因动点产生的直角三角形问题3剖析

1、1.3因动点产生的直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在RtAABC中，ZACB=90,AB=13,CD/AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F,/BAE的平分线交BC于点G.当CE=3时，求.込卩：caf的值；（2）设CE=x,AE=y,当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC=5时，联结EG,若AAEG为直角三角形，求BG的长.动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C运动，可以体验到，CG=2GB保持不变，ABC的形状在改变，EA=EM保持不变点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”,拖动E在射线CD上运

2、动，可以体验到，AAEG可以两次成为直角三角形.思路点拨第（1）题中的ACEF和ACAF是同高三角形，面积比等于底边的比.第（2）题中的ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论.满分解答如图2,由CE/AB，得=-.AFBA13由于ACEF与ACAF是同高三角形，所以S:S=3:13.CEFCAF如图3,延长AG交射线CD于M.图2CMCG由CM/AB,得二二2.所以CM=2AB=26.ABBG由CM/AB,得ZEMA=ZBAM.又因为AM平分ZBAE,所以ZBAM=ZEAM.所以ZEMA=ZEAM.所以y=EA=EM=26x.图3图4（3）在R

3、tABC中，AB=13,AC=5,所以BC=12.如图4,当ZAGE=90。时，延长EG交AB于N,那么AGE9AAGN.所以G是EN的中点.所以G是BC的中点，BG=6.FCFA如图5,当ZAEG=90。时，由CAFsMGF，得二FEFG由CE/AB,得FC=FB.FEFAFAFB所以=.又因为ZAFG=ZBFA，所以AFGsBFA.FGFA所以ZF4G=ZB.所以ZGAB=ZB.所以GA=GB.13作GH丄AH,那么BH=AH=2在R/GBH中，由csZB=醬，得BG=牛13=24图6图5考点伸展第（3）题的第种情况，当ZAEG=90。时的核心问题是说理GA=GB.如果用四点共圆，那么很容

4、易如图6,由A、C、E、G四点共圆，直接得到Z2=Z4.上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7,当ZAEG=90。时，设AG的中点为P,那么PC和PE分别是RtACG和RtAEG斜边上的中线，所以PC=PE=PA=PG.所以Z1=2Z2,Z3=2Z5.如图8,在等腰APCE中，ZCPE=1802(Z4+Z5),又因为ZCPE=180(Z1+Z3)，所以Z1+Z3=2(Z4+Z5).所以Z1=2Z4.所以Z2=Z4=ZB.所以ZGAB=ZB.所以GA=GB.图8图7例22014年苏州市中考第29题如图1,二次函数y=a(x22mx3m2)(其中a、m是常数，且a0,m0)的图像

5、与x轴分别交于A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C(0,3)，点D在二次函数的图像上，CD/AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分/DAE.(1)用含m的式子表示a；求证：AD为定值；AE设该二次函数的图像的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF.AD.AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.J/AV*Co图1动感体验请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y轴正半轴上表示实数m的点运动，可以体验到，点E、D、F到x轴的距离都为定值

6、.思路点拨不算不知道，一算真奇妙.通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后,点D的坐标也可以写出来.点E的纵坐标为定值是算出来的.在计算的过程中，第(1)题的结论a二丄及其变形am2=1反复用到.m2注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4),因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G.满分解答(1)将C(0,3)代入y=a(x22mx3m2)，得一3=3am2.因此a=-.m2(2)由y=a(x22mx3m2)=a(xm)(x3m)=a(xm)24axm2=a(xm)24，得A(m,0)，B(3m,0)，F(m,4)，对称轴为直线x=m所以点D的坐

7、标为(2m,3).设点E的坐标为(x,a(x+m)(x3m).如图2,过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E.由于/EAE=ZDAD；所以TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 o Current Document EEDD因此a(x+m)(x-3m)3AEADx+m3m所以am(x3m)=1.结合a=，于是得到x=4m.m2当x=4m时，y=a(x+m)(x3m)=5am2=5.所以点E的坐标为(4m,5).ADDD3所以AEEE5(3)如图3,由E(4m,5)、D(2m,3)、F(m,4),可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3.那么过点F作A

8、D的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G.证明如下：作FF丄x轴于F,那么GF=竺=4.ADDD3因此亜=型=GF所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形.534此时GFz=4m.所以G0=3m，点G的坐标为(一3m,0).考点伸展第(3)题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边.此时皂=AD=乞.因此GF=34m.53J34所以GO=341)m.此时G(m-34m,0).例32013年山西省中考第26题13如图1,抛物线y=4x2-2x-4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一

9、个动点，设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q,使ABDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形.拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，ZDBQ和ZBDQ可以成为直角

10、.请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形.拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，ZDBQ和ZBDQ可以成为直角.思路点拨第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ=DC列方程.第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论.第（3）题ABDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形.满分解答TOC o 1-5 h z31由y=x2-x4二一(x+2)(x8)，得A(2,0),B(8,0),C

11、(0,4). HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 424直线DB的解析式为y=2x+4. HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 13由点P的坐标为(m,0),可得M(m,m4),Q(m,m2m4). HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 42 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 131所以MQ=(m+4)(m2m4)=m2+m+8 HYPERLINK l bookmark72 o Current Docume

12、nt 424当MQ=DC=8时，四边形CQMD是平行四边形.解方程m2+m+8=8，得m=4,或m=0（舍去）.4此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N（4,2）,Q（4,6）.所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.所以四边形CQBM是平行四边形.（3）存在两个符合题意的点Q,分别是（一2,0）,（6,4）.考点伸展第题可以这样解：设点q的坐标为（Tx+2）（x_%如图3,当ZDBQ=90。时,11.所以AGBHD2QGBH1_(x+2)(x_8)i解得x=6此时Q(6,4).如图4,当ZBDQ=90。时,QGDH2=2.所以4_1(x+2)(x_8)4GDHB_x例42012年广州市

13、中考第24题如图1,抛物线y=-3x2-3x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y84轴交于点C(1)求点A、B的坐标；设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当AACD的面积等于AACB的面积时,求点D的坐标；若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合ZAMB=90。的点M只有1个.请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合ZAMB=9

14、0。的点M只有1个.思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个2.当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合ZAMB=90。的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合ZAMB=90。的点M只有1个.3灵活应用相似比解题比较简便满分解答33由y=x2一x+3=(x+4)(x一2)，848得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4,0)、B(2,0).对称轴是直线x=-1.AACD与A4CB有公共的底边AC，当AACD的面积等于AACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等.过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点DI设抛物线的对称轴与

15、x轴的交点为G,与AC交于点H.由BD/AC，得ZDBG=ZCAO.所以匹=C0=3.BGAO4所以DG=3BG=-，点D的坐标为(1,-9).44因为AC/BD，AG=BG，所以HG=DG.而DH=DH，所以DG=3DG=27.所以D的坐标为(1,27).44（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M.以AB为直径的0G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了.联结GM,那么GM丄1.在RtAEGM中，GM=3,GE=5，所以EM=4.在RtAEM/中，AE=8，tanAMEA=3，所以MA=6.11AE41所以点理的坐标为（

16、一4,6）,过M、E的直线1为y=-3x+3.114根据对称性，直线1还可以是y=x+3.4考点伸展第（3）题中的直线1恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线1的解析式.在RtAEGM中，GM=3，GE=5，所以EM=4.在RtAECO中，CO=3，EO=4，所以CE=5.因此三角形EGMAECO，ZGEM=ZCEO.所以直线CM过点C.例52012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y=k(x2+x1)的图象交于点A(l,k)和点B(1,k)当k=2时，求反比例函数的解析式；要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；设二次函数的图

17、象的顶点为Q,当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当kVO并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与0O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上.请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当kVO并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与0O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上.思路点拨由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析

18、式就是y=k.题目x中的k都是一致的.由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O.3根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在0O上是，ABQ是以AB为直径的直角三角形.满分解答(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是y=-x当k=2时，反比例函数的解析式是y=-.x(2)在反比例函数y=-中，如果y随x增大而增大，x那么kVO当kVO时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大抛物线y=k(x2+x+1)=k(x+丄)2-5k的对称轴是直24线图1所以当kVO且x0)交于A、Bx和C、D,那么AB与CD互

19、相平分，所以四边形ACBD是平行四边形.问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5,当A、C关于直线y=x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形.图5图4则称直线11与12是点H图2图3例62011年浙江省中考第23题设直线I】：y=kX+b与仃丁=比2兀+方2，右1丄I?，垂足为H,的直角线1（1）已知直线y二一丄x+2;y二x+2；y二2x+2；2y=2x+4和点C（0,2），则直线和是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形O

20、ABC的顶点A（3,0）、B（2，7）、C（0，7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为，过A、P两点的直线为12，若11与12是点P的直角线，求直线11与12的解析式.图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，ZAPB有两个时刻可以成为直角，此时ABCPAPOA.答案直线和是点C的直角线.当ZAPB=90。时，ABCPAPOA.那么匹二PO，即一2二PO.解得OPCPOA7PO3=6或OP=1.如图2,当OP=6时，人：y=1x+6，1：y=-2x+6.1221如图3，当OP=1时，I:y=3x+1,I:y二一1x+1.123例72010年北

21、京市中考第24题m一15mc宀在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A,点B（2,n）在这条抛物线上.（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）.当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运

22、动）.过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）.若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长.点C的坐标始终可以表示为（3t,2t）,代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.当两个等腰直角三角形有边共线时，会

23、产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了满分解答（1）因为抛物线y=m2-3m+2=0.解得m=2,1m-15mx2+才x+m2-3m+2经过原点，所以m二1（舍去）.因此y=-4x2+5x所以点B的坐242标为（2，4）（2）如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t，点C的坐标为，2t）.当点C1522落在抛物线上时，2t=一丁乂（3t）2+X3t.解得t=F=.429如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合.此时3t=10.解10得t=3PQN是等腰直角三角形，PQ=PQC是等腰直角三角形，PQ=如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,PE.此时

24、103t=2t.解得t=2.如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,图3考点伸展在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值.10如图5,当P、Q重合时，两圆内切，t=.图4图5图6如图6，当两圆外切时，t二3020迈.例82009年嘉兴市中考第24题如图1,已知A、B是线段MN上的两点，MN=4,MA=1,MB1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成ABC，设AB=x(1)求x的取值范围；若AABC为直角三角形，求x的值；探究：ABC的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；ZCAB和ZACB可以成为直角,ZCBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值.思路点拨.根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性.3.把AABC的面积S的问题，转化为S2的问题.AB边上的高CD要