分析天体力学林lect

1、如果两个天体的长周期变化项的频率之间存在通约关系,则称为长期.:近日点经度 ,升交点经度.天体运动中的长周期变化一般地,系中的近日点经度和升交点经度会因为各大行星之间的相互引力作用而产生特定的频率进动,因而系中的天体可能和之间产生长期.不妨把摄动函数中的长期项写出来(展开到e, s的二阶.注意摄动函数展开式的间接项中不含长期项):11812 b0 D Db0s sb1e e222222Rsec221 2 1 2 3 21 D Dbcos ss bcos .11ee2 22241 2 3 2由这个展开式出发,可以研究长期摄动对运动的影响.的机制.本节以平面椭圆型三体模型来展示长期假设摄动体(某,

2、比如木星)在一个椭圆轨道上运动,该椭圆半长径a, 偏心率e为常数,而近日点经度 以恒定的速度进动: g.在这个模型下,描述被摄动体(轨道在摄动体轨道内侧,比如主带小行星)的运动的Hamilton函数是: Gm0 2 Gm A Ae2 Be4 Cee cos Hasec02L2其中的系数 A0 , A, B, C 是摄动体与被摄动体的半长径之比 a的函数:a118 00Ab ,A D Db ,22201 21 2 2b .B 128平面三体模型: s s 0,取e的4阶且略去e2e2 项.采用Poincare变量,1a , a 1l M , .L 1 e2 ,1Hamilton函数成为:Gm2G

3、m 2 cos .H A 20seca02L2其中: 2GmA ,aL Gm A 4B aL2GmeC , .aL 11 e2 L 2 2e2 1 1 2 L L L Hamilton函数中不显含l, L 是常数, 所以a, 是常数Hamilton函数是:略去常数H 2 2 cos .再略去其中的高阶项 J 2 ,并作从极坐标到直角坐标的变换:x 2 cos ,y 2 sin .Hamilton函数变成H 1 x2 y2 x cos y sin .2相应的正则运动方程是:x y sin gt 0 ,y x cos gt 0 .求解.这组方程可以 gt 正则运动方程x y sin gt 0 ,的

4、通解是:y x cos gt 0 1gx a cos t cos gt ,0001gy a sin t sin gt .000注意到 实际上是这个解的频率,不妨记作g0 .当g0 g时,方程解的振幅(偏心率)趋于无穷,但实际上,随着偏心率的增大,原本贡献甚小可以略去的非线性项将抑制偏心率的增长,所以此时应考虑 J 2 的作用.于x 0, y 0的轨道而言, 偏心率激发最大的频率是:对于g g 2 221 3 .另一方面,忽略常数项之后,Hamilton函数是: 2 2 cos .Hsec这个Hamilton函数含时间( gt),通过生成函数S I 构造正则变换 , I , ,消去时间的Hami

5、lton函数为:2I cos.H H S g I I 2 tt 1 3 2 3作变量变换 I 2 3 2 3J ,H J J 2 2J cos,得新的Hamilton函数: g 1 3 2 3.再作从极坐标到直角坐标的变换:x 2J cos,y 2J sin ,最后 Hamilton函数变成H 1 x2 y2 1 x2 y2 2 x.24分析过程同5.2节第二基本模型？由 Hamilton函数 H 1 x2 y2 1 x2 y2 2x 得运动方程:2x y x2 y2 y,y x x2 y2 x 1.平动点的解满足:4 x x3 1 0,0y0 0.0当 x0 0,平动点方程近似为 x0 1

6、0,所以: 1 ,y 0.x00当 x 远离0时,平动点方程近似为 xx3 0,所以平动点位置近似为:0 x0 00y0 0.,的Hamilton函数出发:从消去时间 g 1 3 2 3.H J J 2 2J cos,在长期摄动发生的准确位置(exact location), 有 0,即H J 0, 所以: 2Jres 2Jres cos 0.1 2 2Jres ,故上式给出:1 2 位置,偏心率被激发起来,可以认为2Jres在J 1 ,res2项2J cos 变化较小,位置附近,因J 的变化而引起的进而,在所以可以用Jres 来代替项中的J , 此时:211H J Jcos J 2 4 cos.222Jres舍弃常数项 2 4 ,并且作变量变换 2 J 2, 得到:与单摆方程比较,H 1 GI 2 F cosH 1 2 cos .2214 , 那么相应地,单摆中分界线给出了最大的变化范围:max 2 2 1 J2 2.max2而由J 与I 之间的关系I 2 3 2 3J 以及 与偏心率e 之间的关系,:11maxemax 2 3 2 3Jmax2 1 2 3emax