线性变换矩阵

1、关于线性变换的矩阵第一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月一. 线性变换的矩阵表示1) V的任一线性变换，由它在基1，2，n 上的作用惟一确定，即如果(i ) (i ) (L ( V ) , i= 1, 2, , n), 则= ; 定理6.3.1设V是数域F上的一个 n 维线性空间，1，2，n 是V的一个基1. 线性变换对基的作用的重要性第二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证只须证2）设=x11+ x22+ xnn是V的任意向量，规定V的一个变换:()= x11+ x22, , xnn . 这时，有(i)= i , i=1, 2, , n.以下我们证明是V的线性变换2) 任给1

2、，2，nV，必存在V的惟一线性变换，使(i)= i ( i = 1, 2, , n).第三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月设=y11+ y22+ ynnV , +=(x1+y1) 1+(x2+y2) 2+(xn+yn) n.于是(+)= (x1+y1) 1+(x2+y2) 2+(xn+yn) n=(x11+ x22+ xnn)+(y11+ y22+ ynn)= ()+ (), (k)=k x11+k x22+k xnn=k().所以，是V的满足定理所要求的条件和的线性变换第四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月如果L(V),且(i)= i, i=1,2, ,n,=x11+ x2

3、2+ xnnV,则()=x1(1)+ x2(2)+ + xn(n) = x11+ x22+ xnn=().所以，第五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定义1设1，2，n是数域F上的n维线性空间V的一个基，L(V)基向量的象可由基线性表示：2. 线性变换矩阵的定义第六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月我们把（1）写成矩阵等式的形式(1), (2), , (n)=(1, 2, , n) A (2)其中矩阵A称为线性变换在基1，2，n下的矩阵第七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例1求F3x的线性变换：(f(x)=2 f(x)- f(x)在基1,x,x2,x3下的矩阵解因为(

4、1) = 2 = 2 + 0 x + 0 x2 + 0 x3,(x) = 2 x-1 = -1 + 2 x + 0 x2 + 0 x3(x2) = 2 x2 -2 x=0 -2 x + 2 x2 + 0 x3(x3) = 2 x3 -3 x2 = 0 + 0 x -3 x2 + 2 x3,所以在基 1 , x , x2 , x3 下的矩阵是3. 几个例子第八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月采用矩阵形式的写法为(1), (x), (x2), (x3)=(1, x, x2, x3)A例2求M2(F)的线性变换：(X) = 第九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月解因为 (E11)=

5、a E11+0 E12+c E21+0 E22, (E12)=0 E11+a E12+0 E21+c E22, (E21)=b E11+0 E12+d E21+0 E22, (E22)=0 E11+b E12+0 E21+d E22, 在基E11, E12, E21, E22下的矩阵故在基E11, E12, E21, E22下的矩阵是第十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例3设是F3的一个线性变换，1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1），(1)（2，-1，3），(2)（-1，0，4），(3)（0，-5，5）求在标准基1，2，3下的矩阵解由于 (1) = 21- 2 + 3

6、3, (2) = -1+02 + 43, (3) = 01-52 + 53,第十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月有（(1)，(2)，(3)）（1，2，3）即在基1，2，3 下的矩阵是第十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月一般地，Fn的一个线性变换在标准基1，2，n下的矩阵 A 就是把(i)的分量作列排成的 n 阶方阵.例4单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵I数乘变换k在任何基下的矩阵都是数量矩阵kI第十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 在V中取定一个基后，通过（2）式，我们在L(V)与Mn(F)之间建立了一个映射，它把每个L(V)映成在该基下的矩阵AMn(F

7、)： A定理6.3.1的2）说明是双射这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘和乘法运算二. L(V)与Mn(F)之间的密切关系1. 的性质第十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定理6.3.2 L(V)到Mn(F)的上述映射具有以下性质：1)对任意的，L(V)，有 （+）（）+（）； 2)对任意的L(V), kF,有(k)=k();3）对任意的，L(V)，有 （）（）（）；第十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月4) 若L(V)，可逆，则 （）A是可逆矩阵，且（-1）A-1反之，若A可逆，则也可逆证令()=A=(aij)n n，()=B=(bij)nn ,即(1), (2),

8、 , (n)=( 1, 2, , n)A,(1), (2), , (n)=( 1, 2, , n)B.第十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月1)( +)( i)= (i)+ (i) =(a1i+b1i) 1+(a2i+b2i) 2+(ani+bni) n, i=1,2, ,n.由此可得( +)( 1), ( +)( 2), , ( +)( n)= ( 1, 2, , n)(A+B),即 ( +)=A+B=()+ ().第十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月2)(k)(i)=ka1i1+ka2i2+kan in,i=1,2, ,n.由此可得 (k)( 1), (k)( 2),

9、 , (k)( n)= ( 1, 2, , n)(kA),即 (k)=kA=k().第十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3)(j)=(j)j=1,2, ,n.由此可得(1), (2), , (n)=( (1), (2), , (n)B=( 1, 2, , n)(AB),即()=AB=() ().=( ) =第十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月4）可逆时，-1L(V), -1=.(-1)= () (-1)=A(-1)= ()=In, 所以，A可逆，且A-1=(-1 ).若A可逆，有AA-1=In 设()=A-1, ()=In=AA-1=() ()= ()=A-1A=()

10、()= ().于是有=，即可逆第二十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 定理6.3.2说明，双射除了是F上的两个线性空间L(V)和Mn(F)之间的一个同构映射外，还保持乘法运算和可逆性这样，我们在L(V)与Mn(F)之间建立了十分密切的联系利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象2. 线性变换矩阵的一个应用第二十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定理6.3.3设V是数域F上的一个n维线性空间，L(V)，在基1，2，n下的矩阵是A，如果V中的向量在这个基下的坐标是（x1,x2，xn），而()在该基下的坐标是（y1, y2, ，yn）那么第二十二张，PPT共三十八页，创作于2022

11、年6月证由假设（1），（2），（n） =(1，2，n)A=x11+ x22+ xnn =(1，2，n) 第二十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月是V的线性变换，所以()=x1(1)+x2(2)+xn(n)=(1)，(2)，(n)=(1，2，n)A第二十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月另方面，由假设知（）=(1，2，n) 比较（4）与（5）两式，有. 第二十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定理6.3.4线性空间V的线性变换在V的两个基 1，2，n （6） 1，2，n （7） 线性变换的矩阵显然依赖于基的选择同一线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的我们来看线性变换

12、在不同基下的矩阵之间的关系三. 矩阵的相似1. 同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系第二十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证因为（1），（2），（n）=(1，2，n)A,（1），（2），（n）=(1，2，n)B,(1，2，n)=( 1，2，n)T,下的矩阵分别是A和B，从（6）到（7）的过渡矩阵是T，那么B=T-1AT.第二十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月所以 (1，2，n)B=（1），（2），（n）=（1），（2），（n）T=(1，2，n)AT=(1，2，n)T-1AT 故B=T-1AT. 第二十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定义2设A,B是数域F上

13、的两个n阶方阵如果存在F上的一个n阶可逆矩阵T，使B=T-1AT，则称B与A相似或A相似于B，记为AB. 根据这个定义，定理6.3.4说的是，n维线性空间V的同一线性变换在两个基下的矩阵是相似的2.相似矩阵及其性质第二十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月矩阵的相似关系具有如下性质：1)自反性AA因为A=I-1AI;2)对称性如果AB,那么BA,这是因为当 B=T-1AT时，A=(T-1)-1BT-1;3)传递性如果AB,BC,那么AC 这是因为当B=T1-1AT1，且 C= T2-1BT2时，有 C= T2-1 (T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).第三十张，PPT

14、共三十八页，创作于2022年6月 由于上述性质，我们可以把集合M n (F)中的元素按相似关系分类，凡是彼此相似的矩阵属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素下面的定理阐明了相似类的实际意义定理6.3.5设A,BMn(F), AB的充分必要条件是，它们是某个L(V)在两个基下的矩阵3.相似类的实际意义第三十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证充分性已由定理6.3.4证明由定理6.3.1知, 存在F上的n维线性空间V的一个线性变换,使它在V的基 1,2, ,n下的矩阵为A因为AB,存在可逆矩阵T使B= T-1AT.令 (1，2，n)（1，2，n）T，1，2，n也是V的一个基由定理6.3

15、.4，在这个基下的矩阵就是T-1ATB第三十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 从上面的讨论可以知道，L(V)中的一个线性变换在不同基下的矩阵组成一个Mn(F)中的相似类与该线性变换对应；不同的线性变换与不同的相似矩阵类对应第三十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 我们自然要问，对于线性变换能否找到一个基，使在这个基下的矩阵具有最简单的形式？换句话说，在Mn(F)的每个相似类中，能否找到一个形式最简单的矩阵？ 这就是矩阵的标准形的问题在后面几节，我们将对其核心矩阵的对角化作较多的讨论第三十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月习题6.31. 求下列线性变换在所指定的基下的矩阵：1）在R3中，基为R3的标准基(x1, x2, x3)=( x1, x1+x2-3 x3, 2 x1- x2-2 x3)2）在V2内，从原点引出两条彼此正交的单位向量1，2作为V2的基，令是将V2的每一个向量旋转角的旋转变换；第三十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3）设1=e3t, 2=t e3t, 3=t2 e3tV=L(1，2，3)是R上的三维向量空间，线性变换D是V的微商变换：D(f(x)= f(t);4）Fnx是F上