《解三角形》全章知识复习与巩固

1、解三角形全章知识复习与巩固编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题目.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即:【要点梳理】要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即:要点诠释：a b csin A sin B sin C(1)正弦定理适合于任何三角形，且a bsin A sin B(1)正弦定理适合于任何三角形，且a bsin A sin Bcsin C2R ( R为 ABC的

2、外接圆半径)；(2)应用正弦定理解决的题型：已知两角和一边，求其它已知两边和一边的对角，求其它.(3)在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解要点二：余弦定理在 ABC中，222a c 2accosB , c2, 2a b 2abcosC222a c 2accosB , c2, 2a b 2abcosCa b c 2bccosA, b变形为:cos A,222b c a -cos A,222b c a -,cosB2bc22, 2a c b2accosC2, 22a b c2ab要点诠释：(1)应用余弦定理解决的题型

3、：已知三边，求各角已知两边和一边的对角，求其它已知两边和夹角，求其它;(2)正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别;(3)正、余弦定理可以结合使用要点三：三角形的面积公式小C1.1 . .1 一Sa-bh-chc,其中 ha,hb,hc为 a,b,c边上的局2221,八1,1S absinC bcsin A acsin B(3)S Jp(p a)(p b)(p c),其中 p要点四：三角形形状的判定方法设4ABC设4ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C,解斜三角形的主要依据是:(1)角与角关系：由于 A+B+C =兀，所以

4、A B . C (1)角与角关系：由于 A+B+C =兀，所以A B . C sin 一 ；.A B Csin cos 一, cos22(2)边与边关系： a + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c a, c a c,已知BA BC =2, cosB= - , b=3,3求：（I）a 和 c 的值；（n ）cos（BC）的值.【答案】（I ） a=3, c=2, （n）23 .27【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角C的正弦值.1【解析】（I ） .BA BC

5、=2, cosB=，3，c?acosB = 2,即 ac= 6,b=3,，由余弦定理得：b2=a2+ c2-2accosB,即 9=a2+c24, .a2+c2=13,联立得：a=3, c= 2;(n)在4ABC 中,sinB = (n)在4ABC 中,sinB = 1cos2 B1(3)2由正弦定理bsin B得:sin CsinC= - sinB= 一1 a= bc,，C 为锐角, cosCsin 2C1(4 2 cosCsin 2C1(4 271 7贝U cos(B C)= cosBcosC+sinBsinC = x3 922+34.292327【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面

6、:【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面:（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化举一反三:【变式1】设4ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若三边的长为连续的三个正整数，且 ABC, 3b=20acosA,贝U sinA ： sinB ： sinC 为（）A. 4:3:2 B. 5: 6: 7 C. 5:4:3 D. 6:5:4【答案】由于a, b, c三边的长为连续的三个正整数，且 ABC,可设三边长分别为a、a-1、a-2.由余弦定理可得 cos A2bc由余弦定理可得 co

7、s A2bc2_ 22(a 1) (a 2) a2(a 1)(a 2)a 52(a 2)又 3b=20acosA,又 3b=20acosA,可得 c0sA解得a 6 ,故三边是6,5,4.由正弦定理可得 sinA ： sinB ：3b 3(a 1) a 520a20 a 2(a 2)sinC=6:5:4【变式2已知 ABC中acosA bcosB，试判断 ABC的形状.【答案】方法一：用余弦定理化角为边的关系 TOC o 1-5 h z ,22222, 2b c a , a c b 由 acosA bcosB 得 a b 2bc2ac2,，222、 ，2/22,2、整理得 a (b c a )

8、 b (a c b ),22222即(a b )(a b c ) 0,当a2 b2 0时， ABC为等腰三角形；,222.222当a b c 0即a b c时，则 ABC为直角三角形;综上： ABC为等腰或直角三角形。方法二：用正弦定理化边为角的关系由正弦定理得：-2Rsin A sin B即 a 2RsinA, b 2RsinBacosA bcosB ,2Rsin AcosA 2Rsin BcosB即 sin2 A sin2BA、B (0,) 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B或A B 一2故ABC为等腰三角形或直角三角形。类型三：利用正、余弦定理解决实际问题 TOC o 1-5 h

9、z 例3. （2016春 宜宾校级期中）一艘轮船从 A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛 B,然 后从B出发，沿北偏东 35。的方向航行了 40J2海里到达海岛 Co如果下次航行直接从 A出发到C,此 船航行的方向和路程（海里）分别为（）A.北偏东80,20（乔应）B.北偏东65,20（732）C. d匕偏东65。，20（76扬D. d匕偏东80。，20（732）【答案】C【思路点拨】在 ABC中，/ ABC=70 +35 =105 , AB=40 , BC 40J2 ,故可由余弦定理求出边AC的长度，在 ABC中，可由正弦定理建立方程 一BCAC ,求出/ CAB。sin CAB

10、 sin105【解析】由题意，在 ABC 中，Z ABC=70 +35 =105 , AB=40 , BC 4072 根据余弦定理得AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC402 （40 J2）2 2 40 40、. 2 43200 1600 . 3AC 20（76 22） o根据正弦定理 一BC-AC ，/ CAB=45 ,sin CAB sin105，此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65、20（J6 J2）。故选Co【总结升华】本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点， 破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏东”、

11、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中 的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解.举一反三：【变式1】（2016河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点C与D,测得/ BCD=75 , / BDC=60 , CD=40 m,并在点C测得塔顶A的仰角为30 。则塔高 AB 为（）m。 TOC o 1-5 h z A. 20B. 20 aC. 2073D. 40【答案】/ BCD=75 , / BDC=60CBD=45 ,在 BCD中，由正弦定理得： 一BC一一CD一，即 BC 40,sin BDCsin CBD si

12、n60sin45解得 BC 20,6 ,又 tan ACB 也在，AB BC 20我。 BC 33故选Bo【高清课堂：解三角形应用举例 377493变式演练3】【变式2】如图所示，海中小岛 A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在 B处测得小岛A在船的南偏东30,航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45,如果此船不改变航向，继续 向南航行，有无触礁危险?【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC（或AB）,再算出A到BC所在直线的距离，将它与38要先算出AC（或AB）,再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较

13、即得问题的解在 ABC 中，BC 30,ABC 300, ACB 1800 450 1350,30 AC sin15 sin 30 ._ 30sin 30 AC 60cos1515(、6. 2)sin15由正弦定理知:BCsin AACsin B 于是A到BC所在直线的距离为AC sin 4515( .3 1)40.98(海里)它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险类型四：解三角形与其他知识的交汇例 4.在 4ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a -,bsin(- C) csin( B) a.(1)求证：B C 2(2)若a=T2，求ABC的面积.【解析】(【解析

14、】(1)证明：由bsin( C)4csin(- B) a及正弦定理得：sin Bsin( C) sinCsin(sin Bsin( C) sinCsin(44B) sinA,2即 2即 sin B(sin C2J22sinC).2 ,sin C(sin B2JsinB)上22整理得：sin B cosCcosBsin C整理得：sin B cosCcosBsin C1,所以 sin(B一 .3C) 1,又 0 B,C 4所以B C 2(2)由及B Ca sin B所以b (2)由及B Ca sin B所以b sin A所以三角形ABC的面积3可得B452sin ,c8,C ，又 A , a22

15、.84asinCsin A2sin , 81bcsin A . 2 sin 5sin 281bcsin A . 2 sin 5sin 288 2 sin cosMin-【总结升华】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用【总结升华】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用高考中，三角解答题一般有两种题型、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面高考中，三角解答题一般有两种题型积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换 ，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值(

16、值域)等.来年需要注意第二种题型的考查uuir uur uur uuir【变式1】在 ABC中，已知ABgAC 3BAgBC.(1)求证：tanB 3tan A;(2)若 cosC -, 5 uuu求(2)若 cosC -, 5 uuu求A的值.uuiruuu uur【答案】(1)AB g AC 3BAg BC , /. ABgACgpos A=3BAgBCgcosB ,即 ACgpos A=3BCgposB .由正弦定理，得空BC由正弦定理，得空sin B sin A,.sin BgcosA=3sin Agpos B .sin B sin Asin B sin A又,.0A B 0, cosB 0.=3g即 tan B 3tan A .cosB cos A TOC o 1-5 h z _.2(2) . cosC 巫，0C 0, 1- tan A=1. A=.4uuir uuruir uur【变式2】在 ABC中，已知AB AC 3BA BC .(1)求证:tanB 3tan A;(2)若cosC 叵,求