数值分析讲稿22

1、3.2 牛顿插值公式 根据差商定义，把 视为 上一点，则 只要把后一式代入前一式，得:1最后一项中, 差商部分含有 ,为余项部分,记作 前面n+1项是关于 的n次多项式,记作这就是牛顿插值公式.2将牛顿插值公式 与 比较知： 3例如:当n=1时，其中,此即牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程. 4当n=2时,此即牛顿二次插值多项式,显然, 5即 满足二次插值条件。6例:已知求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式. 解:在上例中,我们已计算出则牛顿三次插值多项式:已知 在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式求 的近似值。一阶二阶三阶四阶五阶8解： 欲求 ,只需在

2、 之后再加一项:故 . 截断误差：9问题的提出 已知：函数 在 n+1 个节点 的取值： 求：一个次数不超过 n 的多项式 满足注: n+1个不同的点确定一个唯一的多项式.10n次拉格朗日型插值多项式: 11一阶差商二阶差商三阶差商n次牛顿插值多项式:12拉格朗日型插值与牛顿型插值的比较(1) 和 均是n次多项式,且均满足插值条件: 由插值多项式的唯一性, ,因而两个公式的余项是相等的,即则可知n阶差商与导数的关系如下： 13 (2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶差商,然后加上一项即可.（3）牛顿型

3、插值余项公式对 是由离散点给出或 导数不存在时均适用.143.3 差分与等距牛顿插值公式插值节点为等距节点：如图： h h h h h h h h hh称为步长，函数 在 的函数值为 .151.差分的概念定义: 称为向前差分算子,称为一阶差分;类似地,称二阶差分;一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：16定义: 称为向后差分算子，分别称为一阶，二阶， ，m阶向后差分。 定义: 称 为中心差分算子,如果 如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成二阶中心差分为： 17除差分算子外，常用的算子符号还有： 不变算子 :移位算子 ：由上面各种算子的定义可得算子间的关系：同理可得 182.差分的性质性质1:

4、 各阶差分均可用函数值表示.其中, 为二项式展开系数.可用数学归纳法证明此公式.19性质2:函数值可用各阶差分表示. 例如：性质3:等距插值的情况下,可得差分和差商的关 系.首先, 向前差分有如下性质:20因为 所以21同理，对向后差分有利用差商与导数的关系:可推出差分与导数的关系：22性质4:各种差分之间可以互化.例如:证明思路: 归纳法. 首先, 时, 假设 成立,那么, 证毕.233.等距节点的牛顿插值公式 将牛顿差商插值公式中各阶差商用相应差分代替，就可得到各种形式的等距结点插值公式. h h h h 牛顿向前插值公式 若计算 附近的点 的函数值，可令 ,则有 分别将其代入牛顿插值公式和余项公式24得牛顿向前插值公式 及余项公式 25牛顿向后插值公式：若要计算 附近点 的函数值，插值点应按 的次序排列，有牛顿插值公式及余项公式26可令 ,将其代入上式以后得牛顿向后插值公式： 其余项为： 27 若 在函数表中间 ,推导公式应取 节点为 并按 的次序重新把牛顿插 值公式改写。 28作业：1. 已测得函数的三对数据(0,1), (-1,5), (2,-1),（1）用Lagrange插值求二次插值多项式;（2）构造差商表;（3）用Newton插