数值分析(02)线性空间

1、数值分析数值分析第二章 矩阵分析基础 第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解1数值分析数值分析第一节 线性空间 一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间2数值分析数值分析一、线性空间的定义3数值分析数值分析4数值分析数值分析5数值分析数值分析线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入

2、的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，进而通过研究线性空间来解决实际问题6数值分析数值分析定义 设 是一个非空集合， 为数域如果(1)对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作(2)对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的线性空间7数值分析数值分析8数值分析数值分析2 线性空间中的元素不一定是有序数组3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明1 凡满足以上

3、八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算9数值分析数值分析（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 线性空间的判定方法10数值分析数值分析通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律11数值分析数值分析12数值分析数值分析例 正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间13数值分析数值分析是一个线性空间.例 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间14数值分析数值分析例 正实数的全体，记作 ，在其中定义

4、加法及乘数运算为验证 对上述加法与数乘运算构成线性空间（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律证明所以对定义的加法与数乘运算封闭15数值分析数值分析下面一一验证八条线性运算规律：16数值分析数值分析所以 对所定义的运算构成线性空间17数值分析数值分析不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例 个有序实数组成的数组的全体18数值分析数值分析(1)零元素是唯一的二、线性空间的性质(2)负元素是唯一的(4)如果 ，则 或 . 19数值分析数值分析三、线性空间的基与维数已知：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向

5、量都是线性相关的问题：线性空间的一个重要特征在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？20数值分析数值分析21数值分析数值分析22数值分析数值分析23数值分析数值分析定义 在线性空间 中，如果存在 个元素满足：24数值分析数值分析当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的25数值分析数值分析定义 四、元素在给定基下的坐标26数值分析数值分析27数值分析数值分析28数值分析数值分析注意线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的29数值分析数值分析例所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空

6、间对于 中的矩阵30数值分析数值分析31数值分析数值分析32数值分析数值分析五、线性空间的同构33数值分析数值分析34数值分析数值分析定义设 是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 与 同构.35数值分析数值分析例如与 维数组向量空间 同构. 形成一一对应关系；36数值分析数值分析则有同维数的线性空间必同构同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性结论数域 上任意两个 维线性空间都同构37数值分析数值分析同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这

7、个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数38数值分析数值分析六、基变换公式与过渡矩阵那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？问题：在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的39数值分析数值分析称此公式为基变换公式40数值分析数值分析基变换公式 矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的41数值分析数值分析若两个基满足关系式七、坐标变换公式则有坐标变换公式或42数值分析数值分析证明43数值分析数值分析44数值分析数值分析45数值

8、分析数值分析46数值分析数值分析47数值分析数值分析八、线性空间的子空间定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是： 对于 中的线性运算封闭48数值分析数值分析解(1)不构成子空间.因为对例 有49数值分析数值分析即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意有于是50数值分析数值分析满足且51数值分析数值分析生成子空间52数值分析数值分析53数值分析数值分析54数值分析数值分析生成的子空间的基与维数.例55数值分析数值分析56数值分析数值分析57数值分析数值分析矩阵代数中的几个重