多目标决策基本概念、决策方法和模型

1、多目标决策基本概念、决策方法和模型13.1 基本概念13.2 决策方法13.3 多目标风险决策分析模型13.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法13.5 层次分析法（AHP）思考与练习13.1 基本概念 例13.1 房屋设计。某单位计划建造一栋家属楼,在已经确定地址及总建筑面积的前提下,作出了三个设计方案,现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案： (1） 低造价（每平方米造价不低于500元,不高于700元） (2） 抗震性能（抗震能力不低于里氏5级,不高于7级）；(3） 建造时间（越快越好）；(4） 结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等设计合理）；(5） 造型美观（评价越高越好

2、）。这三个方案的具体评价如表所示。 表13.1 三种房屋设计方案的目标值1 多目标决策问题的基本特点例就是一个多目标决策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不止一个这一明显的特点外,最显著的有以下两个特点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。所谓目标间的不可公度性, 是指各个目标没有统一的度量标准,因而难以直接进行比较。例如房屋设计问题中,造价的单位是元/平方米,建造时间的单位是年,而结构、造型等则为定性指标。所谓目标间的矛盾性, 是指如果选择一种方案以改进某一目标的值,可能会使另一目标的值变坏。如房屋设计中造型、抗震性能的提高,可能会使房屋建造成本提高。 2 多目标问题的三个

3、基本要素一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素。目标体系是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构。备选方案是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。有的被选方案是明确的、有限的,而有的备选方案不是明确的,还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。 决策准则是指用于选择方案的标准。通常有两类： 一类是最优准则,可以把所有方案依某个准则排序；另一类是满意准则,它牺牲了最优性,使问题简化,把所有方案分为几个有序的子集,如“可接受”与“不可接受”,“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”。 3 几个基本概念1） 劣解和非劣解劣解：如某方案的各目标均劣于其它目

4、标,则该方案可以直接舍去。这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解。非劣解：既不能立即舍去,又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。非劣解在多目标决策中起非常重要的作用。 图13.1 劣解与非劣解单目标决策问题中的任意两个方案都可比较优劣,但在多目标时任何两个解不一定都可以比较。如图所示,希望f1和f2两个目标越大越好,则方案A和B、方案D和E相比就无法简单定出其优劣。但是方案E和方案I比较,显然E比I劣。而对方案I和H来说,没有其它方案比它们更好。而其它的解,有的两对之间无法比较,但总能找到令一个解比它们优。I、H这一类解就叫非劣解,而A、B、C、D、E、F、G叫作劣解。如果能够判别某一解是劣解,

5、则可淘汰之。如果是非劣解,因为没有别的解比它优,就无法简单淘汰。倘若非劣解只有一个,当然就选它。问题是在一般情况下非劣解远不止一个,这就有待于决策者选择。 对于m个目标,一般用m个目标函数f1(x), f2(x), , fm(x)刻画,其中x表示方案,而x的约束就是备选方案范围。最优解：设最优解为x*,它满足fi(x*)fi(x) i=1, 2, , n （）2） 选好解在处理多目标决策时,先找最优解。若无最优解,就尽力在各待选方案中找出非劣解,然后在非劣解之间权衡,从中找出一个比较满意的方案。这个比较满意的方案就称为选好解。单目标决策主要是通过对各方案两两比较,即通过辨优的方法来求得最优方案

6、。而多目标决策除了需要辨优以确定哪些方案是劣解或非劣解外,还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。权衡的过程实际上就反映了决策者的主观价值和意图。 13.2 决策方法13.2.1 化多目标为单目标的方法1. 主要目标优化兼顾其它目标的方法 设有m个目标f1(x),f2(x),fm(x),xR均要求为最优,但在这m个目标中有一个是主要目标,例如为f1(x),并要求其为最大。在这种情况下,只要使其它目标值处于一定的数值范围内,即 fifi(x)fii=2, 3, , m就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：R=x|fifi(x)fi, i=2, 3, , m; xR （）例13.

7、2 设某厂生产A、B两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所需的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产品利润等如表所示。在制定生产计划时,工厂决策者考虑了如下三个目标： 计划期内生产产品所获得的利润为最大； 为满足市场对不同产品的需要,产品A的产量必须为产品B的产量的倍； 为充分利用设备台时,设备台时的使用时间不得少于11个单位。表13.2 产品消耗、利润表显然,上述决策问题是一个多目标决策问题,今若将利润最大作为主要目标,则后面两个目标只要符合要求即可。这样,上述问题就可变换成单目标决策问题,并可用线性规划进行求解。设x1为产品A的产量,x2为产品B的产量,则将利润最大作为主要目标,其它两

8、个目标可作为约束条件,其数学模型如下：max z=4x1x22x1+4x212(设备台时约束)3x1+3x212(原料约束)x1x2=0(目标约束)2x1+4x211(目标约束)x1, x20 （） s.t.2. 线性加权和法 设有一多目标决策问题,共有f1(x),f2(x),fm(x)等m个目标,则可以对目标fi(x)分别给以权重系数i（i=1,2,m）,然后构成一个新的目标函数如下： （） 计算所有方案的F(x)值,从中找出最大值的方案,即为最优方案。在多目标决策问题中,或由于各个目标的量纲不同,或因有些目标值要求最大而有些要求最小,则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值,然后再用线性加权

9、和法计算新的目标函数值并进行比较,以决定方案的取舍。3. 平方和加权法 设有m个目标的决策问题,现要求各方案的目标值f1(x),f2(x),fm(x)与规定的m个满意值f*1,f*2,f*m的差距尽可能地小,这时可以重新设计一个总的目标函数：（）并要求min F(x),其中i是第i(i=1, 2, , m)个目标的权重系数。 4. 乘除法 当有m个目标f1(x),f2(x),fm(x)时,其中目标f1(x),f2(x),fk(x)的值要求越小越好,目标fk+1(x),fm(x)的值要求越大越好,并假定fk+1(x),fm(x)都大于0。于是可以采用如下目标函数：并要求min F(x)。 （）

10、5. 功效系数法设有m个目标f1(x),f2(x),fm(x),其中k1个目标要求最大,k2个目标要求最小。赋予这些目标f1(x), f2(x),fm(x),以一定的功效系数di(i=1, 2, , m),0 di 1。当第i个目标达到最满意时, di =1；最不满意时, di =0; 其它情形, di则为0、1之间的某个值。描述di与fi(x)关系的函数叫作功效函数,用di=F(fi)表示。不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数,如线性功效函数、指数型功效函数等。图所示为线性功效函数的两种类型。图13.2(a)所示为要求目标值越大越好的一种类型,即fi值越大, di也越大。图（b

11、）为要求目标值越小越好的一种类型,即fi越小, di越大。 图13.2 线性功效函数 (a) 目标值愈大愈好的类型；(b) 目标值愈小愈好的类型 记maxfi(x)=fimax, minfi(x)=fimin,若要求fi(x)越大越好,则可设di(fimin) =0,di(fimax)=1,第i个目标的功效系数di的值为 （）若要求fi(x)越小越好,则可设di(fimin)=1,di(fimax)=0,第i个目标的功效系数di的值为 （）同理,对于指数型功效函数的两种类型,亦可类似地确定di的取值。当求出n个目标的功效系数后,即可设计一个总的功效系数,设以 （）作为总的目标函数,并使得D最大

12、。从上述计算D的公式可知,D的数值介于0、1之间。当D=1时,方案为最满意, D=0时,方案为最差。另外,当某方案第i目标的功效系数di=0时,就会导致D=0,这样人们也就不会选择该方案了。13.2.2 重排次序法 例13.3 设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。由于对m个目标重视程度不同,事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。若用fij表示第i个方案的第j个目标的目标值，则可列表如表所示。表13.3 n个方案的m个目标值 （1） 无量纲化。为了便于重排次序,可先将不同量纲的目标值fij变成无量纲的数值yij。变换的方法是：对目标fj,如要求越大越好,则先从n个待选方案中找出第j个目标的

13、最大值确定为最好值,而其最小值为最差值。即并相应地规定 fibjyibj=100 fiwjyiwj=1而其它方案的无量纲值可根据相应的f的取值用线性插值的方法求得。 对于目标fi,如要求越小越好,则可先从n个方案中的第j个目标中找出最小值为最好值,而其最大值为最差值。可规定fibjyibj=1,fiwjyiwj=100。其它方案的无量纲值可类似求得。这样就能把所有的fij变换成无量纲的yij。(2) 通过对n个方案的两两比较,即可从中找出一组“非劣解”,记作B,然后对该组非劣解作进一步比较。(3) 通过对非劣解B的分析比较,从中找出一个“选好解”,最简单的方法是设一新的目标函数iB （） 若F

14、i值为最大,则方案i为最优方案。13.2.3 分层序列法分层序列法是把目标按照重要程度重新排序,将重要的目标排在前面,例如已知排成f1(x),f2(x),fm(x)。然后对第1个目标求最优,找出所有最优解集合,用R1表示,接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解,并将这时的最优解集合用R2表示,依此类推,直到求出第m个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述,即 i=1, 2, , m-1; R0=R (13.11) 这种方法有解的前提是R1,R2,Rm-1等集合非空,并且不止一个元素。 但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”, 是指当求解后一目标最优时,

15、不必要求前一目标也达到严格最优,而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题,也就是 i=1, 2, , m-1; R0=R (13.12) 13.3 多目标风险决策分析模型多目标风险决策分析模型可表述为： 假设有n个目标,m个备选方案（A1, A2, , Am）,第i个备选方案Ai面临li个自然状态,这li个自然状态发生的概率分别为pi1, pi2, , pili；方案Ai在其第k个自然状态下的n个后果值分别为 (1) ik, (2) ik, , (n) ik。如图所示。图13.3 多目标风险型决策模型各方案中各目标的期望收益值分别为(13.13)这样,便把

16、有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题： （13.14) 13.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法13.4.1 基本结构这一问题可表述为：从现有的m个备选方案A1, A2, , Am中选取最优方案（或最满意方案）,决策者决策时要考虑的目标有n个：G1, G2, , Gn。决策者通过调查评估得到的信息可用表表示（其中aij表示第i个方案的第k个后果值）。表13.4 有限个方案多目标决策问题的基本结构显然这一表式结构可用矩阵表示为这个矩阵称为决策矩阵,它是大多数决策分析方法进行决策的基础。决策准则为（）其中j为第j个目标的权重。 （） 13.4.2 决策矩阵的规

17、范化1 向量规范化令（）这种变换把所有目标值都化为无量纲的量,且都处于(0,1)范围内。但这种变换是非线性的,变换后各属性的最大值和最小值并不是统一的,即最小值不一定为0,最大值不一定为1,有时仍不便比较。2 线性变换如目标为效益（目标值愈大愈好）,可令 （）显然0bij1。如目标为成本（目标值愈小愈好）,令 （）同样有0bij1。这种变换是线性的,变换后的相对数量和变换前相同。 3 效用值法把每一目标的各后果值转化为效用值。4其它变换在决策矩阵中如果既有效益目标又有成本目标,则采用上述变换就产生了困难,因为它们的基点不同。这就是说,变换后最好的效益目标和最好的成本目标有不同的值,不便于比较。

18、如果把成本目标变换修改为 （） 这样基点就可以统一起来。一种更复杂的变换是,对于效益,令（） （） 对于成本,令 13.4.3 确定权的方法1老手法首先,选聘一批对所研究的问题有充分见解的L个老手（即专家或有丰富经验的实际工作者）,请他们各自独立地对n个目标Gi（i=1, 2, , n）给出相应的权重。设第j位老手所提供的权重方案为 w1j, w2j, , wnjj=1, 2, , L （）它们满足wij0, i=1, 2, , n, , 则汇集这些方案可列出如表所示的权重方案表。 表13.5 老手法所得到的权重方案表表中 设给定允许0,检验由上式确定的各方差估值。如果上述各方差估值的最大者不

19、超过规定的,即若 i=1, 2, , n j=1, 2, ,L 则说明各老手所提供的方案没有显著的差别,因而是可接受的。此时,就以w1, w2, , wn作为对应各目标G1, G2, , Gn的权重。如果上式不满足,则需要和那些对应于方差估值大的老手进行协商,充分交换意见,消除误解（但不交流各老手所提出的权重方案）,然后,让他们重新调整权重,并将其再列入权重方案表。重复上述过程,最后得到一组满意的权重均值作为目标的权重。2 环比法这种方法先随意把各目标排成一定顺序,接着按顺序比较两个目标的重要性,得出两目标重要性的相对比率环比比率,然后再通过连乘把此环比比率换算为都以最后一个目标为基数的定基比

20、率,最后再归一化为权重。设某决策有五个目标,下面按顺序来求其权重,见表。 表13.6 用环比法求权重表第二列是各目标重要性的环比比率,是按顺序两两对比而求得的,它可以通过向决策者或专家咨询而得到。例如该列第一个数值为2,它表示目标A对决策的重要性相当于目标B的2倍；第2个数字为0.5,它表明目标B对决策的重要性值相当于目标C的一半,其余类推。第三列的数据是通过第二列计算得到的,即以目标E（排在最后的目标）对决策的重要性为基数,令其重要性为1,由于目标D的重要性相当于E目标的倍,所以换算为定基比率仍是1.5,即11.5=1.5,由于目标C的重要性相当于目标D的3倍,所以目标C的重要性相当于目标E

21、的倍,即目标的定基比率为4.5,其余类推。把各目标的重要性比率换算更为以目标E为基数的定基比率后,求得这些比率的总和为13.75,即第三列的合计数,然后把第三列中各行的数据分别除以这个合计数就得到了归一化的权重值,列于表的最后一列。值得注意的是,上述方法的前提是决策者对于各目标间相对重要性的认识是完全一致的,没有矛盾,可实际上决策者对各目标相对重要性的认识有时不完全一致,致使这种方法不适用。一般可改用权的最小平方法或下面其它方法。 3 权的最小平方法这种方法也是把各目标的重要性作成对比较,如把第i个目标对第j个目标的相对重要性的估计值记作aij（i, j=1, 2, , n）,并近似地认为就是

22、这两个目标的权重wi和wj的比wi/wj。如果决策人对aij（i, j=1, 2, , n）的估计一致,则aij=wi/wj,否则只有aij wi/wj,即aijwj-wi0。可以选择一组权w1, w2, , wn,使 为最小,其中wi（i=1, 2, , n）满足 ,且wi0。如用拉格朗日乘数法解此有约束的优化问题,则拉格朗日函数为将上式对wk微分,得到(13.26) k=1, 2, , n (13.27)式（）和 构成一个非齐次线性方程组,有n+1个未知数,可求得一组惟一的解。式（）也可写成矩阵形式： Bw=m （13.28)式中w=w1 w2 wnT, m=- - -T 4 强制决定法例

23、13.4 考虑一个机械设备设计方案决策,设其目标有：灵敏度、可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共6项,首先画一个棋盘表格如表所示。其中打分所用列数为15（如目标数为n,则打分所用列数为n(n-1)/2）。在每个列内只打两个分,即在重要的那个目标行内打1分,次要的那个目标行内打0分。该列的其余各行任其空着。表13.7 机械设备设计方案选优决策中权重的计算13.5 层次分析法（AHP）13.5.1 多级递阶结构用层次分析法分析的系统,其多级递阶结构一般可以分成三层,即目标层、准则层和方案层。目标层为解决问题的目的,要想达到的目标。准则层为针对目标评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则）,可以逐

24、层细分。方案层即解决问题的方案。 图13.4 递阶层次结构例13.5 某城市闹市区域的某一商场附近,由于顾客过于稠密,常常造成车辆阻塞以及各种交通事故。市政府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家研究,制定出三种可供选择的方案：A1：在商场附近修建天桥一座,供行人横穿马路；A2：同样目的,在商场附近修建一条地下行人通道；A3：搬迁商场。试用决策分析方法对三种备选方案进行选择。这是一个多目标决策问题。在改变闹市区交通环境这一总目标下,根据当地的具体情况和条件,制定了以下5个分目标作为对备选方案的评价和选择标准：C1：通车能力；C2：方便过往行人及当地居民；C3：新建或改建费用不能过高；C4：

25、具有安全性；C5：保持市容美观。其层次结构如图所示。递阶层次结构建立的合适与否,对于问题的求解起着关键的作用。但这在很大程度上取决于决策者的主观判断。这就要求决策者对问题的本质、问题所包含的要素以及相互之间的逻辑关系有比较透彻的理解。图13.5 改善市区交通环境的层次结构13.5.2 判断矩阵 判断矩阵是层次分析法的基本信息,也是计算各要素权重的重要依据。1. 建立判断矩阵设对于准则H,其下一层有n个要素A1,A2,An。以上一层的要素H作为判断准则,对下一层的n个要素进行两两比较来确定矩阵的元素值,其形式如下： H A1 A2 Aj An A1 a11 a12 a1j a1n A2 a21

26、a22 a2j a2n Ai ai1 ai2 aij ain An an1 an2 anj annaij表示以判断准则H的角度考虑要素Ai对Aj的相对重要程度。若假设在准则H下,要素A1,A2,An的权重分别为w1, w2, , wn, 即W=w1 w2 wnT,则aij=wi/wj。 矩阵 称为判断矩阵。2. 判断尺度 判断矩阵中的元素aij是表示两个要素的相对重要性的数量尺度,称做判断尺度，其取值如表所示。（） 表13.8 判断尺度的取值 由表可知：若Ai比Aj重要,则aij=wi/wj=5,反之,若Aj比Ai重要,则aij=1/aji=1/5。13.5.3 相对重要度及判断矩阵的最大特征

27、值max的计算在应用层次分析法进行系统评价和决策时,需要知道Ai关于H的相对重要度,也就是Ai关于H的权重。我们的问题归结为：已知 求W=w1 w2 wnT。知W是矩阵A的特征值为n的特征向量。当矩阵A的元素aij满足aii=1, 时,A具有惟一的非零最大特征值max,且max（） 由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W,为此,可以先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量,再经过归一化处理,即可求出Ai关于H的相对重要度。求法如下：(1) 用计算方法中的乘幂法等方法求。(2) 用方根法求：然后对W=w1 w2 wnT进行归一化处理,即 i=1, 2, , n 其结果就是Ai关于H的

28、相对重要度。最大特征值max为其中（AW) i为向量AW的第i个元素。(3) 用和积法求： 将判断矩阵每一列归一化； 列归一化后的判断矩阵按行相加得 再对其正规化处理即可。max的求法同方根法。13.5.4 相容性判断判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满足,第三个“一致性”则不易保证。如所建立的判断矩阵有偏差,则称为不相容判断矩阵,这时就有AW=maxW若矩阵A完全相容,则有max=n,否则maxn。这就提示我们可以用max -n的大小来度量相容的程度。 度量相容性的指标为C.I.(Consistence Index), C.I. (13.31) 一般情况下,若C.I. 0.10,就可认为判断

29、矩阵A有相容性,据此计算的W是可以接受的,否则重新进行两两比较判断。判断矩阵的维数n越大,判断的一致性将越差,故应放宽对高维判断矩阵一致性的要求,于是引入修正值R.I.,见表13.9,并取更为合理的C.R. 作为衡量判断矩阵一致性的指标。C.R.= （） 表13.9 相容性指标的修正值 13.5.5 综合重要度的计算在计算了各层次要素对其上一级要素的相对重要度以后,即可自上而下地求出各层要素关于系统总体的综合重要度（也叫做系统总体权重）。其计算过程如下：设有目标层A、准则层C、方案层P构成的层次模型（对于层次更多的模型,其计算方法相同）,准则层C 对目标层A的相对权重为方案层 n个方案对准则层

30、的各准则的相对权重为 （） l=1, 2, , n （） 这n个方案对目标而言,其相对权重是通过权重与 (l=1, 2, , n)组合而得到的,其计算可采用表格式进行（见表）。表13.10 综合重要度的计算13.5.6 算例假设某高校正在进行教师的评优工作,需考虑的指标有学识水平、科研能力和教学工作。学识水平主要通过发表论文的级别和数量来评价。科研能力通过在研项目和已完成项目的情况进行评判。教学工作分两种情况,对于任课教师,根据教学工作量和学生反映情况打分；对于非任课教师,从日常工作量和质量方面评估。现应用层次分析法对待评教师的综合素质进行评价。 整个层次结构分为三层,最高层即问题分析的总目标,即要评选出优秀教师；第二层是准则层,包括上述的三种指标；第三层是方案层,即参加评优的教师。假设对五位候选教师进行评优工作,其中P2、P3和P4为任课教师,需要从学识水平、科研能力和教学工作三方面评估其综合素质；教师P5是科研人员,学校对其没有教学任务,故只需从前两个方面衡量；教师P1是行政人员,没有科研任务,只需从学识水平和教学工作两方面衡量。各位教师在三个指标上表现不同,建立这种层次结构后，问题分析归结为各位教师相对于总目标的优先次序。(1) 建立递阶层次结构,如图所示。图13.6 教师评优的递阶层次结构(2)