计算方法绪论

1、1课程介绍教材 樊铭渠 主编，计算机方法，中国矿业大学出版社，2006年11月参考资料 袁慰平，孙志忠等编，计算方法与实习，东南大学出版社，2000年7月课程的评分方法（1）平时考勤：（2）实 验：（3）期末考试： 最后成绩（1）（2）（3）2课程介绍先修课程：高等数学，线性代数，C语言上课时间 实验：为什么要学习计算方法这门课？利用计算机求解实际问题的核心过程，非常重要虽然已有大量数值算法的软件包，但需要我们了解算法设计的原理，以便更好地应用。随着计算机的应用越来越广泛，计算问题越来越复杂，规模越来越大，现成的数值方法软件包不能满足特定需要，如数字图像处理、天气预报、Web搜索。3课程介绍电

2、子计算机：电子计算机的发展：第一代：电子管计算机（1946-1956）第二代：晶体管计算机（1957-1964）第三代：中小规模集成电路计算机（1965-1970）第四代：大规模集成电路计算机（1971-今）电子计算机按其性能分类：大中型计算机/巨型计算机（Mainframe Computer）小型计算机（Minicomputer）微型计算机（Microcomputer）单片计算机（Single-Chip Microcomputer）4课程介绍计算机的应用航空航天科学研究家用电器5课程介绍现实中具体的科学、工程问题等计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法计算机求解实际问题的步骤：实际

3、问题数学模型构造数值算法编程上机获得近似结果6课程介绍数值计算方法 是应用数学的一个分支，又称数值分析或计算方法，它是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。从工程实际出发，本课程所要解决的数学问题 非线性方程、线性方程组、插值和曲线拟合、数值积分和微分、常微分方程。数值算法的特点（1）面向计算机 计算机的特点是只能进行加、减、乘、除四则运算和乘方运算、逻辑运算，数值算法一般由加、减、乘、除四则运算和乘方运算、逻辑运算构成。7课程介绍（2）有可靠的理论分析 能任意逼近并达到精确要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差

4、进行分析。（3）有好的计算复杂性 算法的计算复杂性：算法的空间复杂度和时间复杂度。空间复杂度是指算法占用的存储空间，时间复杂度是指算法包含的运算次数。空间复杂度和时间小的算法是计算复杂性优秀的算法。8第一章 绪论主要内容：1.计算方法的主要内容2.误差的来源与误差分析的重要性3.误差危害的防止本章重点：误差的基本概念，分析误差的若干原则本章难点：相对误差，有效数字9第一节 计算方法的主要内容数值计算方法的定义计算机求解实际问题的步骤数值算法的特点10第二节 误差的来源与误差分析的重要性一、误差的来源根据误差的来源进行分类：（1）模型误差数学模型：反映与实际问题有关的量之间的计算公式。数学模型通

5、常是近似的。数学模型与实际问题之间的误差称为模型误差。（2）观测误差数学模型中，往往有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等，这些参量也包含误差。观测误差：由观测得到的数据与实际数据之间的误差。11第二节 误差的来源与误差分析的重要性（3）截断误差 当数学模型得不到精确解时，通常用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。例1例2教材第2页误差12第二节 误差的来源与误差分析的重要性（4）舍入误差 计算机字长有限，无穷小数和位数很多的数必须舍入成一定的位数，这样产生的误差称为舍入误差或计算误差。例：在10位十进制数限制下：用3.14159来表示时候的误差：

6、13第二节 误差的来源与误差分析的重要性实际问题数学模型构造数值算法编程上机获得近似结果抽象：“去伪存真，去粗取精”模型误差,观测误差截断误差舍入误差14第二节 误差的来源与误差分析的重要性二、误差与误差限（1）误差 ：设X为准确值，x*为近似值，则称 e*= x*-x 为近似值x*的绝对误差，简称误差。（2）误差限或精度：通常准确值难以求出，因此很难获得绝对误差的准确值。工程上，一般根据测量工具精度或计算精度估计出它的取值范围，即估计出误差的绝对值不超过某个正数 ，即 那么我们称 为近似数x*的绝对误差限，简称误差限或精度。误差限不是唯一的。 越小，表示近似值x* 的精度越高。15第二节 误

7、差的来源与误差分析的重要性工程上通常用 来表示近似值 x* 的精度或准确度x所在的范围。问题：哪个更精确呢?16第二节 误差的来源与误差分析的重要性三、相对误差与相对误差限（1）设x为准确值， x* 为x的一个近似值，则称 为近似值x* 的相对误差（Relative error）。（2）在实际计算中，由于准确值x总是不知道，通常取：绝对误差17第二节 误差的来源与误差分析的重要性（3）相对误差限 相对误差可以正可以负，同样，通常用 的相对误差限 来表示相对误差，在实际中常取：例1：如知道商品的质量为(35 0.2)kg，则： 可知该商品质量的绝对误差限为0.2kg， 相对误差限为：0.2/35

8、 (约0.57%)18第二节 误差的来源与误差分析的重要性例2：则：19第二节 误差的来源与误差分析的重要性例3：解：20第二节 误差的来源与误差分析的重要性例4：解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位21第二节 误差的来源与误差分析的重要性四、有效数字1、定义 若 X* 做为x的近似值，其绝对误差的绝对值不超过某一位数字的半个单位，而该位数字到X* 的第一位非零数字共有n位，则称用X* 近似x时，具有n位有效数字，简称X* 有n位有效数字。例1： * =3.14159265 1 =3.14, 2 =3.1415, 3 =3.14159271 =3.14有3位有

9、效数字, 2 =3.1415只有4位有效数字22第二节 误差的来源与误差分析的重要性3 =3.1415927 有8位有效数字同理：对于 的近似值取x1=1.73，x2=1.7321， x3=1.7320，则 x1，x2，x3的有效数字为多少？23第二节 误差的来源与误差分析的重要性根据有效数字的定义得出结论： 若近似值x是经过四舍五入原则得到的，则从最后一位到x 的第一位非零数字共有n位， x 有n位有效数字，或者说 x 准确到该位。例2：求下列四舍五入近似值的有效数字个数3个3个4个4个3个5个四舍五入得到的近似值可以直接得到其绝对误差限24第二节 误差的来源与误差分析的重要性2、有效数字的

10、等价定义 X 的近似值 X* 可以表示成下列形式规格化形式若：则：称近似数X*具有n位有效数字。 反之也成立25第二节 误差的来源与误差分析的重要性例1：求下列四舍五入近似值的有效数字个数（用等价定义）3个3个4个4个3个5个例2：若 有数4.8540.03, 则其近似数x具有几位有效数字?4.854 的误差限0.03 |b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机只能存放10位尾数的十进制数，则2、如何避免该现象的发生（改变算法） 例子：教材P737第三节 误差危害的防止三、避免使用绝对值较小的数做除数 1、理论2、举例 如：可以转化：38第三节 误差危害的防止四、注意简化计算步骤，减少运算次

11、数 如果能够减少运算次数，即能节省计算机的运行时间，又能减少舍入误差。 1、计算x31的值 若将x逐个相乘，那么要做30次乘法。 注意到：x31=xx2x4x8x16， 则令：x2xx，x4x2x2，x8=x4x4，x16=x8x8 则有： x31=xx2x4x8x16 30次乘法运算减少到8次乘法运算 同样的例子：教材P7 例1-539第三节 误差危害的防止2、计算多项式 多项式：（1）计算该多项式，通常算法的乘法次数为 还有n次加法。（2）秦九韶算法 针对多项式进行运算。40第三节 误差危害的防止。递推公式N次乘法n次加法41第三节 误差危害的防止五、选择数值稳定性好的算法1、把运算过程中

12、舍入误差不增长的计算公式称为数值稳定的，否则称为不稳定的。例子：建立下面积分式的递推关系式，并研究它的误差传递。N=1,2,3,20解：递推公式I42第三节 误差危害的防止据上面的递推公式，计算出I0后，就可以逐次求出I1，I2，I3，。，I20的值。在计算I0时，有舍入误差，假设该误差为e0，并设求得的I0的近似值为即 。因而实际所得数值结果是按照如下递推公式进行计算的：该计算公式中误差的传递：可以看出误差对第n步的影响是扩大了5n倍，当n较大时，将淹没真值，该递推公式不可取。43第三节 误差危害的防止II 递推公式：如果能够先求出I20，则由递推公式就可以求出逐次求出I19，I18，I17，。，I0的值。如何求解I20 ？广义积分中值定理44第三节 误差危害的防止根据上面的公式可以得到：可以取得：再根据递推公式：N=20,19,145第三节 误差危害的防止该计算公式中误差的传递：可以得出：误差的传播是逐步缩小的，根据I20=0.0087301587可计算出 I0=0.18232156该递推使得误差缩小，递推公式可以采用（该算法可用）46小节1.课程情况简介2.误差的来源与误差分析的重要性