点到直线地距离公式

1、7向量应用举例7. 1点到直线的距离公式7. 2向量的应用举例学习目标1. 了解直线法向量的概念 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题、力学问题及一些实际问題.3.进一步体会向量是一种处理几何问題、物理问题等 的工具.预习导学 巻挑战自我，点点落实知识链接向量可以解决哪些常见的几何问题？答（1）解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系.（2）解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度呈问题.用向童方法簷决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答（1）建立平面几何与向量的联系，用向童表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问題转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间

2、的关系，距离，夹角等问题；把运算结果翻译”成几何关系.预习导引直线的法向量（1）直线y=kx+ b的右向向量为（1,用,法向童为伙、一 1）直线加+砂+片OS+/HO）的右向向量为（3,力）,法向量为（几$1（16文案大全点到直线的距离公式设点Mg 旳)为平面上任一定点，则点妙到直线加砂40艸+夕辛0)的距离 d=向星方法在儿何中的应用证明线段平行问题，包括相似问题，常用向屋平行(共线)的等价条件：a/bb=f=0) a= A 心勺吃一響l=0,证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a, b, &丄 a6=00也吃+也吃=0.求夹角问题，往往利用向量的夹角

3、公式COS 8=(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|引向量方法在物理中的应用力、速度、加速度、位移都是向量，(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向童的虹建运算，运动的叠加亦用到向量的合成.动童刃#是数乘向量.功即是力尸与所产生位移$的数童积.F课堂讲义全 愛点难点，个个击破要点一 直线法向量(或方向向莹)的应用例已知甩炒的三顶点71(0, -4), /4,0), 6*(-6. 2)，点从E、尸分别为边BC、叭曲的中点.(1)求直线圧EF、的方程；求M边上的高线加所在的直线方程.解(1)由已好得点D. 1)y (-3, 1，F(2, -2).设点“是

4、直线睦 上任一点，则 / r = J+ 1, y 1) , = (2, 2) , f 2) X (x+ 1) (2)(y1)=0,即x y+ 2 = 0为言线址的方程同理可求，直线更的方程分别为x+5y+8=0, x+y=Q.设点來才，刃是 他所在的直线上任一点，则丄，=0,=0+6, y 2),=(4 4),.4匕+6)+42)=0,即&十p十4=0为所求直线防所在的克线方程，规律方法 对于解析几何中的有关克线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与克线 相关的向呈的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将 问题解决.跟踪演练1求点/0(-1.2)到直线/： 2a+X-10=0

5、的距离.解 方法一 取直线/的一个法向虽为=(2,1),在直线/上任取一点H5, 0),0=(-6. 2),点到直线/的距离0就是。在法向量/?上的射影，设o与打的夹角为夕-=1 cl |cos。| = |0| -故点尺到直线/的距噩为2方法二 由点到直线的距离公式得d=要点二 向呈在平面几何中的应用例 2 如图，RtAW中，Z/i防=9!T , 6=3, 08=2, M在上，且酬卅在0A匕且Z2/V=1, P为曲与側的交点，求乙MPN解设=彳 =b,且,的夹角为乞贝11 = b、 = a. 又 T = = b_ &、= = a 乂 = _5 FI U ,丨匸，.cos 8 =_,又T 0,

6、, 8=,又T乙MPN即为向量T的夹角，规律方法(1)本题可以选择，作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这 组特殊的基向量可以简化运算.(2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解.把平面几何中求角的问题转化为向量 的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一左要注意向量的方向.匪踪演练2已知磁中，Z嘲460 ,胚二4血=3,求呢的长.解 以力为原点蹇立如图所示平面直角坐标系，则/(0, 0),別4cos 60 , 4sin60 ), G(3,0), = 3 0), = (2, 2 ),T =- =(1, -2),.J匸=妾点三 利用向量解决物理中的问题例3在风速为75(-) km/h的西

7、风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.解 设向量日表示风速，表示无风时飞机的航行速滾，c表示有风时飞机的航行速 度，贝|J c- b.如图，作向呈 =a,=b,=c,则四边形滋为平行四边形.过G 分别作少的垂线，交皿?的延长线干2 F点.由已知，I 1=75( 一 )9 |=150,上侧?=45 在 Rt妙中，OD= Q =75,仞=75又 ED=BC=OA=75l -),：.OE=aDED=15 又 BE=CD=15在 RtAOEB中，08=150,sinZ BQE = ,| =1509 乙 8(=3$故没有风肘飞机的航速为150km/h,航向为西偏北

8、30 .规律方法用向量的有关并识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如 下；(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系;通过抽象、概括，扌巳物理现象转化为与之相关的向量问题；利用向量知识解决这个向量问题.并获得这个向童问题的解；利用这个结果，对原物理现象作岀簷释.跟踪演练3如图，在细滝0处用水平力月缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与 铅垂方向的央角为8.绳子所受到的拉力为片求I斤h I月I随角&的变化而变化的情况;当|斤|W2|创时，求角&的取值范围.解 如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得苗|=, |斥| =当B从0趋向于90时，|斤|石|都逐渐变大.由 |斤 |

9、W2|G|,得 cos .又因为 0。W&V90 ,所以 0 W BW60。.喜当堂检测 J 当堂训练.体蛰成切已知直线人；3卄p2=0与直线“：财一y+1= 0的夹角为45 ,则实数/?的 TOC o 1-5 h z 值为.答案2或一解析 设直线人，/2的法向量为，血,则 /?1= (3, 1) f H2= Cw, 1).由题意cos 450 整理得2 3m 2 0,解得;2或.已知力(1,2), 8(-2. 1),以曲为直径的圆的方程是.答案 +x-3y=0解析 设Pg y)为圆上任一点，则=(a- 1, y2),=3+2, y-1),由 = （“一 1） d+2） + （p2）（尸一1）

10、 =0,化简得，十”十才一3=0.正方形曲?的边长为点久F分别为九?、他的中点，试求 zZDOE的値.解以0I,血所在直线为坐标轴建立宜角坐标系，如图所示，由题意知：故 cos Z DOE=即GOsZf的值为一艘船从南岸出发，向北岸横渡，根据测量，这一天水流速康为3 km/h,方向 正东，风的方向为北偏西30 ,豈风力影响，静水中那的潔行速度为3 km/h,若要 使该昭由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大 小及方向.解如图设水的速爱为听，风的速度为攻，旳十竣=a易求得a的方向是北偏东30 ,吕的大小是3 km/h.设船的实际航行遠度为匕方向由南向北，大小为2 k

11、m/h ,船本身的速度为屹，则4 V3= V,即旳=la,数形结合知岭的方向是北偏西60 ,大小是3 km/h课堂小结一=1.利用向虽方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距噩等问題.利用向星 解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉 及的向量；一种思路是餐立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路 都是通过向童的计算获得几何命题的证明.2用向量理论讨论物理中相关问题的步哽一般来说分为四步；(1)问題的转化，把物理问题转化成数学问题；摸型的建 立，窪立以向量为主体的数学模型：(3)参数的较取，求岀数学模型的相关解； 得到答案，回到物理现象中，用已经获

12、取的数值去解释一些物理现象.一、基础达标1.已知儿B, C, 0四点坐标分别是(1.0),3), (2,4)r 2),则此四边形为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形答案A解析 T =(3,3),=(2,2),“，|护丨|,四边形为梯形.当两人提超車量为的旅行包时，夹角为0,两人用力都为|叶，若|尸| = |创， 则B的值为()A. 30 B. 60。C. 90。 D. 120答乗D解析 作 =F,=月， =_G,则 =+,当 161 = 161 = I ?| 肘，5QAC为正三角形，”0(=6$ ,从而二12丁 .平面上有四个互异点几B、G、0,已知+2) ()=0,则的形状是()A.直角

13、三角形B.等腰三角形C.等腫直角三角形D.无法确定答案B解析由(+-2 ) (-) =0y得一)+() ()=0,所以(十)( 一 )=0所以I p-l r=o,11 = 1 I,也磁 是等腰三角形.已知直线齐的方向向屋为a=(1.3)y直线“的方向向量为b=(-1r A)y若直 线乙过点(0.5),且/2,则直线/2的方程是()A. *+3p5 = 0 B. a+3/ 15 = 0C. a3y+5 = 0 D. a3y+15 = 0答棊B解析、a, 刁丄，=一1+3末=o,:、k=、：、g 的方程为 y= x+5,即 A+3y 15=0.故选B.过点力(一2,1)且平行于向量a= (3.1)

14、的直线方程为答案*一3卄5=0解析 设PS, D是所求直线上的任一点，=(a十 2, y 1)./a :. U+2) X1-3(y-1) =0.即所求直线方程为“一3p+5=0.已知点川一仁2),凤0, 2),若点0在线段川?上，且2|=3| 则点。的坐标为答案解析 由题意得 =+=+=(1,2)+(1, -4)=，所以0如图，点0是口ABCD的对角线力0少的交点，&厂分别在边初上，且求证；点E G尸在同一直线上，证明设=曲 =b,由E F分别为对应边的三等分点，得=+ = += a+ （s+Q=a+ b,=+=+=（廿劝一 a=日十b.所以= 又因为0为其公共点，所以点E S F在同一直线上

15、.二、能力提升已知直纟戋人；0tt+2）/v+3砒+ 1=0与直线人；（/?72）兀+（,卄2）y3 = 0相互毎 直，则实数可的值是A. -2 B.C. 2 或 D. - 或 2答案c解析 汁2) 02)+3刃(卄2) = S+2)l2) =0.穴一2或.在四边形九砂中，=(1,2)y=(一4,2)，则四边形的面积为()扎 B2C. 5 D 10答案C TOC o 1-5 h z 解 因为在四边形川畑中=(1.2)y=(42), =0,所以四边形磁的对角线互相垂直，又 I 1=,I 1=2 ,该四边形的面积：|丨=X X2 =5.10已知曲线C：尸一,直线/： x=6.若对于点AS3 ,存在

16、C上的点P和/上的点。使得+ =0,则刃的取值范围为答案2,3解析由 + =0知昇是的中点，设P(x, 0,则0(2,w-儿-y),由题意一2WaWO, 2l&=6,解得 2WX3.如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30 (斜向上)，大小为50 N, 个质 量为8 kg的木块受力尸的作用在动摩擦因数“=0.02的水平平面上运动了 20 m.问力F和摩擦力卢所做的功分别为多少？尸IOm&)13 / 6嫖大全解 设木块的位移为 名 则W=Fs= |/1|cos 30 =50X20X=500(J)F在竖直方向上的分力的大小为|斤| = |叶si门30 =50X =25N）.则 f=(砒T斤 1)=0. 02X (8X10-25)=1.1 (N).所以 f &=| d Idcos 180 =1. 1X20X (一1)=一22心)即F与f所做的功分别是500J与一22 J.在中.AB=ACf 为处的中点，的重心.尸为朋C的夕卜心,证明；EFIGD证明遂立如图所示的平面直角坐标系.设他设他4, 3(0),=（町）易知尿妙的外心尸在p軸上，可设为9, y）