2005数学摸型微分方程模型生态

1、第四章：微分方程模型 第三次：生态学数学模型华侨大学信息系宋海洲一：实际问题：1：问题： 人们吃大量的蛇，结果蛇大量减少；而田间的耗子却多起来了。 这种生态平衡失调的问题频频发生。 环境污染严重。 有必要研究生态学二：单种群模型（种内竞争理论）1：MALTHUS模型（1）：假定：只有一个种群，生物增长与出生率r(常数）有关，N(t)为t时刻生物总数。（2）：建模：dN/dt=rN(t) (1) N(t)|t=t0=N0 r(t-t0) （3）: 求解： N(t)=N0e 结论：人口呈现几何级数增长2：密度制约模型(logistic模型)：（1）：假定：生物有竞争，在（1）中增加一项竞争项-rN

2、*N/k（2）:建立模型：(4)：模型的优缺点： A: Logistic模型比Malthus 模型更合实际，尤其低级动物。例如细菌、酵母或浮游藻类。 B:Logistic模型中，未考虑年龄的分布，对于寿命较长的，世代重叠多的种群用（2）描述仍会产生较大的偏差，原因是密度的线性化造成的。(5)模型修改：3：开发了的单种群模型：（1）：具有常数收获率的单种群模型。 A:如果某一区域中养鱼，而每年捕获h条鱼，此时在（3）中增加一项收获项。 B:如果每年捕获不是固定的h条鱼，而是捕的条数与鱼的总数N成正比，模型为：（2）：具有时变收获率的单种群模型，则有实例： A:农药杀害虫问题可用（7）式。 希望某

3、段时间内害虫的密度下降到一定限额之内，要求使用的农药最少，同时不损害农作物。此问题可用下方法表示：B:渔业问题：（计划经济中） 养鱼并不是为了一年的捕鱼量最大而把所有的鱼捕捞干净。而是要考虑控制捕鱼量而使鱼稳定在一定的状态下生长，使得每年有鱼捕，并且要求在一定时间范围内，例如10年，30年内的鱼产量最大，此类数学问题可用如下方式表示：如果考虑养鱼的经济效益，则（9）的目标函数可变为：其中J为总利润（净收入）。V为鱼的单价， 为当时的兑现率，C/N为单位重量鱼的成本费。C:公海中的渔业问题： 记N(t) 表示鱼的密度，NF(N)表示鱼的自然生长率，E(t)表示t时刻的捕鱼能力，P表示捕单位重量鱼

4、所得的报酬，C表示单位重量的成本费，C,K为正常数。多国公海中的捕渔问题4：具有时迟的单种群模型： 在许多实际情况中，logistic模型的调节因子（1-N/K)应有时迟，设时迟为T，一般为一代种群的平均寿命的大小。此时logistic方程为： 如果t时刻种群的增长率与过去所有时间的种群密度均有关，则这种情况下具有时迟的单种群logistic方程为：5：离散时间的单种群模型： 如果世代之间没有重叠，所以种群增长分步进行，因而描述它们的生长过程是一个不连续模型，一般是差分方程： （1）对于malthus方程有： （2）考虑密度制约，则数学模型为：6：具有时变环境的单种群模型： 在模型（2）中的环

5、境容量K=const,但一般说是变化的，即描述环境因素的参数容量K是时间的函数，这是不难理解的。例如，一年中有春夏秋冬，夏季植物茂盛，可以容纳大量的昆虫生长，而冬季植物少，只能容纳少量的昆虫生长，故K 与t有关。7：反应扩散方程： 在模型（2）中，假定种群密度分布是均匀的，如果分布不均匀，则高密度的种群就要向低密度的区域扩散。如果假定这种扩散是在空间各向同性的，则应在（2）加上扩散的因素。令u=N/K,s=r,则（2）变为：二：两种群相互作用的模型： 1：两种群相互作用的模型：（2）建模：或用线性函数代替 得（3）：结论： 如果两种群非常相似而要求同样的环境，则=1，此时种群1和种群2之间的生

6、态竞争非常激烈，结果是最大容量大的生物存活而最大容量小的生物灭亡。（4）：模型的适应性及修改： A:对低等动物如细菌、藻类还可； B:对低等动物应复杂化，修改为：（5）：两种群相互作用常表现以下4种形式：捕食者与被捕食者（食饵）；寄生物与寄主；相互竞争；互惠互存 两种群相互作用的4种形式可由方程的系数aij (i=0,1,2;j=0,1,2)的符号体现出来。A:当a12 0,说明x被捕食者（寄主）,而y为捕食者（寄生物）B:当a120，且a21 0，且a21 0,说明x,y互惠互存；D:一般假定a11 =0,a22 =0，若a11 0(a22 0(a200)表示x种群（y种群）可以依靠此系统之

7、外的食物为生，反之，则不能。实例：1971年Hassell研究圆柄姬蜂攻击寄生粉螟（p71)2:被开发的两种群相互作用的模型 （实例：前面均是两种群自然发展的模型；如果加上人的因素模型就不同了，例如，利用天敌消灭害虫或渔业问题） （1）害虫-天敌自然模型：（2）：人工投放天敌模型：（3）不投放天敌，使用杀虫剂，只杀害虫而不伤天敌模型：（4）不投放天敌，使用杀虫剂，杀害虫也伤天敌模型：实际上：3:具有时迟的两种群相互作用的模型： 例如：只考虑食饵种群的时迟的影响：食饵种群又符合logistic方程，具有时迟的增长符合（13）；竞争关系Volterra方程描述，则有模型：其它无时迟模型均可有相应时

8、迟模型。4：离散时间的两种群相互作用的模型： 只须将原微分方程差分化即可： 例将5：反应扩散方程：（p73p74）三：三个种群或多个种群所组成的群落生态系统的数学模型： 三个种群相互作用较复杂，但建模思想和方法相同的。 1：假设及记号： 记三个种群分别为、，并约定：种群供食于种群表示为：；种群密度制约：；种群不主要依靠吃本系统（即、三种群构成的系统）为生： - -。种群与种群相互争：种群与种群互惠互存： 2：现仅考虑A、B、C三个种群关系是捕食与被捕食关系，则关系有三种：3：下面仅考虑食饵种群增长是线性密度制约的数学模型： （1）：两个食饵种群A、B，一个捕食者种群C： 假设：对于种群C:主要以A、B为食饵， A、B不存在时，C要逐渐灭亡；C种群不是密度制约；C的密度为y.对于A、B种群：不依靠本系统为生， A、B为密度