课件现代控制线性系统2

1、2.4线性定常连续系统的线性系统从一般意义来讲，是一类较简的系统。大量的实际系统都可在合理的精度求范围内，当作线性系统来对待。因此，它实用中很重要，2.4线性定常连续系统的线性系统从一般意义来讲，是一类较简的系统。大量的实际系统都可在合理的精度求范围内，当作线性系统来对待。因此，它实用中很重要，本节分析这类系统的运动特及其规律，并介绍了几种主要的解法，从而出现代控制理论中最重要的概念之一状态移阵状态方程的)状态方程变换法求解常用幂级数法幂级数法：设状态方程的解是t的向量幂级t (btxb012k中b ,b,状态方程的)状态方程变换法求解常用幂级数法幂级数法：设状态方程的解是t的向量幂级t (b

2、txb012k中b ,b,都是n维向量，则bb2t x12k) t b012k令上式等号两边t的同次项的系数相等，有b1 b2 b MAA 106b Akbkk!kk0M令上式等号两边t的同次项的系数相等，有b1 b2 b MAA 106b Akbkk!kk0M)且0，I AtA x12定义 I AteA 12Lk!k0称为状态转移矩阵，记为tx(tt)x(0)且0，I AtA x12定义 I AteA 12Lk!k0称为状态转移矩阵，记为tx(tt)x(0)例：已知系统的状态方程为1x1求状态方程的x(tt)x(0)000A例：已知系统的状态方程为1x1求状态方程的x(tt)x(0)000A

3、k IAt tL t keAk!21t2kk010t0k!21tt2t21 x0 t IAt tL t keAk!21t2kk010t0k!21tt2t21 x0 t At(1t 002)变换x(t& ) Ax( )边取拉氏变换SxAx ) s 0 x()A ( x)变换x(t& ) Ax( )边取拉氏变换SxAx ) s 0 x()A ( xx) 对上式进行拉氏反变换得 SI )状态转移矩阵为例：已知系统的状态方程为x求状态转移矩 tss1 1 状态转移矩阵为例：已知系统的状态方程为x求状态转移矩 tss1 1 SI ss s ss1 s(s 4(5)5 s ()55411 ss 54s s

4、s 4状态转移矩阵为 ss1 s(s 4(5)5 s ()55411 ss 54s ss 4状态转移矩阵为 SIA 14t20 tt2.状态转移矩阵的运算性) 1k k!t 具有如下的性质 tt2.状态转移矩阵的运算性) 1k k!t 具有如下的性质 &(t)AktkAA(IA tLL2 (kAk1tkAtL (k A(t) (t)(0)A &(t)AktkAA(IA tLL2 (kAk1tkAtL (k A(t) (t)(0)A 则Q (0I又也就&(t t(t1 t2)(t1)(t2)(t2)(t11(t) (t)1(t) (t1 t2)(t1)(t2)(t2)(t11(t) (t)1(t

5、) (t)x(t2)(t2 t1)x(t1(t2 t0)(t2 t1)t0(t)k(ktAB BA eAB)t eAteBt eBteAteAB)t eAteBt eBteAt若AB 若 (t是齐次状态方&(t) AB BA eAB)t eAteBt eBteAteAB)t eAteBt eBteAt若AB 若 (t是齐次状态方&(t) Ax(t)的状转移矩阵，则引入非奇异变x px 后状态转移矩阵(t) p1eAt ，那么原态方程的状态转移矩阵(t) e两种常见的状态转移矩设为对角A2On且有互异的特征值，则两种常见的状态转移矩设为对角A2On且有互异的特征值，则e2t(t)Oten(m设A

6、阵约当01OOA 10e2t(t)Oten(m设A阵约当01OOA 10则etet tetett2LetOettm20L(m2)!(t) Mtet et000 0则etet tetett2LetOettm20L(m2)!(t) Mtet et000 0例：求下列状态方程的解10 0 x 0 0et0e2t000(t) 状态转移矩e e3t e例：求下列状态方程的解10 0 x 0 0et0e2t000(t) 状态转移矩e e3t et0e2t00状态方程的解为：x(t 0 e3t 0已A 求：状态转移矩阵解0已A 求：状态转移矩阵解6 ( 例1 2 2 3 （特征值互异所以一定存在非奇异变换阵

7、p，使1A p1Ap变为对1 2 2 3 （特征值互异所以一定存在非奇异变换阵p，使1A p1Ap变为对角Api i求得对应的特征向量1p pp 123Api i求得对应的特征向量1p pp 123则1 52p ete3t e2teQ则1 52p ete3t e2teQ例：已6A2042(t)e求状态转移矩例：已6A2042(t)e求状态转移矩解5I A 1(1)2(2)：解5I A 1(1)2(2)：Ap1 11I A 即112P Ap1 11I A 即112P 1 3p711广义特征向(2I)21 3p711广义特征向(2I)21 22求p492493(3I A)p3 2 p3 21 31

8、 22求p492493(3I A)p3 2 p3 21 321则1p pp p123将A化为约当001 p0J 1e2t21则1p pp p123将A化为约当001 p0J 1e2t0例：已1A 10求状态转移矩(t)e例：已1A 10求状态转移矩(t)e 解该矩阵的特征方程 13因此，矩阵A有三个相重特征值=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义，将矩阵A变换为Jordan标准特征向量）。形的变换矩阵 解该矩阵的特征方程 13因此，矩阵A有三个相重特征值=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义，将矩阵A变换为Jordan标准特征向量）。形的变换矩阵010P11

9、12于是1001P11121 100:2tt 12ttet于是1001P11121 100:2tt 12ttette0即eAt=PJtt1tt20et2e 0100112111011t2et21t2et2t2et12 即eAt=PJtt1tt20et2e 0100112111011t2et21t2et2t2et12 t2ettet t2ettet t2et1212tet 3tet t2et2tet t2ett2et例已知状态转移矩2et e2tete2t(t)2e2tet2t试求1(t),A解：根据性质4， e2tet e2t2et例已知状态转移矩2et e2tete2t(t)2e2tet2t

10、试求1(t),A解：根据性质4， e2tet e2t2et1(t)(t)2et 2e2tet 2e2t而2et2e2t 2e2tet&A(t)t4e2tet 4e2ttt1 而2et2e2t 2e2tet&A(t)t4e2tet 4e2ttt1 补充作业已知1A03试求出矩阵指数（状态转移矩阵(t) e用不同的方法（1）拉氏变）（2）线性变化为约当补充作业已知1A03试求出矩阵指数（状态转移矩阵(t) e用不同的方法（1）拉氏变）（2）线性变化为约当3.状态方程的n x为n维向量，u为p维向量常矩阵，B常数矩(1)直接积分解x()txt()te等式两3.状态方程的n x为n维向量，u为p维向量

11、常矩阵，B常数矩(1)直接积分解x()txt()te等式两eAt&(t)Ax(t) eAtBu(t则eAt&(t) AeAtx(t) eAtBu(t即eAteAt&(t)Ax(t) eAtBu(t则eAt&(t) AeAtx(t) eAtBu(t即eAtx(t)eAtBu(t在0到t之间对上式进行积分，可ttA)dx(t) eeBud 00Aex)d00t x0 e)(d0e两边同乘得0)t(d0eAt 即为线性定常系统之状态转移矩阵 t 则上式可写t(Aex)d00t x0 e)(d0e两边同乘得0)t(d0eAt 即为线性定常系统之状态转移矩阵 t 则上式可写t( 0 x(0通过变量代换，

12、上式还可以表示tx t ( )()(d)0非状态方程的解，解中包含有系对初始状态(x 响应项和系统对输入的响应项通过变量代换，上式还可以表示tx t ( )()(d)0非状态方程的解，解中包含有系对初始状态(x 响应项和系统对输入的响应项Laplace解&状态方非的拉氏变换为（考虑初始条(x x( )( ( s )sI (x )上式等号两边：s)0A(对上式取拉氏反变换即得x( )( ( s )sI (x )上式等号两边：s)0A(对上式取拉氏反变换即得0 ) )L根据卷积定理有d0因0 ) e )xt (0tx t ( ()t()0根据卷积定理有d0因0 ) e )xt (0tx t ( ()t()0例10 11& 0 x1x(0) 0u(t)x(例10 11& 0 x1x(0) 0u(t)x(t)解：A为约当型矩et0eAte2t 0t e)d00et0eAte2t 0t e)d00e)t0tt000t