2022年三角函数恒等变换教案

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标 懂得以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式 的方法,体会三角恒等变换特点的过程,懂得推导过程,把握其应用 . 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的敏捷运用 . 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：（一）复习式导入： 大家第一回忆一下两角和与差的余弦公式：coscoscossinsin；coscos cossinsin这是两角和与差的余弦公式,下面大家摸索一下两角和与差的正弦 公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可

2、以实现正弦、余弦的互 化,这对我们解决今日的问题有帮忙吗？让同学动手完成两角和与差正弦和正切公式. EMBED 让.sincos2cos2cos2cossin2sinsincoscossinsinsinsincoscossinsincoscossin同学观看熟识两角和与差正弦公式的特点,并摸索两角和与差正切公式（同学动手）tansinsincoscossintan、tan的形式呢？coscoscossinsin通过什么途径可以把上面的式子化成只含有（分式分子、分母同时除以coscos,得到tantantan1tantan留意：2k,2k,2kkz 以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两

3、角差的正切公式 呢？tantan2k,2tantankktantan1tantan1tantan留意：k,2z （二）例题讲解例 1、利用和（差）角公式运算以下各式的值：（1）、sin72 cos42cos72 sin42；（2）、cos20 cos70sin20 sin70；（3）、1tan151tan15 解：分析：解此类题第一要学会观看,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. 01（1）、sin72 cos42cos72 sin 42sin 7242sin302 ；（2）、cos20 cos70sin20 sin70cos 2070cos90；（3）、

4、1tan15tan45tan15tan 4515tan6031tan151 tan45 tan15.例 2 已知cos1,cos3,求tantan的值55例 3、化简2 cosx6sinx解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我 们能否发觉规律呢？2 cosx6 sinx2 21cosx3sinx22 2 sin 30 cosxcos30 sinx2 2 sin 30 x22摸索：2 2是怎么得到的？2 2262,我们是构造一个叫使它13的正、余弦分别等于2 和2 的. 小结： 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发觉规律,学会

5、敏捷运用 . 作业：1、 已知tan42,tan341 , 4 求tan,sin354 的值（22 ）,cos43352、 已 知045413 , 求sin的值二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,懂得推导过程,把握其应用 . 二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的懂得及其敏捷运用 . 三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家第一回忆一下两角和的正弦、余弦和正切公式,sin sin cos cos sin；cos cos

6、 cos sin sin；tan tan tan1 tan tan我们由此能否得到 sin 2 ,cos2 , tan2 的公式呢？（同学自己动手,把上述公式中 看成 即可）,（二）公式推导：sin 2sinsincoscossin2sincos ；cos2coscoscossinsin2 cossin2；摸索：把上述关于cos2 的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？cos2cos2sin21sin2sin212sin2；cos22 cossin22 cos2 1 cos2 2cos1tan 2tantantan12 tan21tantantan留意：22k,2kkz（三）例题讲解

7、sin 2 5 , ,例 4、已知 13 4 2 求sin 4 ,cos 4 ,tan 4 的值, 2解：由 4 2 得 22又由于 sin 213 5,EMBED cos2 1 sin 2 2113 5 1213 5 12 120sin 4 2sin 2 cos2 2于是 13 13 169 ；120cos4 1 2sin 22 1 2 5 2119 tan 4cos4 sin 4119 169 12011913 169 ；1691tan 2 ,例 5、已知 3 求 tan 的值2tan 1tan 2 2 2解：1 tan 3 ,由此得 tan 6tan 1 0解得tan 2 5或 tan

8、2 5 （四）小结： 本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发觉规律,学会敏捷运用 . 2 2 2sin ,cos ,tan例 6、试以cos表示 2 2 2 2 2cos 2cos 1 cos 1 2sin解： 我们可以通过二倍角 2 和 2 来做此题由于cos212sin22 ,可以得到sin221cos；2由于cos2cos221,可以得到2 cos21cos2tansin221cos2cos21cos又由于2摸索：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换,由于 不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,

9、而且仍会有所包含的 角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换经常首 先查找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特 点例 7、求证：（）、sincos1sin2sin；2（）、sinsin2sincos2是我们所学习过的学问,因此我们证明：（）由于sin和sin从等式右边着手sinsincoscossin；sinsincoscossin设两式相加得2sincossinsin；2sincos ；即sincos1sinsin；2sinsin（ ） 由 （ ） 得,sin2sin2cos2那么2,2把,的值代入式中得sin摸索：在例证明中用到哪些数学思想？证明中用到换

10、元思想, （）式是积化和差的形式,（）式是和差化积的形式,在后面的练习当中仍有六个关于积化和差、和差化积的公 式例 8、求函数ysinx3 cosx 的周期,最大值和最小值2解：ysinx3 cosx 这种形式我们在前面见过,ysinx3 cosx21sinx3cosx2sinx3,22所以,所求的周期T22,最大值为,最小值为点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数yAsinx的性质讨论得到延长,表达了三角变换在化简三角函数式中的作用小结：此节虽只支配一到两个课时的时间,但也是特别重要的内容,我 们要对变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认 识,学会敏捷

11、运用总结：1公式的变形（1）升幂公式： 1cos2 2cos 21cos2 2sin 2（2）降幂公式： cos 2 1cos22 sin 2 1cos22（3）正切公式变形： tan +tan tan + （1tan tan ）tan tan tan （1tan tan （4）万能公式（用 tan 表示其他三角函数值）2tan 1tan 2 2tansin2 1+tan 2 cos2 1+tan 2 tan2 1tan 22插入帮助角公式asinxbcosx= a 2+b 2 sinx+ tan = b a 特别地： sinx cosx2 sinx 4 3熟识形式的变形（如何变形）1 sin

12、x cosx 1 sinx 1 cosx tanxcotx 1tan 1tan1tan 1tan如 A、B 是锐角, A+B 4,就（ 1tanA）1+tanB=2 4cos cos2 cos2 2 cos2 n = sin2 n+12 n+1sin在三角形中的结论（如何证明）如：ABC=A+B+C=22tanAtanBtanC=tanAtanBtanC tanA 2 tanB 2tanB 2 tanC 2tanC 2 tanA 21 9求值问题（1）已知角求值题 如： sin555（2）已知值求值问题 常用拼角、凑角如： 1）已知如 cos 4 3 5,sin 3 4 5 13 ,又 4 3

13、 4 ,0 4 ,求 sin ；2）已知 sin +sin =3 5 ,cos +cos =4 5 ,求 cos 的值；（3）已知值求角问题必需分两步： 1）求这个角的某一三角函数值；2）确定这个角的范畴；如：已知 tan = 1 7 ,tan = 1 3 ,且 都是锐角,求证： 2 1. （2022 全国卷 1 理）2 记cos 80 k , 那么 tan100 4A.1kk2 B. -1kk2 C. 1kk2 D. -1kk22. 已知0 x2,化简：lg2 cos x2lg1 sin2 . lgcosxtanx12sin2x2解析：原式lgsinx cosxlgcos x sin xlg

14、sin x cosx2 03. （2022 天津文）（17）（本小题满分 12 分）在ABC中,ACcosBABcos C ；（）证明 B=C：（）如cosA=-14B3 的值；3 ,求 sin【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础学问,考查基本运算才能 . 满分12 分. （）证明：在ABC 中,由正弦定理及已知得Csin BcosBsin C =cosC. 于是sinBcosC-cosBsinC=0 ,即 sin （B-C）=0. 由于B,从而 B-C=0. 所以 B=C. （）解：由A+B+C= 和（）得A= -2B, 故 co

15、s2B=-cos （-12B）=-cosA=3 . 又 02B , 于是 sin2B=1cos 2B =2 2. 3从而 sin4B=2sin2Bcos2B=4922 cos 2,cos4B=B2 sin 2B7. 9所以sin4B3sin 4Bcos3cos4Bsin34 27 3184. （2022 湖北理） 16 （本小题满分 12 分）已知函数 fx=cos3x cos3x g x 1sin 2 x124（）求函数 fx 的最小正周期；（）求函数 h（x）=fx gx 的最大值,并求使 hx 取得最大值的 x的集合；5. （2022 江苏, 15）设向量a 4cos ,sin , b

16、sin ,4cos , c cos , 4sin （1）如a与 b 2 c 垂直,求tan 的值；（2）求| b c 的最大值 ; （3）如tan tan 16,求证： a b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能A 1, sinB=力；6. （2022 安徽卷理）在ABC中,sinC13 . （I ）求 sinA 的值；II设 AC=6,求ABC的面积 . 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关学问,考查运算求解才能；（）由CA2,且CAB,A4B,sinC cosB B2sinA

17、sin 4B2B cos2B sin 2,22sin2A11 sinB1,又sin A0,sinA3233AcosBACBCA （）如图,由正弦定理得sinBsinABCACsinA6133 2,又sinCsinABAsin3sinB332 261633333SABC1ACBCsinC163 263 2223,b1,2.7. （2022 湖南卷文）已知向量asin,cos2sin（）如a/ /b,求 tan 的值；（）如|a| |b|,0,求的值；解：（） 由于a/ /b,所以2sincos2sin,于是4sincos ,故tan1.4（）由|a| |b 知,sin2cos2sin25,所以1

18、2sin 24sin25.从而2sin 221 cos2 4,即 sin2cos21,于是sin2427知,42492 . 又由 04 ,24524所以4 ,或4 . 因此2 ,或3 . 48. （2022 天津卷理）在 ABC中,BC=5,AC=3,sinC=2sinAI 求 AB的值：4的值II 求 sin2A本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础学问,考查基本运算才能；满分12 分；AB BC（）解：在ABC中,依据正弦定理,sin C sin Asin CBC 2 BC 2 5于是 AB= sin A2 2 2AB AC BD 2 5（）解：在ABC中,依据余弦定理,得 cosA= 2 AB AC 51 cos 2 A 5于是 sinA= 54 3从而 sin2A=2sinAcosA=5 ,cos2A=cos 2A-sin 2A=52所以 sin2A-4 =sin2A