考研数学一真题及答案

1、2010年 考 研 数 学一、选择题(18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的。)?极限？?蜉e?=(A)1(B)?(C) ?-?(D)?-?【考点】Co【解析】【方法一】这是一个“ 10”型极限?.劣(？-?)(?+?.劣(？-?)(?+?= ?+?国ccJ?-?)(?+?)(?-?+? (.- 一 + .?，?-?+?:?-?)(?+?) , (?-?)(?+?)?-?【方法二】?原式=? (?-?)(?+?)?f OO而?= ?(彳?-? ?+?.8(?-?)(? + ?)?.8V (?-?)(? + ?/=?(等价无穷小代换)? S(?-

2、?)(?+?)=? ?名则?名则?;?_ ?-?【方法三】对于”18”型极限可利用基本结论: 若？?？?= 0, ?= 0,且？?？= ?则？渤1 + ?/?= ?名求极限由于？?？ = ?s?-?)(?+?) ? roo? roo,(?-?)(?+?) .一= /?)?+? ?2 ? .8 (?-?)(? + ?)?_ ?-?【方法四】?-另(?？-?(?+?-另(?？-?(?+?=?f。?-?)(?+?-?=? ?)-?+ ?) = ?啊?夕？ = ?-?_ , V cd _ , , 1 cT? 00? 00?综上所述，本题正确答案是Co【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及

3、无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限设函数？?= ?(?出方程？?:?5 = 0确定，其中？为可微函数，且？?2 0,则？?+ ?_ ?- =?(A) ?(B)?(C) -?(D)_?【解析】因为B。?则？?+ ?_ ?- =?(A) ?(B)?(C) -?(D)_?【解析】因为B。?(-谴)+?2 (-声)_?1?1 ? +?I ? 2 ?,?_?= 一 ?小? ?1.2 ?1 ?所以？?+ ?/?= ?-坦?=史?= ? ?综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微分设？,?为正整数，则反常积分g .，?)?收敛性(A)仅与？册取值有关

4、(B)仅与？?勺取值有关（C）与？,?（C）与？,?的取值都有关(D)与？,?酌取值都无关【答案】a本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在？ 0+和？” 1 时无界1 ?/ ?-?)?1 ?/?-?)”?1 ?/ ?-?)?1 ?/?-?)”?在反常积分?被积函数只在？ 0+时无界。由于?/?-?)0,?V ?- ?)? = 0?-+-10的?1,1 ? / 3 人已知反常积分唬支?敛，则g 一?也收敛。在反常积分/2?/ ?悠?-?)?曲，被积函数只在在反常积分/2?/ ?悠?-?)?曲，被积函数只在？然 1-时无界，由于?/ ?改7-?)?0? 寸?2?1-?)?-f2?(1-

5、?)?()? ?-f2?(1-?)?()? -1-=VI-? -! 、(1-?)=0（洛必达法则）且反常积分/ -?= 2 收敛，所以/ ?7W?、?敛综上所述，无论？,?取任何正整数，反常积分/ 1 ?警?）？?敛。综上所述，本题正确答案是a【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分?=1 (?+?)(?+?0)?. 4 ?而E ?. 4 ?而E ?(B)1?1?（i+?）（i+?）_/i _/i 1(C) 4 ? Ek ?(D)111? ?1-?心 心(1+?)(1+? 2)【答案】Do【解析】因为尸？?=1 尸？?=1 (? + ?)(冷+?修)?(1+?汽1+( ?)2)?蜀?_1?

6、S - ?蜀?_1? S - 1魂111名？? ?(1+?)(1+? 2)(1+?(1+(?% F?综上所述，本题正确答案是Co【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用设？为？x?巨阵，？妁?x ?巨阵，？为?新单位矩阵，若?= ?则(A)秩r(? = ?秩(？? = ? (B)秩r(? = ?秩r(? = ?(C)秩 r(? = ?狱(？ = ?(D)秩 r(? = ?难(？ = ?【答案】A【解析】因为？? ?为？怖单位矩阵，知？?= ?又因 ？?w min? (?,?(?)故?w ?,? w ?(?)另一方面，？为？x?巨阵，？次?x ?巨阵，又有?

7、?,?(?齐?可得秩 r(? = ?秩 r(? = ?综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数一矩阵一矩阵的秩(6)设？为4阶实对称矩阵，且？ + ?= ?若？?勺秩为3,则？才目似于 TOC o 1-5 h z 11(A) 11(B)11-1001-1(C)-11(D)-11-1-100【答案】a【解析】由？?？= ? ?知？?= ?那么对于？ + ?= ?推出来(? + ?)?= ?2? + ?= 0所以？?I勺特征值只能是0、- 1再由？气实对称矢!阵必有?而？是？酌特征值，那么由？?？= 3,可知D正确综上所述，本题正确答案是a【考点】线性代数一特征值与特征向量一实对称矩阵的特征值

8、、特征向量及其相似对角矩阵 TOC o 1-5 h z 0,?殳 0,设随机变量？?I勺分布函数？= 1，0? 1.1(A)0(B)2(C)；- ?(D)1- ?【解析】一一 一 11,?= 1 = ?i)- ?1 - 0)= 1 - ? - 2 = 2- ?综上所述，本题正确答案是Co【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一随机变量分布函数的概念及其性质(8)设?(?为标准正太分布的概率密度，？氯?为-1,3上均匀分布得概率密度,若?= ?, ?0, (? 0, ? 0)1 ?, ? 0,1为概率密度，则？?应满足2?+ 3?= 43?+ 2?= 42?+ 3?= 43?+ 2?= 4(

9、D) ?+ ?= 2(C)?(D) ?+ ?= 2【答案】A。【解析】根据密度函数的性质 TOC o 1-5 h z + OO0+OO1 = r?)?/ ? r ?IJ I J J I I / J I / -oo- OO00+00=?f ?/ ? J I I Jh J J I 卜 -000NN!?为标准正态分布的概率密度，其对称中心在 ？?= 0处，故J1/ ?1(?-ooJ?为-1,3上均匀分布的概率密度函数，即1.一,-1 ?c 3?= 40,其他+ OOr ? r 22 / J00所以 1 = ? + ?,可得2?+ 3?= 4综上所述，本题正确答案是A。3 134? 4【考点】概率论与

10、数理统计一随机变量及其分布一连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布、填空题（9 14小题，每小题4分，共24分。）?= ?-?,?2?(9)设 ?= /?(? + ?)?则诉?1 ?=0【答案】0。【方法一】? ? (?)?(?？ + ?) 一= =-?(?+ ?)? (?) -?-?.?-T = -?-?1 + ?) ?1-L= ?2?1?专？ ?彳？2?k?+ ?+ ?)?2?则用?=0= 1?0+0 = 05【方法二】由参数方程求导公式知，?_ ?(0)?(0)- ? (0)? (0)砺?=0=? (0)?(?)?= -?,?(?)?= ?-?,?彳0) = -1, ?(0) =

11、1,入 一 2?,一?乳?= ?1 + 啊,?(?= 12?,?(0) = 0,?(0) = 0代入上式可得知?=0=0。【方法三】由？?= ?-?得，2? -?|?= /0-?+ ?)?= /0-?+ ?)?+ ?)2?竺?=?(1+?-2? ? 卜 )1+ ?名？当？?： 0时?= 1,贝U?| 0= 0综上所述，本题正确答案是0。【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法22(10)(V?【答案】-4兀。【解析】令V?= ?则乂= ?,? 2?r ./?；? r 2?=?=?jv v 0 j / 000=2?0?lj?？

12、=4?/？?？综上所述，本题正确答案是-4?。【考点】高等数学一一元函数积分学一基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法（11）已知曲线？?勺方程为？?= 1- |?,?6 -1,1 ,起点是（-1,0 ）,终点是（1,0）,则曲线积分 4?【解析】【解析】如图所示？?= ?+ ?,其中所以 J?:?= 1 + ?(-1 ? 0),?:?= 1 所以 J? r ?=(?1 + ?+ ?1?1 + ?- ? ?=(2? + ?/? 2? ? 0综上所述，本题正确答案是02综上所述，本题正确答案是02综上所述，本题正确答案是3【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概念

13、、性质、计算和应用(13)设?？ = (1,2,-1,0) ? = (1,1,0,2)?,? = (2,1,1, ?,若由？,？,？生成的向量空间的维数为2,则？?=【答案】6。?,?, ?生成的向量空间的维数为12(?,?,?) = ?,?, ?生成的向量空间的维数为12(?,?,?) = 2-10所以可得？ 6 = 0,?= 62,11 02所以可知,211-0101100?,?,?) = 223 I ? 6I 0综上所述，本题正确答案是6。【考点】线性代数一向量一向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念?(14)设随机变量？?勺概率分布为?= ?= ?!,?= 0

14、,1,2,?,则？?=【答案】2。泊松分布的概率分布为？?= ?= ?-?,?= 0,1,2,?, 随机变量？酌概率分布为？?= ?= ?!,?= 0,1,2,?对比可以看出？?= ? ,?(1)所以？= ?= 1,而？?= ?+ (?) = 1+12=2综上所述，本题正确答案是2。【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一常见随机变量的分布;概率论与数理统计随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。(15)求微分方程？ - 3? + 2?= 2?勺通解【解析】由齐次微分方程？- 3? +

15、 2?= 0的特征方程?- 3?+ 2 = 0?= 1, ?= 2所以，齐次微分方程？ - 3? + 2?= 0的通解为?= ?+ ?2?下 i 设微分方程? - 3? + 2?= 2?酌特解为? = ?(?)?则(?)= (?+ 2?)?(?) = (?+ 4? ? 2?+ 2?)?代入原方程，解得?= -1, ?= -2故特解为? = ?(-?- 2)? /所以原方程的通解为?= ?= ? = ?+ ? + ?(-?2 2)? 下 i I 1 【考点】高等数学一常微分方程一二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(16)求函数？?？= /? - ?)-?2?单调区间与

16、极值函数？?的定义域为(-8,+8),?吊?2?吊? =/ 笛-?)?平？? r ?-?2? r ? ? M,/111?挈?(?= 2?f ?2?2?-?4 - 2?-?4 = 2?/ ?-?2?11?(- -1)-1(-1,0)0(0,1)1(1, +)?-0+0-0+?(?极小极大极小令?(?= 0 ,得？?= 0,?= 1,列表如下由上可知，?(?)单调增区间为(-1,0)和(1,+8); ?(?)单调减区间为(-8广1)和(0,1),极小值为1?1) = / (? - ?)-?2?01极大值为?0)=0.21”21 J 11/ (-?)? ? / ?发？?？ -?-? | = -(1

17、- -110202?【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，函数单调性的判别函数的极值高等数学一一元函数积分学一基本积分公式，积分上限的函数及其导数(I)比较1?+ ?)竹?？/？胃？?= 1,2,?)的大小，说明理由;1 一(II)记？?= /|?+ ?)?= 1,2,?),求极限？?根 0? -00 【解析l(I) 当0W?C 1 时，因0W?+?户？?所以0 |?+ ?)?w?!?所以有 才|?R?1?+ ?)竹?？ 不 ?胃？?= 1,2,?) (II)【方法一】由上可知,0?为？?？（?+i）20 ?= / |?+ ?)?/ ?|?0?为？?？（?+i）21i?+11g

18、?q?-?垢？?所以？?J? 0由夹逼定理可得？?领=0? S【方法二】由于？?增函数，则当？笠0,1时，?+ ?户?2而有 TOC o 1-5 h z ii0 ?= / |?i?+ ?)?/ |?,00iiir |? - r ?+? r ? ij I J KI I * * J 1000又？?= 0,由夹逼定理知？?= 0? f oo? f OO 【方法三】已知 ii0 0使得 0 |?贝(J / ?用？? ? ? ?M ? 乌/、r I。| ”V0 ?由？? 0及夹逼定理知？?？?= 0? f8? -8 【考点】高等数学一函数、极限、连续一极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则高等数学一

19、一元函数积分学一定积分的概念和基本性质(_1) ?-1(17)求哥级数 少力=?1？?的收敛域及和函数。【解析】? -8赳?r2（2?- ? -8?|?J-?（2?+ 1） |-? 1?-1 2? 1即-1 ? 1时，原哥级数绝对收敛?-1?= 1时，级数为。4(-2?丁，由莱布尼茨判别法显然收敛，故原哥级数 的收敛域为-1,1。?-1?-1 一XE?=1(-)-?= ?%1二?-1 2?-12?-1(1) ?-1令？?？=1?=1?二？?-1 ,?6 (-1,1)2?-1则？?(?= K?=1(-1) ?-1?(?-1)=表所以？?？=?(?)?由于？?0) = 0,所以？?= 0所以？?？

20、= ?所以哥级数的收敛域为-1,1,和函数为？?,。【考点】高等数学一无穷级数一哥级数及其收敛半径、收敛区间 (指开区间)和收敛域，哥级数的和函数，简单哥级数的和函数的求法，初等函数的哥级数展开式(18)设?为椭球面？?？+ ?+ ?- ?1上的动点，若？在点？处的切线平面 与？?整直，求点？酌轨迹？并计算曲面积分？ ？ 上萼等我?我二，4+?吊+?用-4?中工是椭圆球面？位于曲线？北方的部分。【解析】【解析】求轨迹？?令?？= ?+?+ ?- ? 1,故动点？?(?？?)切平面的法向量 为?= 2?2?2 ?2?2 ?I , I由切平面垂直？?？得2?2 ?= 0?+ 3? = 1a?= 0

21、为？?勺轨迹?又已知？为椭球面?+ 3? = 1a?= 0为？?勺轨迹?+?+? ? 12?2 ?= 0再计算曲面积分因为曲线？在？?？勺投影为？? ?+ 3? = 1又对方程？+?+?- ? 1两边分别对？?家导可得解之得?2?+ 2?- ?= 0?解之得?2?+ 2?- ?= 0?,2? 2?-； ? ?= 0?_2?-2?_ 2?-?-2?2 + (2?)2 ? 2 + (2?)2 ? ?-2?dS=，1 + ?+ ?/1 + (彳/V 4?+5?2+5?2 -8?4+? +?乎-4?=?|?-2?|?-2?|v3)? TOC o 1-5 h z 于是？ ?+?：2?1 ? ?(?+v3

22、)?二，4+?+?2-4?V3?” ?X?X 1 x4= 2?a/3【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、性质及计算?11?(19)设？?= 0 ? 1 0 ,?= 1.已知线性方程组? ?存在2个不同的解 11?1(I)求？?？(II)求方程组？?？酌通解(I)因为已知线性方程组？?？ ？存在2个不同的解，所以 TOC o 1-5 h z ?(? = ?(? ?J I f ?11故|?=|0 ? 1 0| = (? 1) |. 4= (?+ 1)(? 1)211?1 知？?= 1,-1当？?= 1时,_111?= 0 0 0 ?1,1111显然？?？= 1, ?(?= 2,此

23、时方程组无解，？?= 1舍去，当？?= -1时,3 TOC o 1-5 h z _-111?10-12?= 0-20|1 -010|111-11000-2?+ 2因为？?？ ？有解，所以？?= -2即，？?= -1 , ?= -2(II) ?= -1 , ?= -2 时，已知3 TOC o 1-5 h z _10-12?7 010 | J000 - 20 所以？?？ ？酌通解为?=1 3 ?=1 3 -1 +1 ?01其中？为任意常数【考点】线性代数一线性方程组一非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解(21)已知二次型？?,？?,？?)= ?我正交变换？?= ?的标准形为？

24、?2 +?2,且？勺第三列为(q,0,日)?？(I)求矩阵？(II)证明？?+ ?为正定矩阵，其中？为3阶单位矩阵。【解析】(I)二次型？?,？?,？?)= ?正交变换?= ?的标准形为?2 + ?2 , 可知二次型矩阵？?勺特征值是1,1,0。又因为？勺第三列为(1,0,。)?,可知？ = (1,0,1)?谑矢!阵？在特征值？?= 0 的特征向量。根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设 ？兴于？= ?= 1的特征向量为？?= (?,?,?严, 贝U? = 0,即？+ ?= 0取？ = (0,1,0) ? ? = (-1,0, -1) ?= (?,?3,0)(?,?,?犷?= (?,?3,0)(?,?,?犷0-100-11-11001 000100 11 TOC o 1-5 h z 010110 -1=10010 0 -1=1001022=01001111202- 2 02(II)由于矩阵？?勺特征值是1,1,0,那么？?+ ?勺特征值为2,2,1,因为？?+ ?勺特征值全大于0,所以？?+ ?在定【考点】线性代数一二次型一二次型及其矩阵表示，二次型的秩，二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性(22)设二维随机变量(？?