2021-2022学年高二物理竞赛课件：狭义相对论和质点的运动习题

1、狭义相对论和质点的运动习题课件一、狭义相对论基本原理二、洛仑兹变换小结1. 相对性原理 2. 光速不变原理坐标变换式1xu=2txcutx12=t2三、狭义相对论的时空观1、长度收缩L=Lo122、时间膨胀tt=123、同时的相对性 一质点以 60o 仰角作斜上抛运动，忽略空气阻力。若质点运动轨道最高点处的曲率半径为 10 cm，试求抛出时初速度的大小。解：因为 an = g ，所以 v2/R = ( vocos 60o )2/R = g 故 vo = ( gR )1/2 /cos 60o = ( 10 10 )1/2 0.5 = 20 m/svovg60o 一质点在平面作曲线运动，其速率与路

2、程的关系为： v = 1 + S2 （m/s）试求： 切向加速度 at 用路程 S 来表示的表 达式。解： a t = dv / dt = 2SdS / dt = 2Sv = 2S（1 + S2 ） （m/s2） 5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程和速度。解：设某一时刻梯子的位置如图 由几何关系得：x2 = L 2 - y2 因为 A点匀速下滑，所以 y = yo -vot = 4 - 2t 故：x2 =L2 - y2 = 52 -（4 - 2t）2（1）运动方程：x2 = 9 + 16t - 4t2 (m)（2）两边对时间求导：

3、2xdx/dt = 16 - 8t vx = dx/dt =（8 - 4t）/x =（8 - 4t）/（9 + 16t - 4t2）1/2 (m/s)xAByOYLX 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / XO=T/2 A 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向

4、X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / XO=T/2 Ato 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / XO=T/2 Atoto+ t A/2 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t =

5、/ XO=2/ TAtoto+ t A/2 /6 = 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / = ( /6)/(2 / T) XO=2/ TAtoto+ t A/2 /6 = 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / = ( /6)/(2 / T) = T/12 XO=2/ TAtoto+

6、 t A/2 /6 = 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / = ( /6)/(2 / T) = T/12 答案 （B）XO=2/ TAtoto+ t A/2 /6 = 一质量M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置 6cm处速度为 24cm/s，求（1）周期 T；（2）当速度为 12cm/s 时的位移。解：（1）振动方程为： x = Acos（ + ）=12cos（ + ） 6 = 12 cos（ 1+ ） v =

7、 -A sin（ + ） 24 = -12 sin（ 1+ ） 62 +（24/ ）2 = 122 1/ =（122-62）1/2/24 = 0.433 (s) T = 2/ = 0.866 (s) （2）设速度 v = 12 cm / s 时，位移为 x2 x2 = 12 cos（ 2+ ） 12 = -12 sin（ 2+ ） x22 +（12/ ）2 = 122 x2 = 122 -（ 12 / ）2 1/2 = 10.82 cm 或 x2 = - 10.82 cmxV0-10.8oV010.8 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过

8、 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。ABvx 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：ABvxxABo 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0

9、），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：ABvxxt =0 sABo 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：ABvxxt =0 st =2 sABo 一质点在 x 轴上作简谐振动

10、，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：ABvxxt =0 st =2 st =4 sABo 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的

11、速率。解：ABvxxt =0 st =2 st =4 sABot =6 s 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。V=-Asin(t+)=-Asin-Asin1 = - V1-Asin(-1) = Asin1= V1-Asin(-1) =-Asin1= -V1-Asin(+1) =Asin1= V1图中四个矢量的位置上有相同速率。ABvxx111t

12、 =0 st =2 st =4 sABot =6 s 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：1、由旋转矢量图和 ABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B

13、点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：1、由旋转矢量图和 vA = vBABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：1、由旋转矢量图和 vA = vB可知 T/2 = 4s，即 T = 8

14、sABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：1、由旋转矢量图和 vA = vB可知 T/2 = 4s，即 T = 8s = 2 /T = /4 rad/sABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过

15、 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：1、由旋转矢量图和 vA = vB可知 T/2 = 4s，即 T = 8s = 2 /T = /4 rad/sAO = BO = AB/2 = 10/2 = 5cmABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s 因为 21 = t 所以 1 = t/2 =( /4) (4-2) 2 = /4初相 =+1 =+/4=5/4振幅 A =

16、AO/cos( /4) = 5 0.707 = 7.07 cm所以，质点的振动方程为： x = 7.07 cos (t / 4 + 5 / 4 ) cmABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为（A） /6 （B）5 /6 （C）- 5 /6 （D）- /6 （E）- 2 /3vvmvm20t 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为（A）/6 （B）5 / 6 （C） 5/ 6 （D）/6 （E） 2/ 3因为 v

17、= + / 2 = / 3 所以 = /2/ 3 =5/6 答案 （c）vvmvm20tvovmvm/2t =0/3v = A sin(+)= A cos(+ +/2)= Av cos(+v ) 例 人以恒定速率0hh0rXYvx求:任一位置船之速度、加速度。运动，vhOh0rXYvxrrxh22=+xtdd=iv船xhtdd22=+xxxht22=+ddxh2i+=0 x2vt=addv船id=dx22thi=x3022v船之速度为OA同时OA长度 r 缩短的速率为 v0rtdd0v=xt=iddv船一观测者测得运动米尺长为 0.5 m ，求此米尺以多大的速度相对观测者运动?解：已知 l =

18、 0.5 m, l = 1.0 m 由长度收缩 l = l ( 1 - u2 / c2 )1/2 得 u = ( 1 - l 2 / l 2 )1/2 c = ( 1 - 0.5 2/1. 0 2 )1/2 c = 0.866 c一个粒子将在 2106 秒内衰变，当这个粒子以 0.8c 的速度运动时，一个实验室中的观测者测得的衰变时间将是多少?解：已知 t = 2106 s, u = 0.8 c 由时间膨胀得： t = t/( 1- u2/c2 )1/2 = 2106 /( 1- 0.82 )1/2 = 3.33106 s一列静长为l0 = 0.5 km 的火车，以v = 100 km /h

19、的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少? 先出中车头还是车尾?vx1,t1x2,t2x1,t1x2,t2头尾SX解：已知 x=0.5 km,u =100 km/h,t=0 s由洛仑兹变换 t = (t + ux/c2)/( 1- u2/c2 )1/2得：t = - ux/c2 = -(100000/3600)500/(3108)2 = - 1.54 10-13 s因 t= t头- t尾 0 , 故先出中车头.vx1,t1x2,t2x1,t1x2,t2头尾SX牛朗星与地球相距约16光年，一宇航员准备用4年时间(他手上手表

20、显示的时间)抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行?解一：已知 x = 16c , t = 4 设宇宙飞船速度为 u , 则有 t = x/u 由洛仑兹变换 t= ( t - ux/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2 = ( x/u - ux/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2 = x/u( 1- u2/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2 = x/u( 1- u2/c2 )1/2得 ( ct/x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2 x = 16c , t = 4 ( ct/x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2 两边平方：( ct/x )2 u2/c2 = 1- u2/c2整理得：u = c / 1 + ( ct/x )2 1/2 = c / 1 + ( 4c/16c )2 1/2 = (16/17)1/2 c