2022年不等式恒成立问题的基本类型及常用解法_第1页
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1、不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型 1:设 fx=ax+b fx 0 在 xm,n上恒成立f m 0 x 的取值范畴;f n 0fx 0 在 xm,n上恒成立fm 0. fn 0例1. 设 y=log2x2+t-2log2x-t+1,如 t 在-2,2上变化, y 恒取正值,求实数解:设 ft=y=log2x-1t+log2x2-2log2x+1, t-2,2 问题转化为: ft0 对 t -2,2恒成立f2 0f2 0log2x24log2x30log2x2100 x1 或 x8;2故实数 x 的取值范畴是(0,1 )( 8,+);2例 2. 对于 -1a1, 求使不等式 1 x2 a

2、x 1 2 x a 1 恒成立的 x 的取值范畴;2 2解:原不等式等价于 x 2+ax0 在 a-1,1上恒成立 ,就须满意f100 x2x00 x2 或 x0f1 x23 x2故实数的取值范畴是- ,0 2,+. 类型 2:设 fx=ax2+bx+c a 0 fx 0 在 xR上恒成立a 0 且 0; fx 0 在 xR上恒成立a 0 且 0. 说明: .只适用于一元二次不等式.如未指明二次项系数不等于0,留意分类争论. m的取值范畴;例 3. 不等式2x222mxm1 对一切实数x 恒成立,求实数4x6x3解:由 4x 2+6x+3=2x+ 3 2+ 3 0, 对一切实数2 42x 2+

3、2mx+m4x 2+6x+3, x R x 恒成立,从而,原不等式等价于即: 2x 2+6-2mx+3-m0 对一切实数 x 恒成立;就 =(6-2m)2-83-m 0 解得: 1m3 故实数 m的取值范畴是(1,3);类型 3:设 fx=ax 2+bx+c a 0 ( 1)当 a0 时 fx 0 在 xm, n 上恒成立b b b2 a m 或 m2 a n 或 2 a nf m 0 o f n 0b m b n2 a 或 0 或 2 a . f m 0 f n 0 fx 0 在 xm, n 上恒成立 f m 0. f n 0( 2)当 a0 时 fx 0 在 xm, n 上恒成立f m 0

4、f n 0 fx 0 在 xm, n 上恒成立b m m b n b n2 a 或 2 a 或 2 af m 0 o f n 02 ba m 或 0 或 2 ba n . f m 0 f n 0说明:只适用于一元二次不等式 . 类型 4:afx 恒成立对 xD恒成立 afx max ,afx对 x D恒成立 afx m in .说明: . fx 可以是任意函数.这种思路是:第一是-分别变量,其次用-极端值原理;把问题转化为求函数的最值,如fx不存在最值,可求出fx 的范畴,问题同样可以解出;例 4.(2022.上海)已知fx=x22xa0 在 x,1上恒成立,求实数a 的取值范畴;x分析 1:

5、当 x1 ,时, fx 0 恒成立,等价于x2+2x+a 0 恒成立 , 只需求出gx= x2+2x+a 在,1上的最小值,使最小值大于0 即可求出实数a 的取值范畴;恒成立解法 1: fx=x22xa0 对 x ,1x x2+2x+a0 对 x ,1恒成立;设 gx= x2+2x+a x1 ,问题转化为: gxm in0gx= x2+2x+a=x+12+a-1, x,1gx 在,1上是增函数;gxm in=g1=3+a 3+a0 a -3 即所求实数 a 的取值范畴为 a -3;分析 2 :分别变量,转化为 afx或 afx恒成立问题,然后利用极端值原理:afx 恒成立 afx m axaf

6、x 恒成立 afx m in . 2x 2 x a解法 2: fx=0 对 x ,1 恒成立x x 2+2x+a0 对 x,1 恒成立;a -(x 2+2x)对 x,1 恒成立;设 x= -(x 2+2x) x ,1问题转化为: ax m axx= -(x 2+2x)=-x+1 2+1 x,1x 在 ,1 上是减函数;x max= 1=-3 a -3 即所求实数a 的取值范畴为a -3;2.4x 0 恒成立,求实数a 的取值范畴;例 5.已知 x1,时, 不等式 1+2 x+a-a分析:要求a 的取值范畴,如何构造关于3a 的不等式是关键,利用分别变量的方法可达到目的;解:设 2x=t, x1

7、, t,02原不等式可化为:a-a2t21. t要使上式对t,02恒成立,只需:a-a2(t21) m ax . t0 2,tt21=-11 2+1tt24由11,(t21) m a x=-t2t4a-a2-34即: 4a2-4a-30 从而 -1 a232类型 5: .fxgx 对任意 xD恒成立. f x1gx2 对任意 x1、x 2D恒成立例 6 已知 fx=-x3+ax,其中 aR,gx=-03 1 x 22,且 fxgx 在 x1,0上恒成立,求实数a 的取值范畴;分析:有的同学把“fxgx 在 x1,上恒成立” 转化为: “ 当 x01,时, fx m ax g(x) m in ,

8、” 然后求出a 的取值范畴;这种方法对吗?121 时,fx m ax =0, g(x) min = - 1 ,并不满意 2fx m ax g(x)fx=-2x2 gx=-x+12我们先来看一个例子,如图,当x0 ,1m in明显这种转化方式是不对的;错在哪里呢?缘由在于用分别变量方法得到的不等式一边是参数,另一边是 x 的函数关系式;而此题解法中的不等式,两边都是关于x 的函数关系式,所以上面这种转化方式是错的;正确的方法是先分别变量,再利用极端值原理;解: fxgx 在 x01,上恒成立-x3+ax+3 1 x 220 对 x01,恒成立3+5x2+4x, 其中 k R a x2-1 1 x 22对 x01,恒成立设 hx= x2-1 1 x 22 x 0 1,问题转化为: ahx minh/x=2x-41x=2x1.4x2x14x由 h / x=0 ,得 x=1 4当 x0,1时hx 0,hx在0,1递减;44当 x11,时hx 0,hx 在11,递减;44 hx 1 在 x= 4时取最小值, hx m in=316a3 16例 7. 已知两个函数 fx=8x2+16x-k,gx=2x(1)如对任意的 x-3,3,都有 f

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