直线参数标准方程转换

1、x xo tcos，y yo tsin .(I)这是过定点Po（Xo,yo）,倾角为 的直线的参数方程，t为参数，t的几何意义是直线上一动点 P（x，y）到定点 Po（XoM）的有向距离。对于方程（I）的应用本刊1985年第5期谈直线的 参数方程及其应用一文较详尽的论述过。本文将介 绍直线的另一种形式的参数方程。x x at,ox x at,oy yo bt.（高中平面解析几何甲种本P161 第1(3)题)为了和方程（I）的参数区别开来，不妨把上述参数 方程表为x x aT, oy yo bT. （T 为参数）（n）通过消去参数t易知方程（n）表示是过定点bP（xo,yo）,且斜率为a的直线方

2、程。下面我们借助于方程（I）来探求方程（n）的参数T的几何意义对于常数a.b,我们总可以找到一个实数K使得a2 b2 K2 成立，则不妨设 a Kcos , b K sin （0 w ）o从而（n）变为x xo TKC0Sy y。TKsin（田）比较（i）、（n）可知，（田）是过定点 因为力,且 倾角为 的直线方程，其中参数TK为直线上一点P（x, y）到定点Po（Xo，y。）的有向距离，又K=八2bsin P 口K ,且 0W 。.K与b同号，即土忑。的士号的选取与b的符号 一致。故方程（n）的参数T的几何意义是直线上一点P（x，y） 1到定点Po（Xo,yo）的有向距离的其中土号的选取与b

3、的符号一致）。即有向距离时JaFT。下面举例说明方程（E）的应用。计算有关线段长3例1 过抛物线y2 4x的焦点作斜角为7的直线交 于A、B两点，求|AB| 。3解因直线的倾角为z ,则斜率为一1,又抛物线的焦点F(1 , 0),则可设AB的方程为x 1 x 1 T, y t.(T为参数)代入y2 4x得2T 4T 4 0 o由书达定理得Ti + T2=4, TiT2=-4。于是(Ti- T2) 2=(Ti + T2)2 4TiT2=32。 TOC o 1-5 h z .|AB |12 ( 1)21Tl T2 |，.2 .328.例2已知过点P1(0 , 3)和P2(3 , -3)的直线与椭2

4、x y 1圆 4 16 交于 A、B 两点，求 |P1A| |P1B|。解 因直线AB的斜率为一2,则过点P1的直线方X T,2程为y 3 2T.代入椭圆方程是8T2-12T-7=0,于是T1T2=7一 8 O222 2735.|PiA| |PiB| 1 ( 2)|TJ2 | 5| -| -.88注：此题若用方程（I）来解，将麻烦得多；运用方 程（n）时，一般取（n）中的常数a ib为直线的斜率， 这样有利于运算过程的简捷。2 求有关轨迹方程例3 在抛物线丫 川上取两动点Pl和P2,使弦长 RR=2,求动弦P1P2的中点M的轨迹方程。解 设 M（x。），则 P1P2所在的直线方程为（T为参数）

5、c .2,一2c代入 y x2 得T(2xo b)T xo y。0于是 T1T2 b 2x。，TiT2=x。2 y。M是Pi自的中点,.Ti + T2=0。即b-2x0=0。又Ti、T2互为相反数，且|PiR|=2,T1T21T1T21T1T2 1b21 b2故2xoVo1 b2 o(2)22、由、(2)消去 b得(y。xo )(1 4xo) 1故M点的轨迹方程为(y x2)(1 4x2) 1。3 求最值例4 在一抛物线y2=4P(x+P) (P0)中，设有过 原点且互相垂直的二直线分别交抛物线于 A、B、C d 试求|AB| 十|CD|的最小值。分析 显然，由题设条件两直线的斜率均存在,1设CD的斜率为b,则AB的斜率为bo解设过原点且两直线互相垂直的方程为x bT, AB: y (T 为参数)x T,CD y bT(T，为参数)将（1）代入抛物线方程得T2+ 4PbT- 4P2=0O于是 Ti + T2= 4Pb, TiT2=-4P2o. |AB| .1 b2 1Tl T2 | TOC o 1-5 h z 1 b2 . (TiT2)24T3 ,1 b2 16P2b2 16P2 4P(1 b2)|CDI 4(1 b2)P同理求得1 b2o_2，2、4P(1 b2)1 2 .|AB| +|CD|= (1 b)(b b 16R (等号当且仅