初中数学解直角三角形综合讲义

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象： 特殊的求解过程定角度： 已知元素新事物： 求出未知元素 举例：在ABC中，C为直角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=287.4，B=426，解这个直角三角形。解：（1）A=90- 426=475

2、4 （2） cosB= , a=c cosB=287.40.7420213.3 （3） sinB= , b=c sinB=287.40.6704192.7二、研究概念1.条件： 直角三角形2.构成和本质 边 两条直角边 角 有一个直角 角 两锐角互余3.特征： 角 两锐角互余，A+B=90 边 勾股定理，a2+b2=c2 等式的性质 a2 =c2 b2 b2=c2 a2 勾股定理逆定理 边、角 锐角三角函数 重要线段 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 圆 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 特殊角 30角所对的直角边是斜边的一半 45角所对的直角边是斜边的倍4.下位B无5.应用：三、例

3、题讲解1、在R tABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC= a，B=，那么AD等于 （ ） （A级） A、 asin2 B、acos2 C、asincos D、asintan 对象：R tABC中，AD 角度： 三角函数 分析：R tABC cosB= cos= AB= acos R tABD sin= AD= sinABAD= asincos2、 正方形ABCD中，对角线BD上一点P，BPPD=12，且P到边的距离为2，则正方形的边长是 ，BD= 对象：正方形ABCD对角线BD上的点P 角度： 直角三角形分析：设P到边的距离为PE。分四种情况：（1） P到边BC的距离为PE=2，DBC=4

4、5 BE=PE=2 BP=2 BPPD=12 PD=4 BD=6 正方形的边长为6（2） P到边AB的距离为PE=2、P到边AD的距离为PE=2 、P到边CD的距离为PE=2方法照上。 CADB3、如图，RtABC中，C=90，CDAB于D，BC=，AC=3，则BD= 对象：RtABC中BD 角度：相似三角形 分析：ABCCBD BC2 =BDAB BC=，AC=3 AB= BD=4、在中，、都是锐角，且，。求的面积。对象：的面积 角度：锐角函数值分析：， A=30，B=60 C=90 是以AB为斜边的直角三角形 ，A=30，B=60 AC=5,BC=5 的面积为B5、河旁有一座小山，从山顶A

5、处测得河对岸点C的俯角为30，测得岸边点D的俯角为45，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长。 (B级) 对象：R tABC和R tABD 角度：三角函数 分析：EAC=30，EAD=45 ACB=30,ADB=45 AB= x AC=2x，BC=x，BD=x CD=50BD=x 50 x=x 50 x=25(1) AC=50(1)6、如图某船向正东航行。在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值） （B级） 对象：右图

6、角度：锐角三角函数 分析：很显然，AC=DC，设AE=DE=x，则CE=x,CD=xBD=10 BE= x10 tanECB= x= 5（3+） AD=10（3+）7、在海上有一灯塔P，在它周围3海里内有暗礁，一客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P到它北偏东60，继续行驶10分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的北偏西45，问客轮不改变航线继续前进有无触礁危险？ （B级）（此题有现有条件不变的情况下，还可能问：船离灯塔P的最近距离是多少？船再走多远，离灯塔最近？船再行驶多少时间，离灯塔P最近？） 对象： 右图中RtPAC中PC 角度：锐角三角函数 分析：PAC=30 PBC=4

7、5 设PC=X BC=X，AC=X AB=9= +X=X X=3 所以不改变航线继续前进有触礁危险8、将两块三角板如图放置，CEDB90，A45，E30，ABDE6。求重叠部分四边形DBCF的面积。 （C级）对象：四边形DBCF的面积 角度：直角三角形的面积分析：在EDB中， EDB90，E30，DE6， 又 A45， AFD45，得FDAD 在等腰直角三角形ABC中，斜边AB6，所以 9、如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H可供使用的测量工具有皮尺、测倾器（1）请你根据现有条

8、件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案具体要求如下：测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用、表示）AHGBDC第3题图（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计） （C级）分析：方案1：（1）如图a（测三个数据）（2）解：设HG=x，在RtCHG中CG=xcot 在RtDHM中DM=（xn）cotxcot=（xn）cot x= 方案2：（1）如图b（测四个数据）（2）解：设HG=x ， 在RtAHM中AM=(xn)

9、cot在RtDHM中DM=（xn）cot(xn) cot=（xn）cot+m HAGBDCnm方案3图cMx=方案3：（1）如图c（测五个数据）HAGBDCnm方案2图bMAHGBDCn方案1图aM（2）参照方案1（2）或方案2（2）小结：某些斜三角形和其它图形的问题可转化为解直角三角形的问题，在解题中应有“化归”意识；某图形中有多个直角三角形时，应先解元素齐备的直角三角形；某些实际问题可归结为解直角三角形；通过解直角三角形要进一步领会转化思想、数形结合思想、函数思想、方程思想、分类思想等数学思想方法在解题中的运用。10、据气象台预报，一强台风的中心位于宁波(指城区，下同)东南方向()千米的海

10、面上，目前台风中心正以20千米/时的速度向北偏西60的方向移动，距台风中心50千米的圆形区域均会受到强袭击已知宁海位于宁波正南方向72千米处，象山位于宁海北偏东60方向56千米处请问：宁波、宁海、象山是否会受这次台风的强袭击？如果会，请求出受强袭击的时间；如果不会，请说明理由(为解决问题，须画出示意图，现已画出其中一部分，请根据需要，把图形画完整) （C级）_（台风中心）_（宁海）_（宁波）_P_B_A分析：过作东西方向(水平)直线与(南北)延长线交于，延长台风中心移动射线与相交于 ，45， 30， 30=， 与重合， 台风中心必经过宁海经过宁海的时间为(时) 如图为象山，由题意可得30+30

11、=60，到的距离60=，象山会受到此次台风强袭击求受袭击时间可先求以为圆心，为半径的圆与相交的弦长等于，受袭击时间(时) 到的距离60=，宁波不会遭受此次台风的强袭击综上所述:宁波不会遭受此次台风的强袭击；宁海:会，受袭击时间为5时；象山:会，受袭击时间时(约1时13分)11、5，求BC长 （B 级）解法一：过B做BEAC交AC延长线于E，在ABE中，DC为ABE中位线DCBBCE90，解法二：过D做DEAC，则BE为AC中位线，DEDC，在解法三：做EBDC交CD延长线于E，在DEB和DCA中，BDECDA，ADDB，BEDACDRtDEBDCAEBAC512、测量人员在山脚A处测得山顶B的

12、仰角45，沿着倾斜30的山脚前进1000米来到R处，再测得山顶仰角60，求山高BC解：过R做RFAC，REBC分别交AC、BC于F、E，在RtARF中，在RtBRE中，设BRx米，在RtABC中，BAC=45，AC=BC解得x1000四、课后练习根，则此三角形为 C A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形2、在与楼水平距离为h的A处（A的高度略去不计），测得楼顶的仰角为 60，则楼高 B 3、河的对岸有一电线杆CD，从A点测得电线杆顶端D的仰角为30，前进30米到达B处，测得D的仰角为45，求电线杆的高？ 对象：CD的长 角度：锐角三角函数 分析：（设BC=x） CD=x, AC

13、=30+x RtADC中A=30 X= x=15+15 电线杆的高为15+154、如图，ABC中，C=90，A=45，EBC=DEC=30，若AE=6cm，求DC的长。 （3）对象：DC的长 角度：锐角三角函数 分析：（设EC=x）A=45 BC=AC=6+xBAECD RtBEC中EBC =30 EC= x= X= RtDEC中DEC =30 DC=5、如图：在等腰直角三角形ABC中，C900，AC6，D是AC上一点，若tanDBA，则AD的长为（ ） ( A ) A、 B、2 C、1 D、26、从塔顶A测得一楼顶C的俯角为，楼底D的俯角为，已知B、D两点间的距离为akm，求楼高CD。7、太

14、阳光线与地面成60角，一棵倾斜的大树与地面成 30角，这时测得大树在地面上的影长约为10m，求大树的长？（保留两个有效1.732数字，下列数据供用：1.414，1.732） 8、如图在小山的东侧A 庄测得山顶P的仰角为在有一热气球，由于受西风的影响，从A庄以每分钟30米的速度沿着与水平方向成的方向飞行，20分钟后到达点C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄恰在一条直线上，同时测得B庄的俯角为，求小山的高。9、A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是否受台风影响的区域（1）.问城是否受台风的影

15、响？（2）.若A城受台风的影响，那么受台风影响的时间。10、如图，MN表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN的方向为难偏东30度，在M的南偏东60度方向上有一个点A，一点A为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）。取MN上一点B，测得BA的方向为南偏东75度，已知MB=400米，请通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这一危险区？（1.414，1.732）11、如图，沿AC 的方向修建高速公路，为了加快工程进度，要在小山的两旁同时施工，在AC上取一点 ，在 AC外另取一点 D，使ABD=130,BD=480米，BDE=40,问开挖点E离D多远，才能使A、C、E在一条直线上？（精确到0.1米） 12、如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西方向移动。距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）、B处是否受到台风的影响？（请说明理由）（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？C13、 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75.若梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子