bootstrap方法对总体均值区间估计

1、1统计研究的目的和意义一般来说，涉及到对总体的均值进行区间估计，通常的方法是根据抽得的样本量大小来选择合适的统计屋，进而套用相应的公式来进行区间估计。通常进行区间估计时，总是把总体假设为止态分布，在此基础上利用相关理论和统计表进行推断。Bootstrap方法是一种在抽样的统计方法，也叫做自助法。该方法只依赖于给定的观测信息，不需要其他的假设，不需要增加新的观测。它借助计算机对原始样本资料进行重复抽样以产生一系列新”的样本，可以用于研究一组数据某统计量的分布特征，特别适用于那些难以用常规方法导出的对参数的区间估计、假设检验等问题。Bootstrap方法的基本思想是：在原始数据的范围内作有放回的再

2、抽样，对参数0进行估计,样本含量仍为n,原始数据中每个观察值每次被抽到的概率相等，为1/n,所得样本为Bootstrap样本，这样重复B次，就可以得到B个Bootstrap样本，然后进行统计分析。此方法可以提高小样本下对总体均值区间估计的精度。2数据的背景和结构数据来自某厂某种灯泡的寿命，已知其服从止态分布。先从一批灯泡中随机抽取16个，测得其寿命为：1510,1450,1480,1460,1520,1480,1490,1460,1480,1510,1530,1470,1500,1520,1510,1470o数据只有16个，属于小样本。常规方法对小样本进行总体均值区间估计误差可能会比较大。常规

3、的方法可以得到区间估计的结果为(X-ta/2(16-l)s/n,x+td/2(i6-l)s/n).另外将用三种Bootstrap方法对均值进行区间估计。S.Bootstrap方法区间估计的三种类型对置信区间进行估计主要采用标准Bootstiap,百分位数Bootstrap,t百分位数Bootstrap三种方法。标准Bootstrap方法假设从服从某分布的总体X中独立随机地抽取容量为n的样本xl,x2,x3,.,xno刘原始样本就行重复的又放回抽样，共有门力个可能的Bootstrap样本。対于每一个子样本求出的均值，都是总体均值的一个估计值。同时，样本均值与总体均值的分布相同。但是实际抽取中，n

4、F个样本对计算机的运行速度是一个非常大的挑战，在实际操作中，一班B取3000即可。但是考虑到后面的方法以来bootstrap样本的近似分布要求样本量尽量大，我将在最后的模拟中取B=10000oAA令X作为X的估计值，x(D表示第I个bootstrap样本得到的均值。A15AA|BAA则工）样本方差为Var（x）=工x（-讦，bt=l5JX=1AAAA由此得到总体均值的（1，）%置信区间为：XjjxVaiTXx+UirxvaiTX）.其中i-a/2是标准正态分布的l-a/2百分位数。（2）百分位数Bootstrap方法利用Bootstrap经验分布的第a/2和第1-a/2分位点是（1-a）置信水

5、平之下统计量的置信区间的上下限。具体如下：通过Bootstrap抽样，可以得到B个Bootstrap样本，将每个样本得到的样本均值按照从小到大的顺序排列，可以得到一组顺序TOC o 1-5 h zA统计量X：）,则第a/2和第l-a/2分位点分别是1-a置信水平下统计量X的置信区间的上下AA限，即X：,x*3。（紳（1岭）B）（3）t百分位数Bootstrap方法是在对百分位数Bootstrap方法进行改进得到的。通常此方法比百分位数bootstrap方法得到更精确的置信区间。进行bootstrap抽样，针对每个bootstrap样本计算t统计量：TOC o 1-5 h zAAXg）-XJ问（

6、X）将结果从小到大排列，得到顺序统计量t：）,当显著性水平为a时，第a/2和第1-a/2分位点分别为t：和t*.G可（1气）可A匚At*,厂则总体均值的置信区间为：X-勺可*庐而，X-心飞句*Jgr（x）。4模拟试验研究（1）使用常规方法，按照公式（X_td/2（6_i）s/n,x+切2（i&i）s/n）得到总体均值的置信区间为1477,1503,区间长度为26（2）使用标准bootstrap方法，该方法思路很清晰，可以使用matlab实现，取a=0.05,程序如下：functionyl,y2=bfunl（x,b）fori=lbfor尸k=randint(l丄16),xl(j)=x(k),en

7、dx2(i)=mean(xl),endx0=mean(x2),fori=l:bendp=sqit(sum(a)/(b-1),yl=x0-1.96*p,y2=xO+1.96*p,令抽样进行一万次,输入命令y1,y2=bfunl(x,10000),得到结果为:1476.3,1503.7,区间长度为264,较普通方法相比，精度没有提高。使用百分位数bootstrap方法，matlab程序如下：functionyl,y2=bfun2(x,b)fori=l:bforj=l:12k=randint(l,1,1,16),xlQK(k);endx2(i)=mean(xl),endx3=soit(x2),yl=

8、x3(0.025*b);y2=x3(0.975*b);运行一万次，输入命令yl,y2=bftin2(x,10000),得到结果为14767,1503.3,区间长度为26.6,相比以上两种方法，区间长度没有缩短反而稍微更长。使用t百分位数bootstrap方法，matlab程序如下：functionyl,y2=bfun3(x,b)fori=l:bforj=l:12k=randint(l,1,1,16),xlQK(k);endx2(i)=mean(xl),endx0=mean(x2),fori=l:bendp=sqit(sum(a)/(b-1),fori=l:bt(i(x2(i)-x0)/p,endq=soit(t),yl=x0-q(0O25*b)*pfy2=x0-q(0.975*b)*p;输入命令yl,y2=bfun3(x,10000),1到结呆为：14768,15035,区间长度为267.由此观之，最后一种优化过的bootstrap方法对区间估计的精度没有任何提高，反而精度有下降的趋势。反思：经过模拟试验，得到的结果不是文章中表