人教版九下数学 中考专题复习 专题6 开放探究型问题

1、人教版九下数学 中考专题复习 专题6 开放探究型问题如图，已知 AD 是 ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使 AEDAFD，需添加一个条件是： 小敏思考解决如下问题：原题：如图（1）所示，点 P，Q 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，PAQ=B，求证 AP=AQ(1) 小敏进行探索，若将点 P，Q 的位置特殊化，把 PAQ 绕点 A 旋转得到 EAF，使 AEBC，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，如图（2）所示此时她证明了 AE=AF，请你证明此结论(2) 受（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图（3）所示，作 AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，请你继

2、续完成原题的证明(3) 如果在原题中添加条件：AB=4，B=60，如图（1）所示，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案古希腊数学家毕达哥拉斯认为：一切平面图形中最美的是圆.请研究如下美丽的圆如图 1 所示，线段 AB 是 O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BC=OB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交 O 于点 D点 P 是 O 上一动点（不与点 A，B 重合），连接 CD，PE，PC(1) 求证 CD 是 O 的切线；(2) 小明在研究的过程中发现 PEPC 是一个确定的值求这个确定的值是多少，并对小明发现的结论加以证明如图 1 所示，抛物线 y=ax2+bx+c

3、 经过点 A-1,0，点 C0,3，且 OB=OC(1) 求抛物线的解析式及其对称轴；(2) 点 D，E 是直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值；(3) 如图 2 所示，点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，求点 P 的坐标【例 7 】如图，在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC=4点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分 ABC 时，AP 的长度为 A 813 B 1513 C 2513 D

4、 3213 如图所示，已知菱形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别是 AB，AD 上的动点，且 BE=AF，BAD=120，则下列结论正确的有 BECAFC； ECF 为等边三角形； AGE=AFC；若 AF=1，则 GFEG=13A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个四边形 ABCD 中，A+B=180，添加一个条件： ，使四边形 ABCD 成为平行四边形【测试 3 】如图，在菱形 ABCD 中，sinB=45，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，将四边形 AEFB 沿 EF 翻折，使 AB 的对应线段 MN 经过顶点 C，当 MNBC 时，AEAD 的值是 如图，AB 是 O 的直径

5、，D 是 O 上一点，DEAB 于点 E，且 ADE=60，C 是 ABD 上一点，连接 AC，CD(1) 求 ACD 的度数；(2) 证明：AD2=ABAE；(3) 如果 AB=8，ADC=45，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案如图所示，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA（不包括端点）上运动，且满足 AE=CG，AH=CF(1) 求证 AEHCGF；(2) 试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由；(3) 请探究四边形 EFGH 的周长的一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由如图所示，已知抛物线 y=ax2+bx+5

6、 经过 A-5,0，B-4,-3 两点，与 x 轴的另一个交点为 C顶点为 D，连接 CD(1) 求该抛物线的解析式(2) 点 P 为该抛物线上一动点（与点 B，C 不重合），设点 P 的横坐标为 t当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求 PBC 的面积的最大值该抛物线上是否存在点 P，使得 PBC=BCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由答案1. 【答案】AE=AF 或 EDA=FDA【解析】添加条件：AE=AF，证明：在 AED 与 AFD 中， AE=AF,EAD=FAD,AD=AD, 所以 AEDAFD SAS添加条件：EDA=FDA，证明：在 AED 与 AFD

7、 中， EAD=FAD,AD=AD,EDA=FDA, 所以 AEDAFD ASA2. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 B+C=180，B=D，AB=AD，因为 EAF=B，所以 EAF+C=180，所以 AEC+AFC=180，因为 AEBC，所以 AFCD，在 AEB 和 AFD 中， AEB=AFD,B=D,AB=AD, 所以 AEBAFD，所以 AE=AF(2) 由（1）得 PAQ=EAF=B，AE=AF，所以 EAP=FAQ，在 AEP 和 AFQ 中， AEP=AFQ=90,AE=AF,EAP=FAQ, 所以 AEPAFQ，所以 AP=AQ(3) 已知 AB=4，

8、B=60，求四边形 APCQ 的面积四边形 APCQ 的面积 =43【解析】(3) 如图 3 所示，连接 AC，BD 交于点 O，因为 ABC=60，BA=BC，所以 ABC 为等边三角形因为 AEBC，所以 BE=EC同理 CF=FD所以四边形 AECF 的面积 =12 四边形 ABCD 的面积，由（2）得四边形 APCQ 的面积 = 四边形 AECF 的面积，因为 OA=12AB=2，OB=32AB=23，所以四边形 ABCD 的面积 =122234=83，所以四边形 APCQ 的面积 =433. 【答案】(1) 如图 2 所示，连接 OD，DB， 点 E 是线段 OB 的中点，DEAB

9、交 O 于点 D， DE 垂直平分 OB， DB=DO， 在 O 中，DO=OB， DB=DO=OB， ODB 是等边三角形， BDO=DBO=60， BC=OB=BD，且 DBE 为 BDC 的外角， BCD=BDC=12DBO， DBO=60， CDB=30 ODC=BDO+BDC=60+30=90， CD 是 O 的切线(2) 这个确定的值是 12证明如下：连接 OP，如图 3 所示由已知可得 OP=OB=BC=2OE， OEOP=OPOC=12又 COP=POE， OEPOPC， PEPC=OPOC=124. 【答案】(1) OB=OC， 点 B3,0，则抛物线的解析式为 y=ax+1

10、x-3=ax2-2x-3=ax2-2ax-3a，故 -3a=3，解得 a=-1，故抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3, 抛物线的对称轴为 x=1(2) 四边形 ACDE 的周长 =AC+DE+CD+AE，其中 AC=10，DE=1 是常数，故 CD+AE 最小时，周长最小如图 3 所示，取点 C 关于图象对称轴的对称点 C2,3，则 CD=CD取点 A-1,1，则 AD=AE故 CD+AE=AD+DC，则当 A，D，C 三点共线时，CD+AE=AD+DC 最小，周长也最小四边形 ACDE 的周长的最小值 =AC+DE+CD+AE=10+1+AD+DC=10+1+AC=10+1+13. (3

11、) 如图 4 所示，设直线 CP 交 x 轴于点 E，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，又 SPCB:SPCA=12EByC-yP:12AEyC-yP=BE:AE，则 BE:AE=3:5 或 5:3，则 AE=52或32，即点 E 的坐标为 32,0 或 12,0设直线 CP 的解析式为 y=kx+3，将点 E 的坐标代入 y=kx+3，解得 k=-6或-2，故直线 CP 的解析式为 y=-2x+3 或 y=-6x+3. 联立解得 x=4或8（不合题意的解已舍去），故点 P 的坐标为 4,-5 或 8,-455. 【答案】B【解析】 C=90，AB=5，BC=4， A

12、C=AB2-BC2=3， PQAB， ABD=BDQ，又 ABD=QBD， QBD=BDQ， QB=QD， QP=2QB， PQAB， CPQCAB， CPCA=CQCB=PQAB , 即 CP3=4-QB4=2QB5，解得，CP=2413， AP=CA-CP=1513，故选：B6. 【答案】D【解析】 BECAFCSAS，正确 BECAFC， CE=CF，BCE=ACF BCE+ECA=BCA=60， ACF+ECA=60， CEF 是等边三角形，故正确 AGE=CAF+AFG=60+AFG，AFC=CFG+AFG=60+AFG， AGE=AFC，故正确过点 E 作 EMBC 交 AC 于点

13、 M，如图所示，易证 AEM 是等边三角形，则 EM=AE=3 AFEM， GFEG=AFEM=13，故正确7. 【答案】 AD=BC 或 ABCD（答案不唯一）8. 【答案】 29 【解析】延长 CM 交 AD 于点 G， 将四边形 AEFB 沿 EF 翻折， AE=ME，A=EMC，BF=FN，B=N，AB=MN， 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD，B=D，A+B=180， sinB=45=sinN=CFFN， 设 CF=4x，FN=5x， CN=FN2-CF2=3x， BC=9x=AB=CD=AD， sinB=45=sinD=GCCD， GC=36x5， GM=GC-M

14、N-CN=36x5-6x=65x， A+B=180，EMC+EMG=180， B=EMG， sinB=sinEMG=45=EGEM， cosEMG=35=GMEM， EM=2x， AE=2x， AEAD=2x9x=299. 【答案】(1) 如图，连接 OD， OA=OD，ADE=60，DEAB， OAD=ODA=30 AOD=120 ACD=12AOD=60(2) 如图，连接 BD， 在 ADE 和 ABD 中，DAE=BAD，AED=ADB， ADEABD ADAB=AEAD AD2=ABAE(3) 请计算 AC 的长度解：4【解析】(3) 解：如图 2，连接 OC，BC ADC=45， A

15、OC=2ADC=90又 点 O 是 AB 的中点， AC=BC又 AB 是直径， ACB=90 AC2+BC2=AB2，即 2AC2=AB2=82则 AC=410. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 A=C，在 AEH 与 CGF 中， AE=CG,A=C,AH=CF, 所以 AEHCGF(2) 四边形 EFGH 是平行四边形理由如下：由（1）知 AEHCGF，则 EH=GF同理证得 EBFGDH，则 EF=GH，所以四边形 EFGH 是平行四边形(3) 四边形 EFGH 的周长的一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线的长度理由如下：如图所示，作 G 关于 BC 的对称点

16、G，连接 EG，可得 EG 的长度就是 EF+FG 的最小值连接 AC，因为 CG=CG=AE，ABCG，所以四边形 AEGC 为平行四边形，所以 EG=AC在 EFG 中，因为 EF+FGEG，所以 EF+FGAC，所以四边形 EFGH 的周长的一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线的长度11. 【答案】(1) 将点 A，B 的坐标代入抛物线的解析式得 25a-5b+5=0,16a-4b+5=-3, 解得 a=1,b=6. 故抛物线的解析式为 y=x2+6x+5, 令 y=0，则 x=-1或-5，即点 C-1,0(2) 如图 1 所示，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G，由点 B，C 的坐标可解得直线 BC 的解析式为 y=x+1, 设点 Gt,t+1，则点 Pt,t2+6t+5，SPBC=12PGxC-xB=32t+1-t2-6t-5=-32t2-152t-6 -320， SPBC 有最大值，当 t=-52 时，其最大值为 278当点 P 在直线 BC 下方时，设直线 BP 与 CD 交于点 H，如图 2 所示， PBC=BCD， 点 H 在 BC 的中垂线上，线段 BC 的中点坐标为 -52,-32过该点与 BC 垂直的直线的 k 值为 -1，设 BC 中垂线的解析式为 y=-x+m，将点 -52,-32 代入上式解得 m