31二维随机变量

1、第三章多维随机变量及其分布1一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .本章内容是第二章内容的推广23.1 二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量3一、二维随机变量及其分布 我们常常需要同时用几个随机变数才能较好的描绘某一试验或现象 炮弹在地面的命中点的位置是由两个随机变量来确定 例如,飞机在空中的位置由三个随机变量来确定 4定义:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究. 设随机试验E的样本空间, X

2、和Y是定义在上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y ), 称之为二维随机变量或二维随机向量5分布函数F(x, y)表示Xx和Yy同时发生的概率定义: 设(X,Y)是二维随机变量,x,yR,二元函数 F(x, y)=PXx, Yy 称为(X,Y)的分布函数, 或称为X和Y的联合分布函数为此,首先需要引入二维随机向量(X,Y)的分布函数的概念.X的分布函数一维随机变量X6 分布函数F(x, y)在(x0, y0)处的函数值F(x0, y0)表示平面上随机点(X,Y)落在无限矩形区域 D: Xx0, Yy0内的概率 分布函数的几何意义:o xy(x0,y0)D7由上面的几何解释,易见:随机点(X,Y

3、)落在矩形区域: x1xx2,y1yy2 内的概率 Px1Xx2 ,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1) 说明8F(x, y)的性质:(1) 0F(x, y)1 (2) F(x, y)分别对x和y单调不减 即:yR,当x1x2时, F(x1, y)F(x2, y)xR,当y1y2时, F(x, y1)F(x, y2) F(x2, y) F(x1, y)=PXx2,YyPXx1,Yy=Px1Xx2,Yy09(3) F(, y)=0 F(x, )=0 F(, )=0 F(+,+)=1(4) F(x, y)关于变量x或y右连续即10 如果二维随机变量(

4、X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对时, 称(X,Y)是二维离散型随机变量 定义: 二、二维离散型随机变量11 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi , yj) (i, j=1,2,),称 PX=xi ,Y=yj=pij 为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律,或称为X与Y的联合分布律 定义: k=1,2, 离散型一维随机变量Xk=1,2, X的概率分布 12也可用表格表示:X Yy1 y2 yj x1x2xip11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij 13 二维分布律与二维分布函数设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为 pij

5、i=1,2, ; j=1,2, . 于是 (X,Y)的分布函数1415例1 将两个球等可能地放入编号为1, 2,3的三个盒子中. 令 X: 放入1号盒中的球数; Y: 放入2号盒中的球数求(X,Y)的分布律解:X的可能取值为0, 1, 2Y的可能取值为0, 1, 2PX=0,Y=0=PX=0,Y=1=PX=0,Y=2=PX=1,Y=0=16PX=1,Y=1=PX=1,Y=2=P()=0;PX=2,Y=0=PX=2,Y=1=P()=0;故(X, Y)的分布律为:X Y0 1 2012 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 0 1/9 0 0PX=2,Y=2=P()=017例2 设随机变量X在1

6、,2,3,4四个整数中等可能的取值,另一个随机变量Y在1X 中等可能的取一整数值,求(X, Y)的分布律 解: X的可能取值i为1,2,3,4 Y取不大于X的正整数j 当ij 时, 当ij时, pij=PX=i,Y=jpij=PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=018故(X, Y)的分布律为:X Y1 2 3 41234 1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 01/12 1/12 1/12 01/16 1/16 1/16 1/1619例设随机变量(X, Y)的分布律为:X Y1.5 2.5 3.5 12340.1 0.05 0.1 0 0.15 0.20.05 0.05 0.050.

7、15 0 0.1求P|X-Y|=0.520解：满足条件|X-Y|=0.5的(X,Y)的所有可能的取值为(1,1.5),(2,1.5),(2,2.5),(3,2.5),(3,3.5),(4,3.5).因此，所求概率即为(X,Y)在这些点上取值的概率的和，即P|X-Y|=0.5=0.1+0+0.15+0.05+0.05+0.1 =0.4521 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,若存在非负函数f (x,y),使x,y,有:定义: 则称(X,Y )是二维连续型随机变量, f (x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数, 或称为X与Y的联合概率密度 三、二维连续型随机变量22

8、23 f (x,y)的性质:(1) f (x,y)0 (2) (3) D为xOy平面上的一个区域,则点(X,Y) 落在D内的概率为:(4) 若f (x,y)在点(x,y)连续,则有: 24连续型一维随机变量XX的密度函数二维随机变量（X,Y）连续型X和Y 的联合密度函数25求: (1)常数C (2) (X,Y)的分布函数 (3) P0X1,00, y0时:=(1e3x)(1e4y)当x, y为其它情形时:F(x,y)=027注:“其它情形”不能写成“x0,y0”,并不同于一维分布(3) P0X1,0Y2=F(1,2)F(1,0)F(0,2)+F(0,0)=(1e3)(1e8)或28o 1 x例

9、5 设随机变量(X,Y)的概率密度为:求(X,Y)的分布函数解:y2(1) x0或y0时:F(x,y)=029(2) 0 x1,0y2时: (3) 02时: 30(4) x1,01, y 2 时:=131综合得: 32例6 一个电子器件包含两个主要元件，分别以和表示这两个元件的寿命（以小时计），设(X,Y)的分布函数为求（）(X,Y)的概率密度函数；（）两个元件的寿命都超过120小时的概率33解：(1)直接验证可知(x,y)是连续型的二维随机变量的分布函数，由性质可知：34(1)二维均匀分布 设D为xOy平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为:则称(X,Y)服从D上的均匀分布常见二维连续型分布35解: 例 设(X,Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布. 计算P(X,Y)A, 这里A是图中阴影部分的区域 圆域x2+y24的面积d=4 区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y24之内,面积=0.5 P(X,Y)A=0.5/4=1/836 其中1