长安大学2011数值分析原理试题卷及答案

1、长安大学2011-2012学年第一学期研究生数值分析原理试题(A)卷说明：1.试题共9道大题、共2页。考试时间两个小时，可带计算器。所有答案都写在答题纸(试卷)上，否则无效。一.(本题满分8分)给定方程x2+ x - 2 = 0 , x e 0,2，采用迭代公式x = x + c(x2 + x 一 2) , (k = 0, 1, 2,)求其根:+ !问当常数c为何值时，迭代法收敛？又当c为何值时，迭代法收敛最快?解：x * = 1，中(x) = x + c (x2 + x 一 2),中(x) = 1 + c (2 x + 1)，3 分一 2+ c(2 + 1) = 3c + 1 1 ,即-一

2、c 0 时，线性收敛;3当 e(1) = 0，即c = -L 时，3收敛最快。f 1 f (x) dx，当 M = 1/8 及 M = 1/32，用 11 点的 复化辛普森(Simpson )求积公式求1的截断误差为RJ f ，用n个节点的复化梯形 求积公式求I的截断误差为册f ，要使R f R f ，n至少是多少？ If(x) , M = max |f(4)(x) 4b - a 1 h1 =奇=言,(本题满分8分)对于定积分I =(M 2 = max解：n = 10Tx e 0,1Rs f Rt f | =b 一 a 福& h14 f (4)(n 2)b - ah2 f)121当 L h 2

3、 . 1 L .上,128180 104 3211801041 , 322分1 -h2 -1282分h I10 -2 ,602分n - 1 = 1 N *60 100 = 774.5 9，取n = 776。h.(本题满分12分)设计一种求I =f1 exxndx ( n为非负整数)稳定的递推算法，包2分括递推公式、初值的确定;当初值I = e时，利用上述稳定的递推公式计算三202 2 1个连续的积分值。解：I = f 1 exxndx = exxn n 0利用I递推计算求In 一 1n个稳定算法；而利用递推公式：In 一 11 - nf 1 exxn-1 dx = e - nI ，2 分时，每

4、次计算将I 的误差放大n倍，因而该算法不是一 - 1 I ,利用I递推计算求I时，每次计 n n nnn -1算将I的误差缩小n倍，因而该算法是一个稳定算法；一3分由于 =f 1 xndx I = f 1 exxndx 0，建立高斯型求枳公式j h-hx2f (x) dx A f (x ) + A(xg , g ) j x 2f (x2.xdx）。0=0.1 3260，当I2000-I 18四.（本题满分.I = 0.1 4346。h-hx2 dxn较大时，可取该区间内的任1T(g1,g 1)(g L g(g 0, g 0)令 g2(x) = 0，jh- hhx2.x2dx-hhx2.x2dx

5、一jh 2/=x2 dx-hx2 . x . x2 dx)g1 - p0g0得高斯点:x24分x 一 x 2x2x -rx 一 x21j h x2 .-h高斯型求积公式为：j h x2 f (x)dxdxdx另解:解得：4分12h ,2 hf (x) = 1, A + A = j x2 dx =hf (x) = x, A x + A x = j x2 . xdx = 01 12 2,-hf (x) = x2, A x2 + A x21122x = - x124分jh-hx2.x2dx =x3, A x3 + A x3 =1122=.h，j h x2 . x3 dx = 0 -h4 分 A =

6、A4分五.(本题满分12分)给定方程组x + 2 x - 2 x = 5 x + x + x = 1x + 2 x + x = 3 TOC o 1-5 h z 1123(本小题满分6分)用三角分解法解此方程组;(本小题满分6分)写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始1112-2 -解：1) L =1 1，U =-13,2分2 2 1_- 1 _向量 x = (0,0,0) T , 0当虹1 - xjl 10 -2时，求其解。 TOC o 1-5 h z L Y = Z的解为：y = 5, y = -4, y = 1 ; 2 分U X =幺的解为：x = - 1, x = 1, x

7、= 1。2 分2)雅可比迭代公式3：21+5213x (k +1 j-2 x k(2、301-221B =-10-1J-2-20X=0,P (B)=x k (2x( k + 1 J1x( k + 1 J-2 x k( + 2 x k (x k( x k ( +,|x E - Bj1,2,3J0,+3(k = 0,1,2,;2分则雅可比迭代关于任意初始向量x(0)收敛。x = (0,0,0)T 时，可算得：x01x 3 = (1,1, - 1) T , x 4 = (1,1, - 1)六.(本题满分12分)给定方程3 x 2 - e=(5,1, 3)T2分2分,x = (9, -7, -9)t

8、,3,4构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根(含迭代公式、初值取何值 或何区间，迭代法收敛的原因)；构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根(含迭代公式、初值取何值 或何区间，迭代法收敛的原因)。解：1)中(x) = ln(3 x2), 0f (x) = 6x - ex 0 , f(x) = 6 - ex 0 取初值x0 = 3时，牛顿迭代法：3x2 - exkk+1 k 6 x - e 收敛，且二阶收敛：xk3分2分2分)对于任意初值x e 3, 4收f (4) 0，x e 3,4;012(e ,e ) = 1/2 ,(e , e ) = 1 / 3 , (e , e ) = 1

9、 / 4 , (e , e ) = 1 / 400010211(e ,e ) = 1/5,(e ,e ) = 1/6，12221兀11(e , f) = ln 2，(e , f) = 1 - 一，(e , f) = 一一一m2 ;0214222(取权函数p (X) = x)。解：取中(X) = 1，中(X) = X，中(X) = X2，可算得:正规方程组为:1/21/31/4-c 1001/ 2 In 211/31/41/5c1cL 2=1一兀/ 4，9分1/41/51/6 _1/2-1 / 2 ln 2解得：c=0.10854，c1=0.0561，c =2-0.3301 ;3分( f , f

10、 )=1，41分平方逼近误差：七.(本题满分15分)求f(x)=在区间0,11 + x 2上的二次最佳平方逼近多项式，以及平方逼近误差s 2 = (f , f )- c e00八.(本题满分15分)f -) c e 2 f0.2243。2 分1)已知f (x)的如下函数值：f (0) = 1 ,f=3 , f (3) = 5 ;写出二次拉格朗日插值多项式L2(x); 若同时已知：f，=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式Hx);当 1 |f (x) 2 及3 |f (4)(x) 0), f (x)的三阶导数连续，证明 TOC o 1-5 h z 1h 2“f (X ) = - f (X ) +

11、 f (X ) - f (C )12 h 026其中：(X , X )为中值。证明：过(x , y )，(x , y )，(x , y )的插值多项式 001122(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )L (X) =12 f (X ) +0 L f (X ) +01 f (X )2(X - X )(X - X )0(X - X )( X - X )1(X - X )( X - X )2010210122021(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )=1h f (X )0

12、h f ( x ) +0f (X )；2 h 20h 212 h 22L ( x ) = |- f ( x + f ( x ,) -1 分 212 h02而 f ( x ) - L ( x )=( x - x )( x - x )( x - x ) ;1 分23 !012其中：门e (x , X )为中值，与x有关；f (X ) - L ( x ) = (X - x )(X - x )(X - X );1 分1213 !012 X=X1h 2即有 f(X ) = 一- f (X ) + f (X ) -一 f(C )，1 分12h026其中：C e (x0, X2)为中值。附：计算中可能用到的部分公式:1.首项系数为1的正交多项式的递推公式: g 1