基本不等式精品教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3.4.1基本不等式的教学设计一、教材解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等关系与不等式”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。 二、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与

2、式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，但是在利用基本不等式求最值方面暴露对“一正”，“二定”，“三相等”不理解。三、教学目标知识目标：1.探索并了解基本不等式的证明过程； 2.了解基本不等式的代数及几何意义； 3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 能力目标：1.通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力； 2.通过了解基本不等式的证明，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、合作探究、严谨论证的良好的学习习惯和勇于探索精神. 重

3、点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并掌握基本不等式的证明过程；难点：应用基本不等式求最值四、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，通过设置的不同问题，引导学生层层递进，逐步加深对基本不等式的理解。在探究的过程中为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.五、教学过程：（一）创设情境、体会感知：第24届国际数学家大会于2002年8月在北京举行，大会会标看上去像一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。2002年国际

4、数学家大会会标 赵爽弦图通过创设情境、体会感知，学生深切感受到会标背后的数学故事，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。探究1：观察：会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？【设计意图】1培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。2鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质。师：会标中含有怎样的几何图形构成？生：四个全等直角三角形围成正方形师：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？关于

5、面积或者边长的。师：那么面积之间又有怎样的关系呢？师：在直角三角形AHD中，AH=a,DH=b,则AD=生:师：独立完成上述三个问题，不会可以小组讨论。生：大正方形面积，四个直角三角形面积，并且。师：生：（教师通过几何画板展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。）结论：（当且仅当时取等号）师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）生：由，则恒成立。则时取等号。探究2：小组合作：能否用不等式的性质进行证明？基本不等式 1.代数意义：几何平均数不大于算术平均数基本不等式有没有几何解释呢？【设计意图】用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条

6、件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。 生： 当且仅当时取等号。 师：很好，还可以写成 ，小组合作能否用不等式的性质进行证明？ 生投影展示：要证，只要证，只要证，只要证，显然式子成立，当且仅当取等号。师：根据以上代数证明，同学们已掌握 成立的。我们通常记作：这个不等式叫做基本不等式。那位同学能说出基本不等式的代数意义？生：几何平均数不大于算术平均数ABDCO探究3： 如右图，是圆的直径，点是上的一点，。过点作垂直于的弦,连接、。ABDCO如何用a, b表示OD? OD=_如何用a, b表示CD? CD=_OD与CD的大小关系怎样? OD

7、_CD你能利用这个图形，得出的几何解释吗？【设计意图】对图形进一步分析，引导学生发现几几何不等式的几何意义，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。（学生口述证明过程，教师给以引导） 证明：因为，所以。 由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然不等式当且仅当点与圆心结合，即当时，等号成立结论:（教师投影展示学生口述结果）几何解释为半弦不大于半径。独立思考，对比提升。填表比较：定理名称定理形示适用范围“=”成立条件注意从不同角度认识基本不等式牛刀小试，判断对错。【设计意图】通过填表对比，加深对重要不等式和基本不等式的理解，

8、牛刀小试考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）初步运用，归纳提升师：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例题。结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值. 简记“积定和最小”.合作探究：结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值. 简记“和定积最大【设计意图】1通过两种题型，培养学生的化归思想，提高解题能力。2题型一由老师分析讲解板书，题型二由学生根据题型一分析小组合

9、作探究。3.变式训练层层递进。巩固题型。师：此题做完你又有什么想法呢？生：和定积最大。（由上面的题引导学生会很快得出结论）师：由上面例题，同学们，能总结一下运用基本不等式解题需要满足的条件吗？（根据前面学习学生会说出至少两点）生：都为正数，取最值的条件是师：例题中运用公式取到最值的前提必须有什么？（通过教师引导学生会想到定值）生：有一个是定值。师：好，那我们给运用基本不等式满足的条件一个口诀吧？（生尝试去说，但不一定简便，但用自己的思维方式说印象会更深）师：一正、二定、三相等。师：那我们如何运用基本不等式都能求哪些最值得题型呢？下节课我们再研究。五、 反思总结，培养能力1、本节课你学到了什么？

10、2、你还有哪些疑问？【设计意图】通过提问让学生在头脑中形成自己的知识体系，自己总结检验本节课的听课效果，是否还有自己没听懂的问题一下就清楚了。六、课后分层作业必做题P100A组第一题（1）、（2）。选做题若 0 x0.5 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.【设计意图】巩固训练本节课学习内容并且给学生一个完整的独立思考，自主学习的机会。分层作业有利于因材施教。照顾各层次学生。七、教学设计说明 不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应手。 基本不等式公式的引出利用了两种方法：代数法和几何法。代数学通过图形展示，让学生自己找出不等式关系，从而引出结论。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的条件。最后用几何法，移动弦的位置更直观的看出公式形成的过程。两种方法