高考数学突破满分秒杀压轴系列1-8

1、学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数专题 1 三角函数图像与性质第一讲 正弦函数 y sinx 与 y Asinx的图像性质关系y sin y Asinxx周期 定义域 R R最大值 1，当x 取得 ，当2 22 x 取得 2最小值 -，当x2 取得2A，当2 x 取得 2 2 ,2单调增区间 2 2 2k 2k 2 2, 2 ,2单调减区间 2 2 2 2k 2 2 , 对称轴x 2x 2 对称中心 ,0 ,0 类比于研究 y sinx 的性质，只需将 y Asinx 中的 x 看成 ysin x 中的 x，但在求y Asinx的单调区间时，要特别注意 A 和的符号，通过

2、诱导公式先将化为正数研究函数y A x， y Atanx的性质的方法与其类似，也是类比、转化 【例1】函数 y 2sin3x 6 ，xR的最小正周期是（ ）p p C3p D3 3 2【解析】T ，故选 B. 3 x 【例2】函数 f x 3 6 的最小正周期为（ ） Cp D 2p3 3 【解析】T 3 ，故选A1学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数 【例3】已知函数 sin 4y A x（ 0）的最小正周期为 ，则函数 f(x)的图象（ ）关于直线xp= 对称 B关于直线4xp= 对称8关于点( ,4对称 D关于点( ,8对称 【解析】由函数 y Asinx 4 0的最

3、小正周期为T2 求得=2，y Asin 2x 4由于当2k 2x k （x 1 （ 8x 对称，8故选B 【例4】设函数 f x Asinx（ A0， 0，小正周期为 ，则（ ） ）的图象关于直线2 2x2p= 对称，它的最3 1 f(x)的图象过点 2B f(x)在 , 12 3 上是减函数 f(x)的一个对称中心是 ,0 12 D f(x)的一个对称中心是 ,0 6 【解析】由题意可得T2 ， 2 ，可得 y Asinx 再由函数关于x 对称，故3 k k 2 2 ，取 ，故函数 y Asin2x k3 2 6 6 6 2k 2k 2 , 2根据公式 可求得函数的减区间为k ，k ，B 错

4、，由于A 不确定， 6 3k 故选项A 不正确对称中心为 ,0 k ，即 ,0 2 12，k 1时，选项 C正确选项 D 不正确 【例5】函数 y 2sin2x 在 , 6 2 2上对称轴的条数为（ ）1 2 C3 D0 【解析】 y 2sin2x 4 ， x ，函数的对称轴为：x k 0，x k 2 2 6 3故选B.【例6】函数 y 2sin(3x )的图象中两条相邻对称轴之间的距离是 4【解析】两条相邻对称轴之间有半个周期，即T 1 2 2 32学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数【例7同时具有以下性质：最小正周期是 ；图象关于直线则这个函数是（ ）x p= 对称；在

5、 , 3 6 3上是增函数， xA y sin 2 6 B y 2x 3 C y sin 2x 6 xD y 2 6 【解析】T2 k k 求得=2 AD B x ,当k 时，x= ， 2 6 3单调增区间为 2k 2k 2 , k ,k 3 6，不能满足题意，C选项中对称轴为直线xk+ k 2 + ，当k 0， 2 3x ，单增区间为3 2k 2k 2 , 2 , k k 3 3 . 【例8】函数 sin2 6 y x 的单调递增区间是（ ） 5 2 , 2 B k k k Z 2k , 2k k Z 6 3 3 6 , k k k Z 6 3 D k , k k Z 3 6 【解析】 si

6、n2 sin2 y x x 6 6 ，根据题意，只需求出 sin2 的单调减区间即可. 6 y x【例9】已知函数 y Ax A0 的一段图象如下图所示，求函数的解析式【解析】 2-2 A2图中已知的两点为x ，1x22 2 2 8 故可联立方程组 43 2 8； y 2sin(2x 482038【例10已知函数 y Ax)1 ，则该函数的解析式是（ ）2x 912x 9C1 y 2sin( x ) B3 61 y sin(3x ) 2 6 1 y sin(3x ) 2 6 1 y sin(3x ) 2 6【解析】由题意可知，最大值为12，最小值为1 ，故21A ，已知的两点为2x ，1x ，

7、故可联立方程组2 2 3 9 6 4 2 9 1 y sin(3x ) 选B. 2 63学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数 【例】已知函数 f(x)2sin(2x )，求 f(x)在 0, 6 2上的最大值和最小值【解析】x1 0 ， 12x2 2 ， 6x3 ， x43 2 ， 3 则区间 0, 2包含 x ，最大值为2，在 0, 2 6 6 单调递增，在 , 6 2单调递 （如 f( ) 2sin( ) 12 6图）.【例12】若函数 f(x)2sin(x )，且fa)=2，fb)=0， 的最小值是3增区间是（ ）p2，则 f(x)的单调递 k , k k Z 12

8、12 B , k k k Z 3 6 2k , 2k k Z 3 3 5D 2k , 2k k Z 6 6 【解析】由题意可知，最大值为2，最小值为2，已知的两点为x ，1x ，故可联立方程组2 2 3 2 1 2 3 故单调增区间为 2 5 ,2 ： y 2sin(x ) k k 3 6 6选 D. 【例13（）若函数 f(x)3cos(x)对任意的 , ( ) ( )，则 ) 6 6 6x R f x f x f( 等于（ ）3 0 C3 D3f (p ) 1t f t f = - m ） （2 f(x)2cos(x)mt都有 ) ( )4 81 3 C3或1 D1或3定理：f a x f

9、 bx f x关于直线xa b ab ab 对称；f axf bxfx关于点 ,0 2 2 对称【解析】（）由题意可得： f)关于直线 x 对称；故 3f ，选D. 6 6 （2）由题意可得：f)关于直线 对称；故 2 1 3，m1，选C.x f m m8 8【例14】设函数 f x Asinx , 是常数， 0若fx在区间1 ,1 3 上具有单调性，且f f 2 f(0) 3，则下列有关 f x的命题正确的有 f x的最小周期为； 1x= 是 f x的对称轴；34学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数 5 f x在1, 3上具有单调性； y f x 5为奇函数 6f f x

10、 02 1【解析】 3 3f f 2 5= 1 ,0为对称轴， 3 6 f x f x 5为对称中心；故正确， 6表示将 y f x向左移56个单位，即关于原点对称，故正确，由于 y f x在区间 1 , 1 3 上具有单调 1 2 性，故根据对称原理可得正确； 3 T 5 66 2，故正确；答案为.第二讲 正弦函数的平移和伸缩变换函数 y Ax)的图象可以通过下列两种方式得到：1横坐标缩短到原来的 倍图象左移 1. y sinx y sin(x ) y x)纵坐标伸长为原来的A倍 y A x )1 横坐标缩短到原来的 倍 图象左移2. y sinx y sin( x) y x)纵坐标伸长为原

11、来的A倍 y A x )关键：把握先移后缩和先缩后移的区别类比可以得到： y Ax)， y Ax)的图像 定理： sin( ) sin( ) （注意平移方向） 1 2 y A x y A x 则平移单位为 2 1【例15】要得到 y cos(2x )的图象, 且使平移的距离最短, 则需将 y cos2x的图象向 方向4平移 个单位即可得到.【解析】 2,此题为先缩后移，故需将 y 2x的图象向右方向平移8个单位. 【例16】将函数 sin2 f x x 的图象经过怎样的平移所得图象关于点( ,0)中心对称（ ） 3 向右平移12向右平移6C向左平移12D向左平移6 法一： sin2 的对称中心

12、横坐标为f x x 3xk k =0时， 2 6x 6移12 个单位，即可所得图象关于点 ,0 中心对称. ( ) sin 2 f x x 的图象关于点 ,0 3 得：xk k 2 3 ，k 0时， ，故往右移2 2 6 12 12 12个单位即可.【例172019天津 f(x) AxA0， 0，|) f(x)的最小正周5学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数期为 ，将 y f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 ，则 (3)（ ）g(x)若g( ) 2 f4 82 2 2 D2【解析】因为 f x是奇函数，所以，又 f x的最小正周期为 ，则 ，得，则f x Asi

13、n2x y f x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 的函数为gx，则gx Asinx，若 2g 4，则 2 g Asin A 2 4 4 2，即 A2，则f x 2sin2x，则 2sin2 2sin 2 2 2f 8 8 4 2，故选C.【例18】函数 y 2sin2 x2cosx3的最大值是（ ）1 12C1- D52【解析】2y 2 x x 2 x x x 1 1 12sin 2cos 3 2cos 2cos 1 2 cos . 2 2 2函数1y x x 的最大值是- 故选 2sin 2cos 322【例19】若关于x的方程sin2 xasinx40在区间0,有两个不相等的实根，则

14、实数a的取值范围为（ ）a4或a 4 5a4 Ca5 Da4【解析】 x0,，故sinx 0,，设t sinx，则t 0，1，则方程sin xasinx40等价为2t2 at 40当t 0t 0 4at t 1，t0,1 f t t t在区间0,1内单调递减，即a5，由于有两个不同的解，故a5时只有一解，故a5.【例20】已知 x ， ，求函数 y (sinxx 的最大值和最小值. 4 2 【解析】y (sinxx sinxcosxsinxx1 sin cos 2sin 4x x t x x ， ， 4 2故t0, 2 ，sinxcosxt2 1 t 1 t 1 12 2 ，即 ，t0, 2

15、，故函数的y f t t 1 t t22 2 2 2 2最大值为 f 232 2 1 ，最小值为 f 0 .2 2【例21】函数 y sin2 x2cosx在区间 2 , p a 3 上的值域为1- ，2，则 的范围是（ ）46学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数A 2 2 , 3 3 2 2B , 3 3 C 2 0, 3 2 D 0, 3 【解析】 y sin x2cosx x2cosx1 x1 2，此函数在区间2 22 , 3 上的值域为 1,2 .4并且x能够取得最大值 1 2 0 2 1x x ， 3 4 31 为 ，所以 的取值范围是 ， 24 3 0, 3 ；

16、故选Csinx【例22】求 y x0,2sinx值域【解析】y sinx 2sinx2 2 12sinx 2sinx 2sinx，x0, ，sinx0，故2 2 ,12 sinx 3 ，则sinxy x 2sinx0,值域为 10, 3.【例23】求函数 ysinx1cosx2的最大值和最小值sinx1x2表示过点线 的 斜 率 ， 令 直 线 方 程 为 y1kx2 ， 原 点 到 直 线 的 的 距 离 为2k 1 413 2 4 00 k k kk 12 3sinx1y 的最大值为 cosx243值为0.法二：利用辅助角公式： asinxbx a b sin x 计算，2 2sinx1

17、2y1y sinx yx 2y 1 1 y sin x 2y 1 1 1，解得： 2 x2 1 y2 40 y . 37学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数达标训练1（2019新课标）若x ， 1 4x2 是函数 f(x)sinx 0)两个相邻的极值点，则 （ ）42 32C1 D122（2019新课标）下列函数中，以2为周期且在区间(4， )2单调递增的是（ ） f(x)|cos2x| f(x)|sin2x| f(x)|x| Df(x)sin|x|3（2019新课标 f(x)x 0) f(x)在0，有且仅有 55结论： f(x)在(0,2)有且仅有3 个极大值点 f(x)

18、在(0,2)有且仅有2 个极小值点 f(x)在(0, )10单调递增 的取值范围是5，2910)其中所有正确结论的编号是（ ） B C 4（2018新课标）函数4tanxf (x)1tan x22的最小正周期为（ ）C D5（2018新课标）已知函数 f(x)2cos2 xsin2 x2，则（ ） f(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 B f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 f(x)的最小正周期为 ，最大值为3 D f(x)的最小正周期为 ，最大值为 46（2017新课标）函数 f(x)sin(2x )的最小正周期为（ ）3 C D27（2017山东）函数 y 3sin2xcos2x的最

19、小正周期为（ ）23C D8（2017新课标）设函数 f(x)cos(x )，则下列结论错误的是（ ）3 f(x)的一个周期为 B y f(x)的图象关于直线 8x 对称3 f(x)的一个零点为x D f(x)在( 6 2，)单调递减9（2017天津 f(x)2sin(x)，xR 0，| f ， )0( ) 2 f8 88学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数f(x)的最小正周期大于 ，则（ ） 2 2 11 ， B ， 3 12 3 1 11 1 ， D ， 3 32410（2016新课标）若将函数 y 2sin2x的图象向左平移12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（

20、） k k x (kZ) Bx (kZ) 2 6 2 6 k k x (kZ) Dx (kZ) 2 12 2 12（2016新课标 f(x)x 0| )，x2 为 f(x)的零点，x4 为 y f(x)4图象的对称轴，且 f(x)在(，)上单调，则 的最大值为（ ）11 9 C7 D512（2015新课标）函数 f(x)x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为（ ） 1(k ， 4k 3 ，kz B(2 1 ) k ，k 3 ，kz B(2 14 432 )k ，kz4 1(k ， 4 3 1k )，kz D(2k ， 4 432k )，kz4第12 题图 第 题图 （ ） 13辽

21、宁 f (x) Atan(x 0,| )y f(x) f( )2 242 3 3 C33D2 3 14（2018天津）将函数 y sin(2x )的图象向右平移 5 10个单位长度，所得图象对应的函数（ ） ， ，上单调递减 4 4 4在区间 上单调递增 B在区间 在区间 上单调递增 D在区间 ，上单调递减 4 2 2，15（2017新课标）函数1 f (x) sin(x )cos(x )的最大值为（ ）5 3 69学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数651 C35D1516（2017新课标）已知曲线1 : y x，C : y sin(2x )，则下面结论正确的是（ ）23

22、C 216C2C 2112C2C 1126C2C 11212C2 的图象向右平移1 172016新课标 y 2sin(2x )个周期后，所得图象对应的函数为（ ）6 4 y 2sin(2x ) B y 2sin(2x ) 4 3 y 2sin(2x ) D y 2sin(2x ) 4 318（2016新课标）函数 y Ax)的部分图象如图所示，则（ ） y 2sin(2x ) B y 2sin(2x ) 6 3 y 2sin(x ) D y 2sin(x ) 6 319（2014四川）为了得到函数 y sin(2x 的图象，只需把 y sin2x的图象上所有的点（ ）向左平行移动12个单位长度

23、 B向右平行移动12个单位长度向左平行移动1个单位长度 D向右平行移动1个单位长度 20（2014辽宁）将函数 3sin(2 )的图象向右平移y x个单位长度，所得图象对应的函数（ ）3 2 在区间 上单调递增 B在区间， ， 上单调递减 在区间 ， 上单调递减 D在区间 ， 6 3 6 3上单调递增21（2016新课标）函数 f(x)cos2x6cos( x)的最大值为（ ）24 5 C6 D722f(x)sinx 的值域是（ ）2cosx3 3 , C2,2 D 3, 33 310学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数( x sinx 123对于函数 f x) (0 )，

24、下列结论正确的是（ ）sinx有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值既有最大值也有最小值 D既无最大值也无最小值24函数y2cosx 的最大值为（ ）2cosx1 2 C3 D不存在25函数f (x)sinx 在区间 0, 上的最大值与最小值分别是（ ）sinxcosx 21，0 12，0 C0，1 D1，1226（2019新课标）函数f(x)sin(2x )3cosx的最小值为 23 27（2017新课标）函数 ( )sin2 3cos ( 0, )的最大值是 f x x x x4 228.（2014大纲版）函数 y 2x2x的最大值是 29（2008四川）函数 f(x) 3sinxcos

25、2 x的最大值是 30（2008辽宁）设x(0, )，则函数2y2sin x12 的最小值为 sin2x31（2014大纲版）若函数 f(x)cos2xasinx在区间(6， )2是减函数，则a的取值范围是 f(x)2cos2xsin2 x4x32（2010北京）已知函数（1）求 f( )3的值；（2）求 f(x)的最大值和最小值33（2008四川）求函数 y 74sinxx4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数专题 2 两角和与差的正弦余弦和正切秒杀秘籍：第一讲 两角和与差的正余弦与正切 )sincos cossin ； )cos

26、cos sinsin ；sin 2sincos ； cos2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 ； tan tan )1 tan 2tantan .1 tan 2 1模型一：拆分角问题： =2 ；=- ； ； ；2 21 ； 2 4 2 4 . 注意：特殊的角也看成已知角，如 4 4 .模型二： cos cos sin sin 22coscos 2sinsin 22cos 2 2【例1】（2019新课标）tan255（ ）2 3 2 3 C2 3 2 3【解析】 由31tan45tan30 3tan255 18075 tan75 4530 1tan4530 31132 3 33

27、3 126 3 2 33 3 6 6，故选D.【例2】（）若 ， 为锐角，且满足cos 4 ，cos( ) 3 ，则sin 的值是 5 5 4（）若 ， 是第三象限角，则 sin 5 4 2【解析】（1） ， 为锐角sin 1 4 35 52，sin( ) 1sin( ) 1 3 4 5 52 24 3 7 sin sin sin cos sin 5 5 25 3（2）由已知条件sin 1cos2 ，sin 5 4 2 2 7 2 sin cos . 2 2 10【例3】sin34sin26cos34cos26的值是（ ）A.1232C1 D 32 21【解析】原式 cos34cos26sin

28、34sin26 60 .2【例4】若0 1 ， ， ， 0 2 2 4 3 ，则 3 （ ） 4 2 3 212学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数333 C35 3 9D69【解析】 0 ， ， 1 2 4 4 4 4 3 2 2，sin 4 3， . cos 3 6 0， sin ， 2 4 4 2 2 4 2 3 4 2 3， 2 44 4 2 cos sin 4 2 4 sin 4 2 1 3 2 2 6 5 3 .3 3 3 3 9【例5（1）若tan 3，则sin2的值等于 （2）若sin cos sin cos3，tan)2，则tan() 【解析】（）sin2

29、2sincos 22tan 236.（2）由条件知sin cos tan 1sin cos tan 13，tan 2. tan( )tan 41tan( )tan 3tan( ) tan( ).33 【例6】已知sin 且 ,5 2，则sin cos2 等于_33 【解析】sin 且 ,5 24 2 31， sin cos2 2sincos 2 1 . ， 5 【例7（ 2tan 4 5tan _sin 5 ， , 2 tan _【解析】（） tan 1 2tan 4 1 tan 5，5tan 522tan ，7tan 3，tan37.55 （2）由sin ， , 2，可得 ，tan ，tan

30、 ，tan 513 122tan 120 1 tan 119 2 .【例8（2019新课标 II）已知(0, )，2sin cos2 1，则sin （ ）21 5 3 2 5 D5 5 3 5 【解析】因为2sin2a 2a1，所以可得4sinaa 2cos2 a ，又a 2 ，则sina 0 ，cosa 0，所以cosa 2sina，又 sin a a sin a 2sina 5sin a 1，解得sin 52 2 2 2 a ，25故选 x 【例9】已知函数 2sin f x xR3 6 13学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数（1）求f 5 4 的值； （2）设 、

31、， 2f 10 2 136， f ，求cos 的值3 25 x 【解析】（） 2sin f x x R3 6 ，f f 5 4 2sin 52sin 2 12 6 4. （2） , 2，f 10 2 13 6， ，2sin f 6 ，2sin 3 2 5 13 2 5，即sin )= - . ， 35 ，cos ，sin 4， sin sin 16 5 13 5 65 【例10】已知tan 2 4，tan .（1）求tan ）求 sin 2sin12 2sinsin 的值 1 4 2【解析】tan 2 4 1 tan1 tan421tan tan32tan 3 1 tan 4 2.（2） si

32、n 2sincos sincos cossin 2sincos cossin sincos sin 2sinsin cos 2sinsin coscos sinsin coscos sinsin cos tan tan 1 tan 1tan tan 7.【例11】（1）设 ，sin sin 11 ，求 )的值；2 3（2）若, 是锐角，且sin sin 1 ， 1 ，则tan _.2 2【解析】（1） cos cos sin sin 22coscos 2sinsin 22cos 2 22 21 1 59 2 2cos 2 3 36 72（2）sin sin . ，cos cos 1 ，两式平方

33、相加得：2 2cos 2sin sin 112 2 21 , sin sin 1 03即 2 2cos 02 4 2 0.2 ， 2sin 7 sin 1 cos ， sin 72 74 3.秒杀秘籍：第二讲 两种辅助角公式第一类：一次辅助角 f xasinxbcosxf x a xb x= a2 b2 sin(x)(辅助角由点(a,b)决定,tan b sin cos ).a例如： cos =1 1 ) 2 )2 2414学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数 3 = 1 3 ) 2sin( ) ， 3 cos =2sin( )2236f x asinxcosxbcos2

34、x a,b 0 第二类：二次辅助角 a b a b b b2 2f x sin2x cos2x 1 sin 2x tan 2 2 2 2 a若遇到sin2 ，则通过公式sin2 1cos2 转化成cos2） cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 2 2cos2 1（2） 2sin ( ) sin 1 2sin 2 24【例12】求证：asin bcos = a2 b2 ) tan b ）a证明：作一直角三角形如图，其中b a a bsin ;cos c c asin bcos = sin cos sin sin c c c c (tan bcsin a b sin )同理

35、可得： acos bsin = a2 b 2 2aa)【例13】若方程2 3sinxx2cos2 x k 1有解，则k 22 3 2 2 2【解析】 2 3sin 2cos sin 2 2sin2 1， x x x x x22 2 6 2sin 2x k 2 2,2 k 4,0 . 6 ，则 4【例14】已知sin 3 sin 的值为（ ）cos 36 54535C32D35【解析】由条件得3 3 4 3sin 3 ，即2 2 5 2 41 3 4sin cos ，sin 2 2 5 3 5 .2 3【例15】已知函数 f x 3sin xsinxx xR .2 （1）若x 2，求 f x的最

36、大值；1（2）在ABC 中，若 A B， f A f B ，求 、B、C的值2【解析】1） 1sin2 31 cos2 3 sin 2f x x x 0 x x 2 2x 2 2 2 3 2 3 3 3当2x 时，即 3 2x 时， f x的最大值为 1.12 （2） sin 2f x x 3，若 x 是三角形的内角，则0 x ， 2 1 .令 ，若 x 是三角形的内角，则0 x ， 2 1x f x ，得3 3 3 215学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数 1sin 2x 3 22x 或2x 3 6 3 6x 或 x .由已知 AB 是ABC 的内角，A B4 121且

37、 f A f B ，2A ， 7 B ，C ， 74 . 6注意：解答题不能直接用二次辅助角公式，中间需要一个二倍角公式来过渡【例16】已知函数 f x 3sinxx xR ，若 f x1，则 x的取值范围为（ ） , x k x k k Z 3 B x 2k x 2k ,k Z 3 x k x k ,k Z 6 6 D x 2k x 2k ,k Z 6 6 2sin 6 f x x ， f x12sin 1x 6 1sin x 6 2 ，解得 2 2 象可知满足 2k x 2k k Z k x k k Z6 6 3 【例17】已知函数 f x 2sin x 3cos2x2 4（1）求 f x

38、的周期和单调递增区间；. （2）若关于x的方程 f xm2在 ,x 4 2上有解，求实数m的取值范围 【解析】(1) 4 3f x 2sin x 3cos2x 1 2sinxcosx 3cos2x 1 sin2x 2sin 2x 1，2 周期T 由2 2 2 解得，单调递增区间为 k x kk ,k k Z 2 3 2 12 12 （2x , 4 2 22 , x3 6 3 sin 2x 31 ,1 2 f x的值域为2, f xm2，m22,，即m0,1 . 【例 18】设R ， f x x asinxx x 2 2 ，满足 0f f 3，求函数 f x 在 , 4 上的最大值和最小值 3

39、1【解析】 f x x x x 由 0sin 2cos 1 得 12 f f ，解得a2 3 3 2 2 216学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数 f x 2 3sinxx 2cos x 1 2sin 2x2 因此 6 ，当 2k 2k 2 6 , 2 6x 2 2 时，化简得 xk k , 6 3 ，(x)单调递增，即x , 单调增， 4 3 11 x , 3 24 单调减，显然单调减区间的范围大于单调增区间的范围，所以 f x的最大值为f 32.f()的最小值为f11 24 2.达标训练11（2018新课标）若 ，则cos2 （ ）sin 38979C 7 8 D 9

40、 92（2018新课标）若 f(x)xsinx在0，a是减函数，则a的最大值是（ ）42C4D32018新课标 x a)B(2,b)，2且cos2 ，则 ab （ ）31555C2 55D134（2017山东）已知x ，则cos2x（ ）41 414C1 D81845（2017新课标）已知sin cos ，则sin （ ）317学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数7 92 C929D796（2015新课标）sin20cos10cos160sin10（ ）3 232C1 D2127（2015重庆）若 1tan ， 31 ) ，则tan （ ）21716C57D568（2015

41、四川）下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ） y cos(2x ) y sin(2x ) C y sin2xcos2x D y sinxcosx2 29（2018新课标）已知sin cos 1，cos sin 0，则 ) 10（2018新课标）已知 1 ) ，则tan 4 5 （2017新课标）已知(0, )，tan 2，则 ) 2 412（2017江苏）若 1 ) 则tan 4 613（2016浙江）已知2cos2 x2x Ax)(A，则 A ，b 14（2016上海）若函数 f(x)4sinxax的最大值为5，则常数a 15（2016四川）cos2 sin28 816（

42、2016新课标）已知 是第四象限角，且sin( ) 3 ，则 ) 4 5 417（2015浙江）函数 f(x)sin2 xxx1的最小正周期是 ，最小值是 18（2015江苏）已知tan 2，tan( ) 1 ，则tan 的值为 719（2018北京）已知函数 f(x)sin2 x 3sinxx（1）求 f(x)的最小正周期；（2）若 f(x)在区间 ，m上的最大值为 33 2，求m的最小值202018浙江 的顶点与原点O xP(3， 4) 5 518学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数（1）求 )的值；（2）若角 满足sin( ) 5 ，求cos 的值21（2017北京）

43、已知函数 f(x) 3cos(2x )2sinxcosx3（1）求 f(x)的最小正周期； （2）求证：当x ， 4 4时， 1f(x 222（2015重庆）已知函数 f(x)sin( x)sinx 3cos2 x2（1）求 f(x)的最小正周期和最大值；（2）讨论 f(x)在6，3上的单调性23（2014福建）已知函数 f(x)2cosx(sinxx)（1）求f( )4的值；（2）求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间19学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数24（2019浙江）设函数 f(x)sinx ，xR（1）已知0，) ，函数 f(x)是偶函数，求 的值； （2

44、）求函数 y f(x 2 f(x 2 的值域 420学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数专题 3 正切恒等式秒杀秘籍：第一讲 正切恒等式 tanAtanBtanC AtanBtanC当A BC k时A tanB+【证明】 tanA B) , tanC tanA B) tanA tanB tanC1 tanA)+ = = - + + = - -1 AtanB-故tanAtanBtanC tanAtanBtanC【推论】A B 1 A B 1tan tan tan （当 ABC 时）C C2 2 2 2 tan 2 2A B C A B C A B C+ p + p p 【证明

45、】 A B C 0 tan+ + =p = - - - = + - - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B 1 A B 1p= - - + - = - tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2 tan 2 2 tanC C 2 2【例1】tan70tan10 3tan70tan10 【解析】tan70 10 120 tan70tan 10 120 70tan10 3 3701070tan10 370tan10 31 【例】已知 4 51tan （ ），则tan( )44 5 4 5 C4 5 D4 5 1 tan 45 tan 【解析】 45 4 5，故选

46、 A.1tan 1tan45tan【例3】已知 ，则tan)（ ）42 2 C1 D1【解析】 tan tan tan45tantan tan45tantan tan tan 1tantan tan 12 ，即tan)2. 的值 【例4】求tan( ) tan( ) 3tan( )tan( )6 6 6 6【解析】由于 ，故tan( )tan( ) 3tan( )tan( ) 3 6 6 3 6 6 6 6【例5】计算tan12tan3)45) 【解析】根据45角性质可得：tan144)2，tan2tan43)2，tan3tan42)2以此类推，可以得到tan1tan2tan3)tan45)2

47、 tan45)2 【例6】在锐角ABC 中，tanAt 1，tanB t 1，则实数t的取值范围是（ ）( 2 ,) (1,) C(1, 2) D(1,1)【解析】由题意可知，锐角ABC 中，tanA0t 10，tanB 0t 10tantAtanBtanC tanA tanBtanC t tanC t tanC tanC ，故 2t 2221学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数需满足条件t 2 .秒杀秘籍：第二讲 二倍角定理及模型sin 2sincos . cos2 sin cos sin cos sin .2 2降幂公式：sin2 1 cos2 ;cos2 1 cos2

48、 ； sin cos sin2 .2 2 2模型一：令sin cos t， 1sin sin cos t 2sin )；cos2 t 2t22 2 24 令sin cos t ， 1sin sin cos t 2sin )；cos2 t 2t22 2 24模型二：形如cos2 cos4 cos8cos2n 的化简， sin cos2 cos4 cos8 cos2 1 sin2 n n1cos2 cos4 cos8 cos2 nsin 2n sin 的值为（ ） 【例】若sin ，则 2sin( ) 4 1 7 1 7 C D 5 5 5 52 49 7 2【解析】 1sin2 sin 2sin

49、( ) 2sin( ) 4 25 4 51【例8】已知sin cos ,(0, )，求cos2 321 1 17【解析】sin cos ， (0, ) sin 233 3， cos2 cos sin cos sin 1 17 17 3 3 9 【例9】求值：cos36cos72 .【解析】原式1 1 1sin72cos72 sin144 sin 18036 sin36 cos36 cos72 2 4 4 1 sin36 sin36 sin36 sin36 4【例10】已知 3psin x + = 4 5 ，则sin2x 2 3 3 2 t 1 72【解析】 sin x sinx x sinx

50、x t sinxx 4 2 5 5 2 ，sin2x725【例11】已知1 sin cos ，0ap，则sin ，sin 5 4 ，sin 2 2sin2 cos2 1 1 t2【解析】sin cos t sin sin2 5 2 4 2 2 31 2sin cos 0 45cos2 0，sin = . 4 2 25 50【例12】若a（，3cos2 sin ，则 sin2的值为 4 ， 2 2 2 2【解析】 3cos2 sin 3 cos sin cos sin cos sin cos sin 4 2 6t22学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数则sin2 2 1 17

51、 t .18达标训练1（2019四川模拟）在ABC 中，若tanAtanB tanAtanB1，则cosC （ ）2 222C1 D2122（2019重庆模拟）在锐角ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为a，b ，c 若a bsinC ，则tanAtanBtanC的最小值是（ ）4 3 3 C8 D6 33（2018云南期末）tan36tan84- 3tan36tan84=（ ） 3 3 C3 D3334（2018武汉期末） 3tan12tan60tan18tan12tan18（ ）33 3 C1 D35（2018青羊期末）tan21+tan24+tan21tan24=（ ）1 1 C

52、3 D 36（2018贵阳期中）ABC 的三个内角 A，B，C所对的边分别是a，b，c ，若c 2 3，tanAtanB ，则ABC 的面积的取值范围是（ ）3 3tanAtanB 3 ,) (0, 3 C(1, 32 3D(0, 272018江西期中 ABC 中 A，B，C所对的边是a，b，c ，GAGBGC 0GAGB0，若tanA m ，则实数m的值是（ ）tanBtanAtanB tanC1213C14D158（2018武汉模拟）在ABC 中，C 60， tan 1 tan tan tan A B ，则 A B tan A B ，则 A B 2 2 2 23 39（2018金安期末）在

53、ABC 中，若tanAtanB tanAtanB，则角C 3 310（2018金水期中）在ABC 中，已知三内角满足2B AC ，则tanA C 的值A Ctan 3tan tan2 2 2 2为 （2018上海期中ABC sinA3sinBsinC tanAtanBtanC 的最小值是 12（2017浙江月考）在ABC 中， tan 1tan A B ，则2 2tanC2的取值范围为 13（2018江苏模拟）在锐角ABC 中，若tanA ， tanB ， tanC 依次成等差数列，则tanAtanC 的值为 14（2017江苏模拟）ABC 中，角 A，B满足tan(AB)3tanA，则tan

54、B 取到最大值时角C 23学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数15（2018甘肃二模）在ABC 中，若tanA:tanB:tanC 1:2:3，则A 16（2018杭州月考）已知ABC 中，tanA，tanB 是方程x2 ax40的两个实数根（1）若a 8，求tanC 的值；（2）求tanC 的最小值，并指出此时对应的tanA，tanB 的值17（2018四川模拟）在锐角ABC 中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知b asinC 2（1）求1 1+ 的值；A tanC（2）求tanB 的最大值24学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数专题 4

55、函 数之卡根法 表一：正弦函数 y sinx 与 y Asinx的图像性质关系y sin y Asinxx周期 最大值 1，当最小值 -，当x 取得 A，当2 2x2 取得2-，当2 x 取得 22 x 取得 2 2 ,2单调增区间 2 2 2k 2k 2 2 , 32 ,2单调减区间 2 2 3 2 2k 2 2 , 对称轴x 2x 2 k 对称中心 ,0 ,0 表二：余弦函数 y cosx与 y Acosx的图像性质关系y cos y Acosxx周期 最大值 1，当x2 取得 A，当x k2 取得最小值 -，当x2 取得 -A，当x k2 取得2 2 单调增区间 2 ,2 , 2 2 单

56、调减区间 2,2 , 对称轴 xx k ,0 对称中心 k 2 2(,0)24学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数根据上一讲的内容，这一讲主要针对一些动态的三角函数涉及的取值范围题型，进行卡根法来破解.秒杀秘籍：第一讲 为定值卡根此类型题就是根据题意，给定的区间宽度 ba 与函数周期nTnZ的关系建立即可定理：任意对称轴（对称中心）之间的间距为nT2；最大值与最小值的水平间距为(2nT2任意对称轴与对称中心之间的间距为(2nT4；以上情况当n1时取得最小值【例12019新课标 IIx ，x1 42 是函数 f(x)sinx 0) （ ）42 321 D12【解析】 因为x

57、， 1 4x2 是函数 f(x)sinx 0)两个相邻的极值点，故 ba , 4 4 4 2T 即 ,2 2 所以=2故选A.【例22017天津 f(x)2sin(x)，xR 0| (5)2， )0，f f8 8且 f(x)的最小正周期大于 ，则（ ）2 2 ， 11 ， 3 12 3 1 D 1 ， ， 113 3 24T 5【解析】 由 f(x)的最小正周期大于2 f( )=2 ，4 2 8f11( )=08T 11 =4 8 8 4，25学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数所以T ，则 2 =3 ，即= ，对比 y sinx图像可知，当x2k 时取得最大值，故2 3

58、22k 2 5 f(x) =sinx)时，当x k ，因为 ，所以= ，故选择A.2 8 12 12x y sinx卡住根x y Ax)的根为xx 0 来转0换.【例 3（2015天津）已知函数 f(x)sinxcosx ，xR，若函数 f(x)在区间(,)内单调递增，且函数 y f(x) 的图象关于直线x 对称，则 的值为 f(x)在区间,内单调递增，0【解析】 因为 f (x)=sin x cos x 2 sin( x )4 2k 2k 2k 2k+ 4 4 4 4 kZ ， k Z，故可得： 所以解的 2 1 30 2k k Z 0 2k+ k Z k kZ ，所以k 0 ,又因为由 且

59、 2 ，即 4 4 8 8 k k ，可解得函数 f(x)的对称轴为 2 4 4 x k k Z x kZ，所以由函数4 2 f x的图像关于直线x对称，可得 2 ，即 .故答案为4 22.【例4（2014北京 f(x) AxA， ， 是常数，A0， 0)若 f(x)在区间6， 2上具有单调性，且 ，则 f(x)的最小正周期为 2f( ) f( ) f( )2 3 6【解析】由 f f 2 3 可知函数 f x的一条对称轴为x 2 3 .2 12 f f 2 6 ,则 f x 有对称中心 ,0 3 ，由于 f x在区间 , 6 2上具有单调性，则 1 T T2 6 2 3，从而7 T .T 故

60、答案为 .12 3 4秒杀秘籍：第二讲 限定周期的卡通常在固定的一两个周期内，给予单调性的限定或者值域的限定，对 或者 会有一个区间限定，此26学习数学 领悟数学 秒杀数学 第 一 章 三 角 函 数类型题就是要卡住两个临界点，通常可以找出 y sinx 的范围，再推导至 y Ax)当中.常见的卡根数学语言转化如下：k T f(x) Ax)在区间(a,b)内单调 b a 且 22 k ， 2a b （图1）k T同理， f(x) Ax)在区间a,b内单调 b a 且 22 k ， 2a b图1 图 2 T 且 k a ，b (k f(x) Ax)在区间(a,b)内没有零点 b a （图 2 T