钢管下料优化问题

1、EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY数学建模论文原料钢管下料的非线性优化模型学院:数学与信息科学学院 专业:信息与计算科学 组员：09102114 吴珍09102109 董晓旭 指导老师:熊思灿日期：2011年4月20日原料钢管下料非线性优化模型摘要本文研究了原料钢管如何下料（切割）使得其总费用最少的问题，建模时主要考虑如何根据顾客的不同需求对原料钢管下料（切割）使得其总费用及余料浪费最少。在一段时期内，每根原料钢管的购价稳定，不妨假设每根原料钢管的价值为1。根据题意，本文为关于钢管下料的优化问题，因此本文建立了整数非线性规划模型，运用LINGO软件求解模型，获

2、得对原材料钢管的最佳下料方案。通过求解获得了最优方案，结果表明，只需使用三种切割模式切割原料钢 管，共需原料钢管19根。模式一所需原料钢管为14根，模式二所需原料钢管为 4根，模式三所需原料钢管为1根。每种切割模式下切割成290mm、315mm、 350mm、455mm的钢管根数如下表所示：钢管下料最优表290mm钢管根数315mm钢管根数350mm钢管根数455mm钢管根数需原料钢管根数模式一120214模式二00504模式三20121关键词：钢管下料总费用最少整数非线形规划切割模式1问题重述钢管零售商从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是一定的，而顾客需求的 钢管长度多样，因此零售商必须将钢

3、管按顾客的需求切割后售出。现有一零售商 从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都为1850mm，有一客户需要15根290mm、 28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使 用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料 钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的 2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下切割次数不能太多，规定一根原 料钢管最多生产5根产品，此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪 费不超过100mm。根据以上约束条件，求解一个最优下料模型，使得总费用最少。2问题分析对于下料问题

4、首先要确定采用哪些切割模式，所谓切割模式，是指按照顾客 要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。于是问题化为在满足客户需要的 条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所 谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管 的总根数最少。如果按照以上的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些切割模式 是合理的，并从中选出不超过4种模式，但是这种方法比较复杂。所以我们选择 建立整数非线性规划模型分析求解，同时确定切割模式和切割数量，。钢管进行切割后售出，为取得最大的经济效益要求总费用最少，而在进行切 割时，一个合理的切割模模型应尽可能地减少余料浪费（题中

5、给出要求为每根原 料钢管浪费量不能超过100mm）。对要求的四种切割模式进行假设（为缩小可行解的搜索范围可直接假设 x1=x2=x3=x4）,根据题目对模型中提出的各种要求将假设的数据进行约束， 用LINGO11程序求出最优解，并将求出的最优解代入问题进行验证。3模型假设在加工钢管时机器正常工作，垂直切割且按所要求的规格切割。零售商从钢管厂进货时所获得的钢管均为合格品。加工的钢管不考虑因摩擦或加热而引起的变形，即所加工的钢管都是令 人满意的。余额不进行循环加工使用。忽略钢管切割处的废屑。每根原料钢管的价值稳定。4符号假设Xi：按照第i种模式，原料钢管被切割的根数。Ai：第i种模式下，每根原料钢

6、管中切割为290mm规格的钢管根数。Bi：第i种模式下，每根原料钢管中切割为315mm规格的钢管根数。Ci：第i种模式下，每根原料钢管切割为355mm规格的钢管根数。Di：第i种模式下，每根原料钢管切割为450mm规格的钢管根数。Li:顾客所需钢管规格（L1=290mm, L2=315mm, L3=350mm，L4=455mm）附加说明：i取1，2，3, 45模型建立l、决策变量规定所使用的切割模式种类不能超过四种，额外切割费用根据所使用的模式 频率变化。可用Xi（i=1、2、3、4）来表示第i种模式下切割原料钢管的根数，显然它 们为非负整数。并用ai，bi，ci，di （非负整数）表示第i种

7、模式中每根原料钢管切 割为290mm,315mm,350mm和455mm规格的钢管数量。II、决策目标由于不同切割模式不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原 料钢管价值的二增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的二增加 费用，依次类推。为方便求解，在此假设原料钢管费用为单位1,于是以总费用最 小为目标，即min z=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4m、约束条件（1）为满足客户对不同规格的钢管根数的数量需求，应有：V xi*ai 15J xi*bi 28xi * ci 21xi*di 30:i = l（2）每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量

8、不能超过1850，也不能少于1750 （余料不能大于100），于是1850 NL1*ai+L1*bi+L3*ci+L4*di1750i=1,2,3,4（3）每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多可生产5根产品，故有以下约束：ai+bi+ci+di x2x3 Nx4（5）原料钢管的根数不可能少于=19 （根）考虑一种最浪费的生产计划：若只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6 根290mmm钢管，而每种切割模式下的切割次数不能多于5次，所以一根原料钢 管切割成5根290mm的钢管，而为满足15根2 90mm钢管的需求，则需要切割3根 原料钢管；若只产生315mm钢管，一根原料钢管可

9、切割成5根315mm钢管，而为 满足28根315mm钢管的需求，则需要切割6根原料钢管；若只产生355mm钢管， 一根原料钢管可切割成5根355mm钢管，而为满足21根355mm钢管的需求，则需 要切割5根原料钢管；若只产生4 50mm钢管，一根原料钢管可切割成4根4 50mm 钢管，而为满足30根450mm钢管的需求，则需要切割8根原料钢管。因此，共需 3 + 6+5 + 8=22根原料钢管，所以有：19 x1+x2+x3+x4 15 xi*bi 28 xi * ci 21 xi * di 301750 LI* ai- Ll*bi-L3* ci-L4* di 1S50ai bi ci di

10、x2 x3 x419 xl-x2 -x3 -x4 15315mm 的钢管有：2x14 = 28 28350 的钢管有：5x4 + 1x1 = 21 21455 的钢管有：2 X 14 + 2 X 1 = 30 30第一种切割模式下余料：1850 - (1 x 290 + 2x 315 + 2x 455)= 20 100第二种切割模式下余料：1850 - 5 x 350 = 100 100第三种切割模式下余料：1850 -(2x 290 + 1 x 350 + 2x 455 )= 10 100 由检验结果可知，模型求解结果满足题中的约束。参考文献1理科爱好者：教育教学版2009年第4期,丁勇.肖

11、华勇，实用数学建模与软件应用，西北工业大学出版社,2010,8.附录1:钢管下料总费用最小问题的Ling o总程序代码:model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;a1+b1+c1+d1=5;a2+b2+c2+d2=5;a3+b3+c3+d3=5;a4+b4+c4+d4=5;290*a1+315*b1+350*c1+455*d1=1850;290*a2+315*b2+350*c2+455*d2= 1850;290*a3+315*b3+350*c3+455*d3= 1850;290*a4+315*b4+350*c4+455*d4=1750;290*a2+315*b

12、2+350*c2+455*d2= 1750;290*a3+315*b3+350*c3+455*d3= 1750;290*a4+315*b4+350*c4+455*d4= 1750;a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4=15;b1*x1+b2*x2+b3*x3+b4*x4=28;c1*x1+c2*x2+c3*x3+c4*x4=21;d1*x1+d2*X2+d3*x3+d4*x4=30;x1=x2;x2=x3;x3=x4;x1+x2+x3+x4=19;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(a1);gin(a2);gin(a3);gin(a4);gin(b

13、1);gin(b2);gin(b3);gin(b4);gin(c1);gin(c2);gin(c3);gin(c4);gin(d1);gin(d2);gin(d3);gin(d4);end附录2：Local optimal solution found.Objective value:21.50000Objective bound:21.50000Infeasibilities:0.000000Extended solver steps:104Total solver iterations:8521VariableValueRow Slack or SurplusX114.00000X24.000000X31.000000X40.000000A11.000000B12.000000C10.000000D12.000000A20.000000B20.000000C25.000000D20.000000A32.000000B30.000000C31.000000D32.000000A41.000000B42.000000C40.000000D42.000