小组合作能力，数学建模思想等，并且培养学生善于提出问题和解决问题的能力.【作业评价】自我评价小组评价教师评价书写前置性小研究知识与技能巩固能力发展素养提升第四课时互余两角的三角函数关系一、前置性小研究：在一副三角板中，先测量出每条边的长度，然后再求出每个锐角的正弦与余弦的值，你有什么发现？然后和你的同伴交流看看有没有相同的发现.【设计意图】通过设置动手操作，培养学生爱动脑勤思考，解决实际问题的能力；动手量一量，画一画，发展学生动手能力、小组合作能力，为新知的学习做铺垫，降低难度，激发学习兴趣.

30、二、知识与技能巩固作业（A 类）（完成时间：4 至 6 分钟）1、已知 cos482，则 sin42的值约为（ ）3231332 23【作业分析】根据互余两角三角函数的关系得出答案【答案】A【设计意图】对一个具体角的运算让学生加深对新知的理解.2、在 RtABC 中，C=90，若 sin A= 2，则 cos B 的值为（）2122 23 2D1【作业分析】根据互余两角三角函数的关系得出答案【答案】B【设计意图】本题是对课本例题的改编，既可以简单模仿课本解法，又可以利用已学过的特殊角的值来解决，这样可以验证新知的正确性，活跃了学生思维，给学生自主选择的空间.3、在 ABC 中， A ， B 为

31、锐角，且有sin A cos B ，则这个三角形是（） A等腰三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形【作业分析】利用互余两角的三角函数关系 sin A=cos（90-A），来得出A=90-B从而得出此三角形是直角三角形【答案】B【设计意图】由三角函数值相等，正弦变成余弦得出角互余，是对性质的一种逆用，培养学生反向思维能力.4、已知 A 是锐角，且 sin A=1，则 cos(90-A）= 3【作业分析】 根据互余两角的三角函数关系可得 cos(90-A）=sin A，即可求解1【答案】 3【设计意图】把性质中的互余换成了数学式子，培养学生把文字语言变换成数学语言的能力.三、能力发展作业（B

32、 类）（完成时间：6 至 8 分钟）5、RtABC 中， C 90o ， sin A 1 ，则tan B 的值是（）22A 3 3B1CD 3【作业分析】根据 30的正弦值是 1 求出A，直角三角形的性质求出B，再根据 602的正切值计算【答案】D【设计意图】已知角和未知角互余，但三角函数涉及到了正切，对学生观察分析题目提出了更高的要求，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.6、若,是直角三角形的两个锐角,则sin-tan +的值为cos2【作业分析】根据三角函数的定义及互为余角的三角函数的关系得出.【答案】0【设计意图】本题考查互为余角的三角函数的关系，熟练运用定义进行推算是关键.考查学生的观

33、察能力与变形能力.7、计算:cos21+cos22+cos288+cos289（提示：sin2+cos2=1）【作业分析】将余弦化成余角的正弦，结合括号的提示，即可求出。【答案】原式=cos21+cos22+cos244+cos245+sin244+sin22+sin21=(sin21+cos21)+(sin22+cos22)+(sin244+cos244)+cos245=44+2=44+1=441. 2222【设计意图】考查了运用互余两角的三角函数的关系进行简便计算，需要学生结合括号的提示对三角函数由余弦化成正弦，在做题的过程中感受学习本节课知识点的必要性.四、素养提升作业：（C 类）（完成

34、时间：6 至 8 分钟） 8、（1）探究互余的两个锐角的正切值的关系；若是锐角，tan tan40=1，则= ；计算 tan1tan2tan3tan88tan89的值；设A、B 是RtABC 的两个锐角，则关于 x 的二次方程 x2 tan A 2x tan B 0 的根的情况为 .【作业分析】（1）由正切函数的定义得tanA tanB a . b 1，总结成文字规律即可；b a（2）由上一题的结论可知与 40互余，即=90-40=50（3）tan1tan2tan88tan89（tan1tan89）（tan2tan88）（tan44tan46）tan451由A、B 为RtABC 的两个锐角，得

35、tanA tanB 1，再根据根的判别式代入系数即可求出.【答案】（1）互余的两个锐角的正切值乘积为 1（2）50（3）1（4）有两个相等的实数根【设计意图】素养提升题围绕“应用实践、迁移创新”，让学生结合以前知识，在课堂学习活动的基础上，进一步探究互余两锐角的正切值之间的关系，对知识的学习进行了迁移， 并对得到的结论进行了运用，真正做到学以致用，能有效地激发学生的学习兴趣和小组之间的交流与合作，提升学生的综合素养.【作业评价】自我评价小组评价教师评价书写前置性小研究知识与技能巩固能力发展素养提升第五课时一般锐角的三角函数值一、前置性小研究：用刻度尺和量角器，作出 RtABC，使C=90，A=

36、40用刻度尺测量得A 的对边 BC= 斜边 AB= 算出比值 BC =,即 sin 40=AB和同伴交流所得的结果是否一样？【设计意图】 通过设置动手操作，培养学生动手解决实际问题的能力；动手量一量，画一画，发展学生动手能力、小组合作能力，在和同伴交流中可能出现答案不一样的情况， 也就是出现了误差，这也为使用计算器求三角函数值提供了必然性，培养数学答题的严谨性.二、知识与技能巩固作业（A 类）（完成时间：4 至 6 分钟）1、用计算器求sin 50 的值，按键顺序是（ ）50sinsin50sin052ndFsin50ABCD【作业分析】由学生实际操作可得出答案.【答案】B2、利用计算器计算

37、sin635241的值.（精确到 0.01）【作业分析】显示结果为 0.897 859 012. 所以 sin6352410.90.【答案】0.90【设计意图】题 1,2 都考查了学生用计算器求一般锐角的三角函数值的方法，题 1 中角的单位是度，题 2 中的角涉及到了度分秒的变换，题 2 对学生要求更高.3、如果已知 cos A0.9816,运用计算器计算 A （精确到 1）【作业分析】由学生实际操作可得出答案.【答案】114、某段时间内长江堤岸比江面高 10m，汽车要想渡江需要行驶 40 m 长的斜道,如图所示, 我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是()sin025=

38、2ndFsin-1025=B .D .2ndFcos-1025=sin2ndF025=A.C.【作业分析】 sinA= = 10 =0.25, 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时, 按键顺序为 402ndFsin-1025=.【答案】A【设计意图】题 3,4 都考查了已知三角函数值用计算器求锐角的方法.题 3 直接考查了用计算器求角的方法，强化学生基础知识的掌握.题 4 是在一个具体情境中设置的问题，考查学生把生活情境中寻找数学条件的能力.三、能力发展作业：（B 类）（完成时间：8 至 10 分钟）5、下列式子正确的是 ()A.sin 50cos 51B.cos 50cos 36C.si

39、n 57cos 32【作业分析】用计算器求出每个三角函数的值再进行大小比较即可.也可以化成同名的三角函数再根据函数值随着角度变化的规律解题.【答案】C【设计意图】本题考查的是进行三角函数值的大小比较的问题，本题可以采用多种方法解题，可以使用计算器求解则能进一步锻炼学生使用计算器求函数值的能力，也可以先化成同名三角函数再根据函数值随着角度变化的规律解题.可以在做完之后学生交流做法，既能锻炼学生表达能力，提高积极性，也能让学生体会一题多解的思考方法.46、在 RtABC 中,C90,若 tan B=5，则锐角B 满足（）A.0 B 30B.30 B 45C.45 B 60D.60 B sin ,则

40、的取值范围是 【作业分析】 由随着角度变大，正弦切值而变大的规律得出 0803，解出不等式即可.【答案】0cos()cos()故 cos cos cos()（2）猜想:sin sin sin().验证：sin sin AB BC , sin() AE ,OAOBOAOAOB, BC BC , AB BC AB BC ABBC .提示图OBOAOAOBOAOAOAABBCAE, ABBC AE ,OAOAsin sin sin().【设计意图】本题考查了学生探究新知的能力，体会由特殊到一般的探究方法，猜想不一定成立，还需要验证，让学生感受数学探究过程中的严谨性，同时学生思维、演算能力得到提升；在

41、问题解决的过程中，促使学生方法的形成和核心素养的融合发展.【作业评价】自我评价小组评价教师评价书写前置性小研究知识与技能巩固能力发展素养提升一、前置性小研究：第六课时解直角三角形画一个 RtABC，C=90，想一想两锐角有什么关系，三边有什么关系呢？如果知道一角一边，你能求出哪些元素呢？【设计意图】同学们自主探究，小组合作交流，既增加学生的感情，又锻炼学生间团结协作，以及动手能力.让每位同学都参与进来，快乐中学习.一、知识与技能巩固（A 类）(完成时间 4 至 6 分钟)1、在 RtABC中，C90，a、b、c分别是A、B、C的对边，根据下列条件， 解这个直角三角形（1）B=60，a4；（2）

42、a1， b 3 【作业分析】在 RtABC中，根据一角一边或两边，可以求出其他元素。【答案】1、（1）根据C90,B=60得到A=30，根据 a=4,用正弦求出 c=8,用余弦求出 b=4 3；（2）根据C90a1， b B=60，A=30.3 ,求出 c=2，用正弦、余弦定义求出2、已知A为锐角，且 sin A 2 ，那么A度数是多少？2【作业分析】根据 sin A 2 ，得到A=452【答案】A=45【设计意图】A 类题面向全体学生，检验学生对基础知识的掌握程度，反馈学习效果，关注全体学生特别是学困生的知识与技能水平.三、能力发展作业（B 类）(完成时间 10 至 15 分钟)1、如图所示

43、的是一段国家级旅游圣地安徽黄山云谷索道的示意图已知 A、B两点间的距离为 2666 米，BAC=，则缆车从 A点到 B点上升的高度（即 BC的长）为（） PAGE 33A2666sin 米B2666 米C2666cos米D2666米【作业分析】根据 sin = BC 求解AB【答案】A【设计意图】本题是一题研究测量索道上升高度问题，在直角三角形中，知道一边和一角， 可以求其他边和角，本题是代公式巩固基础题，索道是学生非常喜欢的话题，每位同学都喜欢去景点游玩，放松一下学习的压力和辛苦，关键坐在缆车上，既刺激舒服，又能感受一览众山小，看到优美的风景，别有一番风味.2、下图是某游乐场一山顶滑梯的高为

44、 BC=6米，滑梯的坡角为 30，那么滑梯长 AC 为（） 米.【作业分析】根据 sin A = 求解【答案】12【设计意图】本题是电梯问题，去商城坐电梯是我们生活中常见的事，研究电梯模型是数学中一类题型.通过本题让学生熟练掌握锐角三角函数的定义3、长征一号火箭于 1965 年开始研制.1970 年 4 月 24 日， HYPERLINK /doc/1548812-1637258.html h 首次将中国第一颗人造地球卫星-东方红一号成功送入太空.该火箭共进行两次卫星发射，成功率 100%，第二次发射时间是 1971 年，震撼人心.当长征一号火箭从地面到达点 A处时，在 P处测得 A点的仰角D

45、PA 为30且 A与 P两点的距离为 2160 千米，它沿铅垂线上升 100 秒后到达 B处，此时在 P处测得B点的仰角DPB 为45，求长征一号火箭从A处到B处的平均速度（结果精确到1m / s ，取 3 1.732, 2 1.414 ）【作业分析】根据在 P处测得 A点的仰角DPA 为30且 A与 P两点的距离为 6 千米，可以求出PD 的长，再根据此时在 P处测得 B点的仰角DPB 为45 ，RtBDP 为等腰直角三角形， 可以间接求出 AB 的长，再利用平均速度的计算公式即可求解【答案】7900 m/s【设计意图】B 类题注重学生对知识的变式（灵活）应用能力，是对知识掌握程度的一次升华

46、.题目的选择，题型的设置向中等生倾斜.主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：掌握仰角俯角的定义长征一号火箭成功发射，震撼人心科技是第一生产力，每位学生都有一个科技梦，每一个科技都是从测量收集计算开始的，学好数理化，学到科技走天下，培养学生的发散思维、开拓进取的精神.四、素养提升（C 类）(完成时间 10 至 15 分钟)数学小组合作探究，用面积法来证明:在锐角ABC 中，A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,有=活动一：同学们能不能用三角形面积公式，结合三角函数用一角和两边来表示三角形的面积呢？能写出三种表示形式吗？活动二：同学们能用上面的结果来证明 = = 吗？ 小组合作探讨

47、试试看.【学以致用】根据上面得到的公式求下列各题1、在锐角ABC 中，AB=2，AC=3，A=30，三角形的面积是多少呢？22、在锐角ABC 中，BC=，A=60，B=45，求 AC.【作业分析】活动一、二：构造三角形三边的高线，用三角函数表示三边上的高，再用面积相等，变形即可得 = = 【学以致用】1、根据上面公式，S=，得到 S=3.ABC2ABC2、由 = = ， = ，得到 AC=2 3 .3【答案】活动一、二：过 B 作 BDAC，根据A 和 AB 长为 c,得到高 BD=c sin A,所以 SABC=，同2理得到S ABC= 2 = 2 =，每项都除以，再倒数即可证出22= .A

48、BC3【学以致用】1、S=3，2、AC=2 3.【设计意图】本题是课本例题和复习题的改编题，回归课本，把例题和复习题很好衔接的一题，也是一种计算锐角三角形面积的非常好的方法.通过活动，让每位同学都能参与进来，交流合作体现生本理念，又锻炼了学生的动手能力.【作业评价】自我评价小组评价教师评价书写前置性小研究知识与技能巩固能力发展素养提升第七课时解直角三角形及其应用-仰角、俯角一、前置性小研究;同学们想知道城关中学钟楼的高度吗？谁有什么好方法测量出高度呢？能不能用测角仪和皮尺来完成这个任务呢？【设计意图】同学们自主探究，小组合作交流，既增加学生的感情，又锻炼学生间团结协作，以及动手能力.让每位同学

49、都参与进来，快乐中学习.二、知识与技能巩固（A 类）（完成时间：8 至 10 分钟）1、城关中学钟楼是城关中学标志性建筑，学生们想测量出它的高度，在钟楼前的平地上 A处，观测到钟楼顶C 处的仰角为 30，在平地上B 处观测到钟楼顶C 处的仰角为45 ，并测得 A、B 两处相距5 3 m，求钟楼 CD 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据： 2 1.41 ，3 1.73 ）【作业分析】因为CBD=BCD=45，所以令 CD=BD=x m，tan A= 建立关系，即可求解.【答案】11.8 m2、小孤山，位于安徽省宿松县城东南 65 公里的长江之中，南与彭泽县仅一江之隔，西南与庐山隔江相望 ，是

50、万里长江的绝胜，江上第一奇景，学生想通过测量估计小孤山CH 的高度，在山前的平地上 A 处，观测到山顶C 处的仰角为 30，在平地上B 处观测到山顶C 处的仰角为45，并测得 A、B 两处相距 48 m，求小孤山CH 的高度（结果保留整数，参考数据： 2 1.414， 3 1.732）【作业分析】因为CBH=BCH=45，所以令 CH=BH=x，tan A= 建立关系，即可求解 CH.【答案】66 m【设计意图】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的生活中，从而体验“从实践中来，到实践中去”的

51、辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习激情，增强学好数学的信心.三、能力发展作业（B 类）（完成时间：6 至 10 分钟）1、如图，某活动小组利用无人机航拍城关中学校园，已知无人机的飞行速度为 2m/s，从A处沿水平方向飞行至 B处需 30 s，同时在地面 C处分别测得 A处的仰角为75，B处的仰角为30则这架无人机的飞行高度大约是 m （ 3 1.732 ，结果保留整数）【作业分析】过点A 作 AD BC 于点D ，过点B 作水平线的垂线，垂足为点E ，先解直角三角形求出BD, CD 的长，从而可得BC ，再根据直角三角形的性质求出BE 的

52、长即可得【答案】412、这是城关中学食堂与教学楼之间示意图，通过学生用遥控无人机测量出两楼顶点之间的距离，从食堂顶端点 A处飞行到对面教学楼 MN的顶端 M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为 37，从点 A看教学楼底部 N点的俯角为 30，两楼之间一棵树 EF的顶点 E恰好在视线 AN上，已知树的高度为 4 米，且 = 1，楼 AB，MN，树 EF均垂直于地面，问：无3人机飞行的距离 AM约是多少米？（结果保留整数参考数据： cos370.80， tan370.75）3730C【作业分析】过A 作 AC MN 于C ，易证EFNABN ，得 AB=4EF=16 m，则 CN=16 m，再由锐角

53、三角函数求出 AC，然后在RtACM 中，由锐角三角函数定义求出 AM 的长即可【答案】35 m【设计意图】本题是对课本例题的变式，有一定的人文色彩，可以检验学生分析问题的能力和类比，知识迁移的能力，并掌握必要的数学活动经验.提高解实际问题的能力.检验同学们在俯角、仰角的认知基础上，能否找到直角三角形，并能选用合适的锐角三角函数解实际问题.四、素养提升（C 类）（完成时间：6 至 8 分钟）城关中学数学兴趣小组去测量一棵树的高，在 G处放置一个小平面镜，当一位同学站在 F 点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A的像，此时测得 FG2 m，这位同学向树方向前进了 5 m 后到达点 D，在

54、D处安置一高度为 0.8 m 的测角仪 CD，此时测得树顶 A的 仰角为 30，已知这位同学的眼睛与地面的距离 EF1 m，点 B，D，G，F在同一水平直 线上，且 AB，CD，EF均垂直于 BF，求这棵树 AB的高（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留整数 2 1.414， 3 1.732）H 【作业分析】过点 C作 CHAB于点 H，则 CHBD，BHCD0.8m，由锐角三角函数定义求出 BDCH 3 AH，由反射角等于入射角得EGFAGB，再证EFGABG，得 EF FG ，求出 AH ，即可求解ABBG【答案】6 m这是一道数学兴趣小组去测量一棵树的高经典问题，再加一个平面镜反射，运

55、用物理知识， 反射角等于入射角，跨学科综合运用能力得到提升.这是数学和物理知识衔接题，很好衔接了数学与物理知识，发散拓展了学生的思维.这个题目设计既锻炼了学生动手能力，又体现了学生小组合作能力，更激发了学生的兴趣.【作业评价】自我评价小组评价教师评价书写前置性小研究知识与技能巩固能力发展素养提升第八课时解直角三角形应用-方位角一、前置性小研究：1、教室里，小刚坐在第二排，小红坐在他前一排的右手边，是他北偏东 60的位置， 那么小刚又是在小红的什么位置呢？2、以你现在的座位为基准，选两位好朋友的座位，看他（她）在你的什么方位，同时考考他（她），你又在他（她）的什么方位.【设计意图】前置性小研究问

56、题的设置，选择学生与朋友的座位问题，可以培养他们之间的友好互动，合作交流，体现了我校生本理念的特色，同时也为本节课的新知学习方位角做好准备，通过小组间的互助理解其定义，有效提高课堂效率，激发学习兴趣.二、知识与技能巩固作业：（A 类）（完成时间：6 至 10 分钟）1、“双减”后某个轻松的周末下午，小林与父母来到山水公园“水上乐园”游玩，三人坐上了游艇.出发后，小林说“这游艇速度真快，感觉太好了”，身为数学老师的爸爸回答： “生活处处有数学，你能算出它的速度吗？”小林立即拿出随身携带的纸与笔，目测此时大约在出发点东南方向 100 米处，手腕电子表显示时间是 15:30:10.他略作思考，在纸上

57、画出示意图，记下数据.再抬头，游艇已到出发点的正南方向，而电子表显示时间为 15:30:20. 几分钟后，小林成功得到了爸爸的夸奖.你知道小林算出的答案吗？请动手画一画示意图再求解.2、国庆小长假，张莉一家报了一个海上观光旅游项目.导游介绍海中有一小岛 A，它周围 6 海里内有暗礁，游船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行 8 海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上如果游船不改变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？【作业分析】1、以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90 的角，叫做方位角.该题以“出发点”为基准画图，东南

58、方向即南偏东 45，构造等腰直角三角形，斜边是 100 米，可求得直角边即为路程，时间是 10 秒，最后得出航速.2、过点 A作 ACBD于点 C，由题意知ABC30，ADC60，设 ACx海里，BC3CDBD，即 3x 3x8，解得 x4 36，从而判断出不会有触礁的危险2【答案】1.100sin45=10022 =502(米)25010= 5（米/秒）2即游艇的速度为 5米/秒.第 1 题第 2 题2、过点 A作 ACBD于点 C，设 ACx海里AC在 RtABC 中，ABC30，tanABC=BC= 3x海里3BC AC在 RtADC 中，ADC60，tanADC=DCDC=x海里336

59、xx8，解得 x4又BCCDBD， 3 33故游船不改变航线继续向东航行不会有触礁的危险【设计意图】知识与技能巩固题 1 既明确方位角的概念，又培养学生动手操作画图与计算能力，培养学生数学应用于生活的意识，还培养学生良好的学习行为习惯，如随身携带纸笔等.第 2 题及时巩固课本例题内容，让学生体会游船在海上航行时的实际情景，从而培养空间想象能力.本题解法灵活多样，既可以简单模仿课本解法这一通法，又可以利用本题两个角涉及到的特殊值，利用等腰三角形等方法解题，发散学生思维，体会解题的灵活性.三、能力发展作业：（B 类）（完成时间：4 至 8 分钟）3、 A 、B 是我县城两个待开发的乡村，C 是一个

60、森林公园，C 在 A 村的北偏东30 ，在 B村的北偏西45 ，且C 与 A 村相距 3 千米. B 村在 A 村的正东方向. 以C 为圆心，以 1 千米为半径的圆形区域内有古迹和珍贵树木，现要在 A 、 B 两村间修建一条笔直的振兴大道.请你画出示意图并计算振兴大道的长（结果保留根号）.请你分析这条振兴大道设计是否合理，有没有可能对古迹与珍贵树木造成损毁.【作业分析】解本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过C 作CD AB 于 D ，就得到两个特殊角的直角三角形. 这样就把问题转化为解直角三角形问题来解决.【答案】（1）过C 作CD AB 于 DAD在 RtACD 中，ACD30，AC=