高考理科数学复习第1部分-板块2-核心考点突破拿高分-专题5-第3讲-圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)热点一最值问题求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.例1(2019邯郸模拟)已知椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上的一个动点，且|PF2|的最大值为2eq r(3)，E的离心率与椭圆：eq f(x2

2、,2)eq f(y2,8)1的离心率相等.(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1MF2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.解(1)依题意可知eq blcrc (avs4alco1(ac2r(3)，,f(c,a)r(1f(2,8)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,cr(3)，)则b2a2c21，故E的方程为eq f(x2,4)y21.(2)延长MF1交E于点M，由(1)可知F1(eq r(3)，0)，F2(eq r(3)，0)，设M(x1，y1)，M(x2，y2)，设MF1的方程为xmyeq r(3)，由eq blcrc (avs

3、4alco1(xmyr(3)，,f(x2,4)y21)得(m24)y22eq r(3)my10，故eq blcrc (avs4alco1(y1y2f(2r(3)m,m24)，,y1y2f(1,m24).,)设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则Seq f(1,2)(|F1M|F2N|)deq f(1,2)(|F1M|F1M|)deq f(1,2)|MM|d，而eq f(1,2)|F1F2|y1y2|eq r(3)eq r(y1y224y1y2)eq f(4r(3)r(m21),m24)eq f(4r(3),r(m21)f(3,r(m21)eq f(4r(3),2r(3)2

4、，当且仅当eq r(m21)eq f(3,r(m21)，即meq r(2)时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2.跟踪演练1(2019焦作模拟)已知椭圆C：eq f(x2,2)y21，点Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，B(1,2).(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；(2)若直线l2：y2xt(t0)与椭圆C交于P，Q两点，求BPQ的面积的最大值.解(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，故eq f(xoal(2,1),2)yeq oal(2,1)1，eq f(xoal(2,2),2)yeq oal(2,

5、2)1.将两式相减，可得eq f(xoal(2,1),2)yeq oal(2,1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(xoal(2,2),2)yoal(2,2)0，即eq f(x1x2x1x2,2)(y1y2)(y1y2)0，因为A为线段MN的中点，所以x1x22，y1y21.得(x1x2)(y1y2)0，即eq f(y1y2,x1x2)1，故直线MN的斜率kMN1.(2)联立eq blcrc (avs4alco1(y2xt，,f(x2,2)y21)可得9x28tx(2t22)0，由0可得64t236(2t22)0，解得0t20，SBPQeq f(r(2),9)eq r(9t2)|t

6、|eq f(r(2),9)eq r(9t2t2)eq f(r(2),9)eq f(9t2t2,2)eq f(r(2),2)，当且仅当t2eq f(9,2)，即teq f(3r(2),2)时取等号.故BPQ的面积的最大值为eq f(r(2),2).热点二范围问题圆锥曲线的范围问题的常见解法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.例2(2019江西九校联考)已知椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a

7、b0)的右焦点F(1,0)，A，B，C是椭圆上任意三点，A，B关于原点对称且满足kACkBCeq f(1,2).(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线与圆：x2y21相切，与椭圆E相交于不同的两点P，Q，求|PQ|eq f(4r(3),5)时，k的取值范围.解(1)由题可设A(xA，yA)，B(xA，yA)，C(xC，yC)，所以eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,A),a2)f(yoal(2,A),b2)1，,f(xoal(2,C),a2)f(yoal(2,C),b2)1，)两式相减得eq f(xAxCxAxC,a2)eq f(yAyCyAyC,b2)0，eq f

8、(yAyC,xAxC)eq f(yAyC,xAxC)eq f(b2,a2).即kACkBCeq f(yAyC,xAxC)eq f(yAyC,xAxC)eq f(b2,a2)eq f(1,2)，所以a22b2，又c1，a2b2c2，所以a22，b21，所以椭圆E的标准方程为eq f(x2,2)y21.(2)设直线方程为ykxm，交椭圆于点P(x1，y1)，Q(x2，y2).联立方程eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,f(x2,2)y21，)得(12k2)x24kmx2m220，8(2k21m2)0，得2k21m2，x1x2eq f(4km,12k2)，x1x2eq f(2m22,

9、12k2).所以|PQ|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq r(1k2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4km,12k2)2f(8m28,12k2)eq r(1k2)eq r(f(16k2m2,12k22)f(8m2812k2,12k22)eq r(1k2)eq r(f(16k2m2,12k22)f(8m216m2k2816k2,12k22)eq r(1k2)eq r(f(8m2816k2,12k22)，因为直线ykxm与圆x2y21相切，所以deq f(|m|,r(1k2)1eq r(1k2)|m|，即m21k2，代入2k21m2，得k0.所以|PQ|e

10、q r(1k2)eq r(f(81k2816k2,12k22)eq r(1k2)eq r(f(8k2,12k22)2eq r(2)eq r(f(k4k2,12k22)，因为|PQ|eq f(4r(3),5)，所以2eq r(2)eq r(f(k4k2,12k22)eq f(4r(3),5)，化简得k4k260，即(k23)(k22)0，解得k22或k23(舍).所以keq r(2)或keq r(2)，故k的取值范围为(，eq r(2)eq r(2)，).跟踪演练2(2019合肥质检)已知抛物线C：x22py(p0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点

11、F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|BQ|的取值范围.解(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10.抛物线的准线为yeq f(p,2)，9eq f(p,2)10，解得p2，抛物线的方程为x24y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：ykx1.设Aeq blc(rc)(avs4alco1(x1，f(xoal(2,1),4)，Beq blc(rc)(avs4alco1(x2，f(xoal(2,2),4)，由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x24y)消去y，

12、得x24kx40，x1x24k，x1x24.由于抛物线C也是函数yeq f(1,4)x2的图象，且yeq f(1,2)x，则PA：yeq f(xoal(2,1),4)eq f(1,2)x1(xx1).令y0，解得xeq f(1,2)x1，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1，0)，从而|AP|eq f(1,4)eq r(xoal(2,1)4xoal(2,1).同理可得，|BQ|eq f(1,4)eq r(xoal(2,2)4xoal(2,2)，|AP|BQ|eq f(1,16)eq r(x1x224xoal(2,1)4xoal(2,2)eq f(1,16)eq r(x1

13、x22164xoal(2,1)xoal(2,2)x1x22)2eq r(1k2).k20，|AP|BQ|的取值范围为2，).热点三证明问题圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.例3(2019南开模拟)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的离心率为eq f(1,2)，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xyeq r(6)0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A，B，过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C，D，与l3：x4交于

14、P，求证：直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列.(1)解由题意知eeq f(c,a)eq f(1,2)，所以eq f(a2b2,a2)eq f(1,4)，即a2eq f(4,3)b2又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x2y2b2与直线xyeq r(6)0相切，所以圆心到直线的距离deq f(r(6),r(2)beq r(3)，所以a24，b23，故椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)证明由题意，知当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为yk(x1).由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,4)f(y

15、2,3)1，)得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系，得x1x2eq f(8k2,4k23)，x1x2eq f(4k212,4k23)，由题意知直线l2的斜率为eq f(1,k)，则直线l2的方程为yeq f(1,k)(x1)，令x4，得P点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(3,k)，kPAkPBeq f(y1f(3,k),x14)eq f(y2f(3,k),x24)eq f(kx11,x14)eq f(kx21,x24)eq f(3,k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x14)f(1,x24)

16、keq f(2x1x25x1x28,x1x24x1x216)eq f(3,k)eq f(x1x28,x1x24x1x216)keq f(2f(4k212,4k23)5f(8k2,4k23)8,f(4k212,4k23)4f(8k2,4k23)16)eq f(3,k)eq f(f(8k2,4k23)8,f(4k212,4k23)4f(8k2,4k23)16)keq f(0,361k2)eq f(3,k)eq f(24k224,361k2)eq f(2,k)2kPF，即kPAkPB2kPF，当直线l1的斜率不存在时，kPAkPB0，kPF0，满足题意，所以kPA，kPF，kPB成等差数列.跟踪演练

17、3(2019深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F(1,0)，且点eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上.(1)解方法一设椭圆C的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，一个焦点坐标为F(1,0)，另一个焦点坐标为(1,0)，由椭圆定义可知，2aeq r(112blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)0)2)eq r(

18、112blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)0)2)4，a2，b2a2c23，椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.方法二不妨设椭圆C的方程为eq f(x2,m)eq f(y2,n)1(mn0).一个焦点坐标为F(1,0)，mn1，又点Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)在椭圆C上，eq f(1,m)eq f(9,4n)1，联立方程，解得m4，n3，椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可设直线MN的方程为xmy1，由方程组eq blcrc (avs4alco1(xmy1，

19、,f(x2,4)f(y2,3)1)消去x，并整理，得(3m24)y26my90，(6m)236(3m24)0，y1y2eq f(6m,3m24)，y1y2eq f(9,3m24)，直线BM的方程可表示为yeq f(y1,x12)(x2)，将此方程与直线x4联立，可求得点Q的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(2y1,x12)，eq o(AN,sup6()(x22，y2)，eq o(AQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(6，f(2y1,x12)6y2(x22)eq f(2y1,x12)eq f(6y2x122y1x22,x12)eq f(6y2my112

20、2y1my212,my112)eq f(4my1y26y1y2,my11)eq f(4mblc(rc)(avs4alco1(f(9,3m24)6blc(rc)(avs4alco1(f(6m,3m24),my11)0，eq o(AN,sup6()eq o(AQ,sup6()，又向量eq o(AN,sup6()和eq o(AQ,sup6()有公共点A，故A，N，Q三点在同一条直线上.真题体验(2019全国，理，21)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为eq f(1,2).记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C

21、于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值.(1)解由题设得eq f(y,x2)eq f(y,x2)eq f(1,2)，化简得eq f(x2,4)eq f(y2,2)1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0).由eq blcrc (avs4alco1(ykx，,f(x2,4)f(y2,2)1，)得xeq f(2,r(12k2) .记ueq f(2,r(12k2)，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0).于是直线QG的斜率

22、为eq f(k,2)，方程为yeq f(k,2)(xu).由eq blcrc (avs4alco1(yf(k,2)xu，,f(x2,4)f(y2,2)1，)得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xGeq f(u3k22,2k2)，由此得yGeq f(uk3,2k2).从而直线PG的斜率为eq f(f(uk3,2k2)uk,f(u3k22,2k2)u)eq f(1,k)，因为kPQkPG1.所以PQPG，即PQG是直角三角形.解由得|PQ|2ueq r(1k2)，|PG|eq f(2ukr(k21),2k2)，所以PQG的面积Seq f(1,2)|P

23、Q|PG|eq f(8k1k2,12k22k2)eq f(8blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)k),12blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)k)2).设tkeq f(1,k)，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号.因为Seq f(8t,12t2)在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为eq f(16,9).因此，PQG面积的最大值为eq f(16,9).押题预测已知椭圆W：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的离心率为eq f(r(2),2)，点P(eq r(2)a，eq r(3)，F1，F2分别是椭圆W的左、右焦点，PF1

24、F2为等腰三角形.(1)求椭圆W的方程；(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.求B点坐标；求证：|EF1|F1G|.解(1)由已知eeq f(c,a)eq f(r(2),2)，a2b2c2，得bc，aeq r(2)c， PF1F2为等腰三角形，|F1F2|F2P|，则(2c)2(eq r(2)ac)2(eq r(3)2，代入aeq r(2)c，解得c1，a22，b21，椭圆W的方程为eq f(x2,2)y21.(2)由题意可得直线l

25、1的方程为yx1.与椭圆方程联立，由eq blcrc (avs4alco1(yx1，,f(x2,2)y21，)可求Beq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3).当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|F1G|.当l2不与x轴垂直时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为yk(x1)(k1).由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,2)y21)消去y，整理得(2k21)x24k2x2k220，则x1x2eq f(4k2,2k21)，x1x2eq f(2k22,2k21).由已知，x20，则直线AD的方

26、程为y1eq f(y21,x2)x，令x1，得点E的纵坐标yEeq f(x2y21,x2).把y2k(x21)代入，得yEeq f(x211k,x2).由已知，x1eq f(4,3)，则直线BC的方程为yeq f(1,3)eq f(y1f(1,3),x1f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,3)，令x1，得点G 的纵坐标yGeq f(y1x11,3blc(rc)(avs4alco1(x1f(4,3).把y1k(x11)代入，得yGeq f(x11k1,3x14).yEyGeq f(x211k,x2)eq f(x11k1,3x14)eq f(1kx213x14x2x11

27、,x23x14)eq f(1k2x1x23x1x24,x23x14)，把x1x2eq f(4k2,2k21)，x1x2eq f(2k22,2k21)代入到2x1x23(x1x2)4中，2x1x23(x1x2)42eq f(2k22,2k21)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(4k2,2k21)40.即yEyG0，即|EF1|F1G|.A组专题通关1.(2019吉林调研)已知A，B为椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的上、下顶点，|AB|2，且离心率为eq f(r(3),2).(1)求椭圆E的方程；(2)若点P(x0，y0)(x00)为直线y2上任意一

28、点，PA，PB交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.解(1)依题意|AB|2b2，则b1，又由eq blcrc (avs4alco1(ef(c,a)f(r(3),2)，,a2c21，)解得a2，故椭圆E的方程为eq f(x2,4)y21.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(t,2)(不妨设t0)，则直线PA的方程为yeq f(1,t)x1，代入椭圆方程化简得eq f(t24,t2)x2eq f(8,t)x0，解得xA0，x1eq f(8t,t24)，同理xB0，x2eq f(24t,t236)，S四边形ACBDSACBSADBeq f(1,2)|AB|x2x1|eq f

29、(32t312t,t440t2144)eq f(32blc(rc)(avs4alco1(tf(12,t),t2f(144,t2)40)eq f(32blc(rc)(avs4alco1(tf(12,t),blc(rc)(avs4alco1(tf(12,t)216)，令uteq f(12,t)4eq r(3)，当且仅当t2eq r(3)时，取等号，则四边形ACBD面积为g(u)32eq f(u,u216)eq f(32,uf(16,u)，又g(u)在4eq r(3)，)上单调递减，(SABCD)maxg(4eq r(3)2eq r(3).2.已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)

30、1(ab0)的短轴长为2，离心率为eq f(r(3),2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()的取值范围.解(1)因为椭圆C的短轴长为2，所以2b2，所以b1，又椭圆C的离心率为eq f(r(3),2)，所以eq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq f(r(a21),a)eq f(r(3),2)，解得a2，所以椭圆C的标准方程为eq f(x2,4)y21.(2)由题意直线l的斜率存在，可设其方程为yk(x3)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将yk(x3)

31、代入eq f(x2,4)y21，消去y可得(14k2)x224k2x36k240，所以(24k2)24(14k2)(36k24)0，即k2eq f(1,5)，且x1x2eq f(24k2,14k2)，x1x2eq f(36k24,14k2)，所以eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()x1x2y1y2x1x2k(x13)k(x23)(1k2)x1x23k2(x1x2)9k2(1k2)eq f(36k24,14k2)3k2eq blc(rc)(avs4alco1(f(24k2,14k2)9k2eq f(41k24,14k2)4eq f(57k2,14k2)，因为0k2eq f(1

32、,5)，所以0eq f(57k2,14k2)eq f(19,3)，所以44eq f(57k2,14k2)0)的焦点为F，其准线L：x1与x轴的交点为K，过点K的直线l与抛物线C交于A，B两点.(1)求抛物线C的方程；(2)点A关于x轴的对称点为D，证明：存在实数t(0,1)，使得eq o(KF,sup6()teq o(KB,sup6()(1t)eq o(KD,sup6().(1)解因为抛物线C：y22px(p0)的准线为直线L：x1，所以eq f(p,2)1，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明易知点K的坐标为(1,0)，据题意可设直线l的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x

33、2，y2).联立eq blcrc (avs4alco1(xmy1，,y24x)整理得y24my40，所以16m2160，得m21，故eq blcrc (avs4alco1(y1y24m，,y1y24.)因为点A(x1，y1)关于x轴的对称点为D，所以D(x1，y1).则直线BD的方程为yy2eq f(y2y1,x2x1)(xx2)，得yy2eq f(y2y1,my21my11)(xx2)，得yy2eq f(y2y1,my2y1)(xx2)，即yy2eq f(4,y2y1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(yoal(2,2),4).令y0，得0y2eq f(4,y2y1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(yoal(2,2),4)，得xeq f(yoal(2,2),4)y2eq f(y2y1,4)eq f(yoal(2,2)yoal(2,2)y1y2,4)eq f(y1y2,4)eq f(4,4)1.所以直线BD恒过定点(1,0).所以点F(1,0)在直线BD上，所以不妨令eq o(DF,sup6()teq o(DB,sup6()(t(0,1).因为eq o(KF,sup6()eq o(KD,sup6()eq o(DF,sup6()，所以eq o