章末复习提升课

1、章I末I演I练.轻松闯关击破 练透 升华A基础达标1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是 由（）A. 一个圆台、两个圆锥构成B.两个圆台、一个圆锥构成C.两个圆柱、一个圆锥构成D. 一个圆柱、两个圆锥构成 解析：选D.旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，应选D.2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45。，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. 2+/2B. 2C.C.2+啦2D. 1+也解析：选A.如图，恢复后的原图形为一直角梯形,所以 S= (1+2 +1)X2 = 2+啦.应选 A.轴截面是正三角形的圆锥称作等

2、边圆锥，那么等边圆锥的底面积是侧面积的 ()B, 31A4解析：选C.设底面半径为广，那么等边圆锥的母线长为/=2厂，S欣=兀户，Sm=/=冗义2=2兀户, 所以能1 =4 .应选 C.3M ，兀厂 Z.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍技”（chumeng）是指底面为矩形, 顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEB是一个刍薨，其中BCR是 正三角形，AB=2BC=2EF,以下两个结论：AB/EF,8凡1_七。.那么（ ）A.和都不成立B.成立，但不一定成立C.不成立，但成立D.和都成立解析：选B.因为A8CD, CQ在平面CDE/7内，A8不在平面CDE/7内，所以43平面。ER

3、又EF在平面内，由A5在平面A3PE内，且平面 ABFEC平面CDEF=EF,所以A5ER 故对；如图，取CO中点G,连接 BG, FG,由 AB=CD=2EF,易知 DEGF,且 DE=GF,不妨设 EF=1,那么 BG=y12 BC=y2 EF=y/2 ,假设BRIEQ,那么B/+FG2 = BG2,即1+%2 = 2,即R7=l,但尸G的长度不 定，故假设不一定成立，即不一定成立.应选B.5.在等腰直角三角形48C中，B=BC=, M为4c的中点，沿8M把它折 成二面角，折后A与C的距离为1,那么二面角CBM-A的大小为（）A. 30B. 60C. 90D. 120解析：选C.如下图，由

4、A7?=8C=1, N4BC=9（）。，得4。=啦.因为M为AC 的中点，所以 MC=4M=4 ,且 CM_L8M, AMJL8M.所以NCAM 为二面 S角 C-BM-A 的平面角.因为 AC=1, MC=AM=y-,所以/CMA=90。.B.如图，正三棱柱ABC-AliCi的所有棱长均相等，。为4G的中点，那么直 线AD与平面BQC所成角的正弦值为解析：如图，连接SD,因为三角形481G为正三角形，那么BiQ_LAiG.又平面AiBiCj 1平面AG.交线为4G，BiOu平面AiBCi，那么8Q_L平面4G，过A点作 AG_LC。，那么由BiOl平面ACi，得AGJ_8i。，由线面垂直的判

5、定定理得AGJ平面BiQC,于是NAQG即为直线4。与平面810 c所成角，由，不妨令棱长为2,那么可4CXA41 4a/s得八。=小 =CD,由等面积法算得4G= 八=一步，所以直线A。与平A(Z 4面DCB1的正弦值为亦=7 : rLJ D.如图，在一个底面边长为4 cm的正六棱柱容器内有一个半径为2小 cm的铁 球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，假设将铁球沉着器中取出，那么水面 卜降 cm. TOC o 1-5 h z 4r-r-解析：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积V=? X71X(2小)3 = 32/3兀(cm3), 水面高度为473，此时正六棱柱容器中水的体积为弘=牛 X

6、42X6X43 一 32小 n=(288-32V3 n)(cm3),288 3。13式假设将铁球沉着器中取出，那么水面高度仁一24b 兀=(4#7t)(cm),那么水L L 444面下降4审 一(4小 17t)=(兀)(cm).故答案为171. 4答案：兀.直二面角a-/, Aea, AC11,。为垂足，B, BDA.L。为垂足.假设 48=2, AC=BD=t那么。到平面A8C的距离为.解析：如图，作OEJ_BC于点E,由a-/为直二面角，ACZ,得ACJ_4，进而AC_LO又 3C_LOE, BCCAC=C,于是OE_L平面ABC,故OE为。到平面ABC的距离.在RtZBCO中，利用等 面

7、积法得。E=丝卷=半.套案.如图，平面以8_1_平面A8C,平面B4C_L平面ABC, AE_L平面P8C, E为垂 足.(1)求证：见_L平面人3C；(2)当石为P3C的垂心时，求证：3c是直角三角形.p证明：(1)如图，在平面ABC内取一点。，作_LAC于点立DGLAB于点、G.因为平面以C_L平面A8C,且交线为AC,所以。1.平面C又因为以u平面以C,所以。/_L必.同理可得。G_L心.因为OGnOR=Q,所以%_L平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点、H.因为E是/XPBC的垂心，所以PC1BH.又因为AEJ_平面尸BC, PCu平面PBC,所以AEJ_PC.因为AEGB=E,

8、所以 PCJ_平面ABE.因为ABu平面ABE,所以尸CJ_AB.又因为3_L平面ABC, ABa 平面ABC,所以以J_AB.因为以nPC=P,所以ABJ_平面以C.因为ACu平面以C,所以A8L4C,即ABC是直角三角形.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面心。是正三角形，且与底面A3CO垂直, 底面A8CO是边长为2的菱形，/BAD=60。, N是P8的中点，E为AO的中点, 过A, D, N的平面交PC于点M求证：EN平面PQC；(2)BCL平面 PEB；(3)平面 PBC_L平面 ADMN.证明：(1)因为AO3C, BCu平面尸BC,A/Xt平面 PBC,所以AO平面PBC.又平面A

9、OMNA平面PBC=MN,即以 ND/MN.又因为AO3C,所以MNBC.大因为N为PB的中点，所以历为PC的中点.所以MN=3 BC.因为E为A。的中点，DE=； AD= BC=MN,所以DE比MN.所以四边形QENM为平行四边形.所以 EN/DM.又因为ENQ平面PDC, OMu平面POC,所以&V平面PDC.(2)因为四边形A8CO是边长为2的菱形，且/84。=6()。，E为A。中点, 所以BELAD.又因为 PE_LAO, PECBE=E,所以4O_L平面PEB.因为AOBC,所以8C_L平面PEB.(3)由知ADYPB.又因为且N为PB的中点，所以 AN_LP8.因为AOGAN=A,

10、所以P8J_平面AOMN.又因为PBu平面PBC,所以平面尸BCJ_平面ADMN.B能力提升.直线/，/和平面满足Ila, mup,以下命题：m；a/i =/_Lw；/_Lz=a4；1 m0a 上生其中正确命题的序号是()A.B.C.D.解析：选D.由图可知，命题不正确;因为a仇 mu, 所以力7（zg,且机, 又因为/_La, 所以/_L，那么/_L“，故命题正确: 假设04=7,由图可知，命题不正确;因为/6，/a, 所以a,又因为mu6 所以a_L夕，故命题正确.应选D.12.如图，在四面体A8CD中，截面PQMN是正方形，那么在以下命题中，错误的为（）AC1BDAC截面QMNAC=BD

11、D.异面直线PM与8。所成的角为45。解析：选C.因为截面尸QMN是正方形，版以PQ/MN, QMPN,那么尸。平 面 AC。，QM平面 4D4,所以 PQ/AC, QM/BD,由 PQLQM 可得 ACVBD,故 A 正确；由 PQ/AC 可得4c截面PQMN,故B正确；异面直线PM与8。所成的角等于PM与QM 所成的角，即为45。，故D正确；综上C是错误的.应选C.13.（多项选择）在长方体ABCO-AiSCQi中，A4=AB=4, BC=2, M, N分别为棱 CiDi, CG的中点，那么以下说法正确的选项是（）A, M, N, B四点共面5N平面 40MC.直线BN与所成的角为60。D

12、.平面平面CDDiG解析：选CD.对于A, 4, & M在平面ABCiOi内，N在平面ABCi。外，故A 错误；对于B,假设BN平面ADM,又BC平面AOM,那么平面BCCiB平面AOM, 而平面BCGBi平面A。明”矛盾，故B错误.对于C,如图，取CD中点E,连接BE, NE,可得BEBM, NE8N为直线BN与BM所成角， 由题意可得ABEN为等边三角形，那么NEBN=60。，故C正确；对于 D,在长方体 ABCO-AiBiGQi 中，4。_1_平面。1，AQu平面 ADW, 所以平面ADM_L平面CO9G,故D正确；应选CD.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几

13、何体, 该正三棱锥的底而三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，那么被挖去的正 三棱锥体积为.解析：由题意，这种螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥尸-A3c 构成的几何体，该正三棱锥P-ABC的底面三色形ABC内接于半球底面的大圆， 顶点P在半球面上，设BC的中点为。，连接AO,过点P作尸0_L平面ABC,交4。于点0,那么 A0=P0=R=2, AO=3, AB=8C=2小，所以X25 X3 = 3小，所以挖去的正三棱锥的体积为V=| Sabc - P0= X3小 X2=23 .答案：23C拓展探究.如图，在直角梯形 A8CO 中，AD/BC, NZM=90。，AB=BC= AD= 小E是4。的中点，O是AC与酩1的交点，将A5E沿折起到图中43E 的位置，得到四棱锥4-BCDE.(1)求证:。_1_平面4。(7；(2)当平面平面8CQE时，四棱锥4-8CQE的体积为366，求。的值.解：证明：在题图中，因为AB=BC=； A)=a, E是AO的中点，ZBAD =90,所以 8E_LAC, B