常微分方程2.3 全微分方程

1、 多元函数全微分的逆运算。可分离变量、解将方程写成左端是全微分式方程变成通解齐次方程。0)(d=xy2.3 全微分方程求解引例11.全微分方程的定义设是一个连续可微的二元函数,则若则有这是一大类可求解的微分方程.2则称 为全微分方程。 若连续可微的二元函数 使得 此时，全微分方程 的解为 3例如,下列方程都是全微分方程:因为函数的全微分就分别是这三个方程的左端,他们的解分别是4但并不是所有的方程都能方便地找到对应的的函数,或者这样的就不存在.所以我们有三个问题需要解决:(1)方程是否就是全微分方程; (2)若方程是全微分方程,怎样求它的解; (3)若方程不是全微分方程,有无可能将它转化为一个全

2、微分方程来求解?5是全微分方程的充要条件为:（2.3.3)证明：一.先证必要性2.方程为全微分方程的充要条件设是全微分方程,则有函数 使得 中连续且有连续的一阶偏导数，则 定理2.1 设函数 和 在一个矩形区域6故 成立。 故有 计算的二阶混合偏导数:由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数,从而有7二.再证充分性构造函数 满足 设 满足 取 待定，对上式关于y求偏导数得 在矩形R中取一点 令 是R的一个动点，8令 所有与 相差一个常数的函数都满足 则找到一个满足 的函数 这种方法称为线积分法.9例：验证方程是全微分方程，并求它的通解。3.全微分方程的积分由于 解：当一个方程是全微分方程

3、时,我们有三种解法.(1) 线积分法:或10故通解为其中为任意常数所以方程为全微分方程。11(2)偏积分法的通解.例：求方程由于 解：假设所求全微分函数为 ,则有 求 12而 即从而即13解: 偏积分法原方程的通解:练习14例：验证方程是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。 所以方程为全微分方程。 由于 解：由于 (3)凑微分法15方程的通解为： 利用条件 得 最后得所求初值问题得解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为16通解：解: 分组凑全微分法练习17解是全微分方程将左端重新组合原方程的通解：练习18一阶线性方程解整理:法一法二整理:练习19（1）偏积分法原方程的通解:20（2）凑

4、全微分法原方程的通解:21若一个方程不是全微分方程，我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。4.积分因子例:求方程解： 故该方程不是全微分方程,对该方程两边同时乘以后得:22由于利用凑微分的方法可得通解为:如果有函数使方程是全微分方程。则一个积分因子。称为方程的23 观察法凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式可选用积分因子24例:验证是方程 的积分因子,并求它的通解.解：对方程两边同乘以后得由于 故该方程是全微分方程,是一个利用凑微分的方法可得通解为:积分因子,25例:验证是方程 的一个积分因子，并求其通解。解：对方程有对方程两边同乘以 后，再利用凑微分法通解为:26 求方程解不是全微分方程.

5、将方程两端重新组合,观察法, 积分因子原方程练习27解将方程两端重新组合, 求方程不是全微分方程.积分因子,原方程的通解:练习28从上面的例子可看出,当确定了积分因子后,很容易求出其通解,但问题是:(1) 积分因子是否一定存在?(2) 如何求积分因子?这两个问题是十分困难的问题,一般来说无法给出答案,但对一些特殊的函数或方程是可以给出一些充分条件的.29定理2.2微分方程有一个仅依赖的积分因子得充要条件是:于有关； 仅与因子得充要条件是同理，方程有一个仅依赖于的积分仅与有关。 30即上式左端只与有关, 故右端也只能是的函数.反之, 若方程的右端函数仅与有关, 我们取证明:仅证第一部分. 不妨设

6、上式就是方程的一个积分因子, 故定理得证.31例：求微分方程 的通解。解：由于故它不是全微分方程。 利用积分因子的表达式得 又因为 它与无关。 由定理知，方程有一个仅与有关的积分因子。 32对方程两边同乘以积分因子 得 这是一个全微分方程。分组凑微分,得方程通解:33注: 积分因子是求解微分方程的一个重要方法,绝大多数方程的求解都可以通过这种方法来解决.但是求一个微分方程的积分因子比较困难,需要灵活的方法和技巧.34熟练记住下面的几个方程和其对应的积分因子例如: 当一个微分方程中出现时,函数都有可能成为其积分因子.35例. 求微分方程的通解.解: 因为所以方程不是全微分方程. 将方程的左端重新分组得:选择作为方程的积分因子.方程两边同时乘以方程的通解为36设微分方程左端可以分为两组, 即其中第一组和第二组各有积分因子和使得由于对任意可微函数和是第一组的积分因子,是第二组的积分因子,37例：求微分方程的通解。 解：将方程左端分组 前一组有积分因子和通积分 后一组有积分因子和通积分 如果能选取的和使得则就是方程的