高一数学必修一函数专题

1、高一数学必修一函数专题(教师版)一函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的 定义域的特征：定义域必须关于原点对称 ！为此确定函数的奇偶性 时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶 性)：定义法；f(x) f( x) 0利用函数奇偶性定义的等价形式：f( x) 1 (f(x) 0).f (x)J图像法：奇函数 的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.(3)函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若f(x)为偶函数

2、，则f( x) f(x) f(|x|).若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0) 0.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.二.函数的单调性.函数单调性的定义：(1)如果函数f x对区间D内的任意x1,x2,当x1 x2时都有f x1 f x2，则f x在D内是堰国数；当x1 x2时都有f x1 f x2，则f x在D内是减函数.(2)设函数y f(x)在某区间D内可导，若f x 0,则y f (x)在D内是增函数；若f x 0,则y f (x)在D内是减函数.单调性的定义的等价形式：(1)设x1,x2a, b ,那么fx1f x20f x在 a,b上是埴函数；x x2(2

3、)设x1,x2a, b ,那么fx1f x20f x在 a,b上是减函数；x x2.证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元 作差 变形判断符号 给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成 因式连乘积、平方和 等形式,再结合变量的范围，假设的两个变量的大 小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法： 即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则 复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数 .解决问题的关键是区分好内外层函数，掌 握常用基本函数的单调性；(3)图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；(4)导数法：利用

4、导函数的正负来确定原函数的单调性、是最常用的方法.(5)利用常用结论判断：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；在公共定义域内，增函数f (x)增函数g(x)是增函数；减函数f (x)减函数g(x)是减函数； 增函数f (x)减函数g(x)是增函数；减函数f (x)增函数g(x)是减函数；复合函数法：复合函数单调性的特点是 同增异减、特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，三.函数的周期性.(1)类比“三角函数图像”得：若y f(x)图像有两条对称轴 x a,x b(a b),则y f(x)必是周期函数，且一周期为T

5、21a b|;若y f (x)图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a b),则y f(x)是周期函数，且一周期为T 2|a b|;如果函数y f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x b(a b),则函数y f (x)必是 周期函数，且一周期为T 41a b|；(2)由周期函数的定义“函数f(x)满足f x f a x (a 0),则f(x)是周期为a的周期函数” 得：函数f(x)满足 f x f a x ,则f(x)是周期为2a的周期函数。四.函数的对称性.满足条件f(a+x)=f(b-x)的函数的图象关于直线x 上对称.2点(x,y)关于y轴的对称点为(x, y

6、)；函数y f x关于y轴的对称曲线方程为y f x ； 点(x,y)关于x轴的对称点为(x, y);函数y f x关于x轴的对称曲线方程为y f x ; 点(x, y)关于原点的对称点为(x, y);函数y f x关于原点的对称曲线方程为y f x ;.常见的图象变换函数y f x a (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴向左平移a个单位得到的.函数y f x a (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴向右平移同个单位得到的.函数yf x +a (a0)的图象是把函数yf x助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数yf x +a (a0)的图象是把函数yf x助图象沿y轴向

7、下平移|a|个单位得到的；函数y f ax (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴伸缩为原来的二得到的.a函数y af x (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.| f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形， 然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f (x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的 图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到.函数的零点(1) 一般地，如果函数y = f(x)在区间a, b上的图象是 连续不断 的一条曲线.并且有f(a) f(b)a时，2xl0gl x,故f(%

8、) 0.若函数f(x)( x R)是奇函数，函数g(x) ( x R)是偶函数，则()A.函数fg(x)是奇函数B.函数gf(x)是奇函数C.函数f(x)g(x)是奇函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数解析： 令 F(x) fg(x),则 F( x) fg( x)fg(x)故 F(x) fg(x)是偶函数;令G(x) gf(x),则 G( x) gf( x) g f(x) gf(x) 故G(x) gf(x)是偶函数；令 P(x) f(x)g(x),则P( x) f( x)g( x) f(x)g(x),故 P(x) f(x)g(x)是奇函数；令 Q(x) f(x) g(x),则 Q(x) f(

9、 x) g( x) f(x) g(x),故不一定是奇函数.已知函数“*)在0,)上是增函数，g(x) f (|x),若g(lg x) g(1),则x的取值范围是()1A. （10, ）B（TO） C（Q10）D（0,一） （10,）1010【解析】因为g（r） = -/CH） *所以蹑旦=-/（H）为偶画款目为熊.J仆）在L+0上是憎函孰所以当90时，期=附=-/Cv），此时为碰数，即:，0,威薮二-/（中单调用增烟为g（W g。）,所以有-幻”虫，BS x0,方程f(x)=g(x)在0, 1内包有解；若存在使得八4)二m5)成立，则实数a的取值范围是心二上其中所有正确结论的序号是 .I J解

10、析:【解析】本题祭台考查函数定义域相同的函覆f与乳好.除了方股函胞，在第一段V 11 % -一 7上单项 其余都是在定义城上单嚼 并且f信域是1二-修田二欠陶_ 4 _ 1U j J _ 二利用条件容易知道正确、可以求出f&)的值域年手三， 值域b= -=- |f方程f &) = (*)在0, 1内怛有解即二M.祷三”q与任意上。矛盾,即上间中4一 3h4可得到二34且二至。.正确.11.已知定义在R上的函数f (x)满足f (x + 1) =f (x)0当x 0,1时, f (x) = 1x,若 g (x) =f (x) m (x+1)在区间(1,2有 3 个零点，2则实数m的取值范围是()

11、,、，11、,、，11、(A)(,一)46（C） ”）（?；）【解析】二，义工+1）二二代工+：）二/二7二上当空口田时，f（.）=一格当 XW 工口时，X+ledll，/=f（x+1） = （Jr41） = 1r!彳:国出丽检图象口 ，若g （x） =f （x） -e （x+1）在区间（-L2 W 个零点，转化为汽力二用0+D方程 的根有二个，即函毅二上上.士什心,T）两个函数图象的交点有三个，如图所不，II=减L1）恒过定点I）满足条件的宜线落在显然过点！）和仁-1）的两条11一二 一一二 一0直线国闻之内，故一一 1+112.定义域为R12.定义域为R的函数f x满足f x 2 2f x

12、，当x0,2时x, x,x若x1,2 ,4, 2 时,t 1 ,x若x1,2 ,4, 2 时,t 1 ,-恒成立，则实数t的4 2t取值范围是（A. 2,0 IC. 2,10,1B. 2,0D. , 21,0,1解析: TOC o 1-5 h z 11当 x 4, 2),则 x 4 0,2),所以 f(x) f(x 2) f(x 4) 24121 2,(x 4)2 (x 4),x 4, 3)，(x2 7x 12),x 4, 3)=4= 4一一,1(0.5)x41.5,x 3, 2)”旷 3, 2)44,1 o17 o 1 7当 x 4, 3)时，f(x)=4(x 7x 12) 4(x -)4的

13、对称轴为 x=-,71当x r 4 3)时，取小值为f(一)二 一；x 4, 3)216当* 3, 2)时，f(x尸 4(0.5)x 51当x 2.5时，取最小值，最小值为 ；41 1t 1 t2 t 2所以当x r 4 2时，函数f(x)的最小值为 1,即1即t 0, TOC o 1-5 h z x 4，2)44 4 2ttt 0t 022所以不等式等价于t t 2 0或t t 2 0,解得0 t 1或t 2,即t的取值范围是(，2U(0,1,选 d.13.设函数y f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数g(x) f(x) 2x在区间2,3上的值域为2,6,则g(x)在区间12,12上

14、的值域为()A. 2,6B . 24,28C. 22, 32D. 20,341【解析】/+1) =g(x- 1) +1) = g(x)+-Fl) -) = -2 3 由此如自变量增大函薮值就被少二已知”年前，、二口述脸一好告变鼬2减J咽-2加函数圄曾加了：，二二编自变量由3墙闻2,则社y 了二4故函敷式工)在瓯七心上延姆-丁工总理士川浜14.函数f x的定义域为A,若x1,x2 A且f x f x2时总有x x2 ,则称f x为单函数.例如，函数f x x 1 x R是单函数.下列命题：函数f x x2 2x x R是单函数；函数fx lOg2x,x 2,是单函数; 2 x,x 2若f x为单

15、函数,x1, x2人且x1 x2,则f x1 f x2 ;函数f x在定义域内某个区间D上具有单调性，则f x 一定是单函数.其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).TWrlI(D若代。= -X，则由) = 、：)得一:上，即(3一七)(+三一2)二0,解得三二、1或时十三一？二0 ,所以不是单任正若/(5二*g.工一)则由函数图象可知当,(巧)=/(七)，时，工1=为,以不是-FT* 一-F单函数.根据单函数的定义可知,正确.在在定义城内某个1可口上E总单调件单在整个定义域上不一定单调，所以不一定正确，比如函数.所以其命题为.15.给11出止义：6m 2V x m + 2 (其中m为整数)

16、，则m叫做离实数x最近的整数，记作x,即 x=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=x 处的四个命题：1 1y=f(x)的止义域是R ,值域是(-,-；点(k,0)是y=f(x)的图像的对称中心，其中k Z；函数y=f (x)的最小正周期为1；1 3 . 函数丫=乂)在(了0上是增函数.则上述命题中真命题的序号是 解析：1 .中，令x m a, a1 12,2o所以正确。 f(2k x)=2k x 2k x)(x) x f( x)f(x中，令x m a, a1 12,2o所以正确。 f(2k x)=2k x 2k x)(x) x f( x)f(x),所以点(k，0)不是函数f(x)的图象的

17、对称中心，所以错误。 f(x 1)=x 1 x 1 x xf (x), f(x 1)=x 1 x 1 x xf (x),所以周期为1,正确。1 f(2)1 ,11 1 f(2)1 ,11 .一1,所以f( J 吗)，所以函加图.要使函数;V =M在皿,上马四个零点,则一 11令x -,m 1 ,则f (,)22.1 3 . . _ _数丫=乂)在(了歹上是增函数错误。，所以正确的为16.定义在 R上的偶函数f(x)对任意的x R有f(1 x) f(1 x),且当x 2, 3时, f(x)x2 6x 9.若函数y f(x) logax在(0, +0)上有四个零点，则a的值为.【解析】由”1+得函

18、数户笛湖对称轴为二二i0因为户公,为偶函政，所1/(I V)= f(-X)=.即/住+2) = 3,所以田软的周期为麦当二5 2 3时，15 = 二 -9 二3 厂.由 T = _f，工二 Q，得八琦,今j-/(；)j =3(可=1口丸 X，flJ f(2) - /(4) = /(6) = -1 作出函数卜=的图象有。cauL且虱4) = /(4),即1口%4 =-h解得20.【山东省烟台市2c12-W13学年度第一学期模块检测】(已知函数J二二二二的图冢与V . 1函数)二匕-2的图家恰有两个交点，则竣卜的取值范围是.【答案】0二且六1 TOC o 1-5 h z 【解析】磁1|x:-l|

19、|(x+l)(x-5| Lv-1 x15fix-li =*，作出?工+ 1.x-l 1-X- .T 在 me (-L叮区间内机个零我在2刃瓯内无零自敌户在一丁周期上仅为5个 零点,由干豆耳口匚y包士;二十周期,x 三；cu；时也存在一住点一,十 在&20H上的零点力鼓为3x201+! =604.高一数学必修一函数基础训练(教师版)一、选择题.函数y= loga(x+ 2)+1的图象过定点()A. (1,2) B. (2,1) C. (2,1) D. (1,1)解析：由对数函数恒过定点(1,0)知，函数y= loga(x + 2)+ 1的图象过定点(1,1).一 V,. TOC o 1-5 h

20、z .右21g(x 2y) = lg x+ 1g y(x0, y0)则一的值为()xA. 4 B. 1或一C. 1 或4D.144解析：由对数的性质及运算知，21g（x 2y）=1g x+ 1g y化简为1g(x 2y)2=1g xy,即(x 2y)2 = xy,解得 x = y 或 x= 4y.所以的值为 1 或一. x4.下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A. y=（4）2B. y= /x2C. y=21og2xD. y= 1og22x解析：函数y= x的定义域为R.A中，y= （）2定义域为0 , + ）;B 中，y= $2 =冈；C 中，y = 2l0g2x=x,定义域为（0, +

21、 ）；D中，y= 10g22x = x,定义域为R.所以与函数y=x相等的函数为y=1og22x.2 TOC o 1-5 h z .函数y= 1g Rx-1的图象关于（）A.原点对称 B. y轴对称C. x轴对称D.直线y= xM称人力工l2斛析：函数尸1gl-1的定义域为（-1，1）.21 x又设八彳T，1 +x 1 -x所以* -x)=1g = 1g =-f(x)，所以函数为奇函数，故关于原点对称5.下列关系中正确的是（）B.1og3 冗 1n21og76C. 1n 1og761og3 兀B.1og3 冗 1n21og76C. 1n 1og761og3 兀D.ln -1og3 冗 1oc6

22、解析：由对数函数图象和性质，得 01og761, ln 21.所以 In log760 ,6.已知函数f(x) =x0 ,6.已知函数f(x) =x0, 一0,所以中，由中，由y=B 中，由 y= ax2+bx 的图象知，a0, 一0,所以B错；C一 a aaxax2+bx 的图象知，a0, -b- a由y=logb x知0b0 ,.若函数y= f(x)是函数y= ax(a0且awl)的反函数，其图象经过点(a, a),则f(x) = ()A . log2xB. logl xA . log2xB. logl x21C.一 2xD. x2解析：因为函数y=f(x)图象经过点(, a),所以函数

23、y= ax(a0且 aw 1)过点(a, yfa),所以，a = aa即 a=2,故 f3aogy.1.函数f(x)=log(x23x+2)的递减区间为()D. (2, +s)33D. (2, +s)A. 8, 2 B. (1,2) C. -, i解析： 令 t=x23x+2,则当 t = x23x + 20 时，解得 xC(8, 1)U(2,+.且 t = x2 3x + 2在区间(8, 1)上单调递减，在区间(2, +8)上单调递增；又y= iog1 t在其定义域上2为单调递减的，所以由复合函数的单调性知，f(x) = log1 (x23x + 2)单调递减区间是(2, +8)2.函数f(

24、x)=lg(kx2+4kx+ 3)的定义域为R,则k的取值范围是()30, 一430, 一430, 一430,一43( 8, 0U , +OO4解析： 因为函数f(x) = lg(kx2+4kx + 3)的定义域为R,所以kx2 + 4kx + 30, xCR包成立.k0 ,当k=0时，30包成立，所以k=0适合题意.A 0 ,即0k3.由得0&k0且aw1,函数f(x) = loga|ax2 x|在3,4上是增函数，则a的取值范围是()A. 一， U (1 , +0)6 4B. 一，一 U (1, +oo)8 4一，一 U (1, +00)8 60, 1所以40 或一3,1所以40 或一1；

25、4当0a1时，由复合函数的单调性可知,3,4?当0a42a a解析：令u(x) = |ax2a a x|,则y=logau,所以u(x)的图象如图所示.2a a11当a1时，由复合函数的单调性可知，区间3,4落在0, 或-，+oo上, 2a a解得解得1 wa0 ,5 x 0即可.解得1 0,16.已知下列四个命题： 函数f(x) = 2x满足：对任意x，x2 R且xwx2都有f 生产 0且aw 1)的两根，则x1x2= 1.其中正确命题的序号是 解析：;指数函数的图象为凹函数，正确;函数f(x)=log2(x+#1 +x2 )定义域为R,且1 +x2)= log21 = 0,f(x) + f

26、 ( x) = log2(x + 小 +x2 ) + log2( x +， 1 +x2)= log21 = 0,2 2x +1 TOC o 1-5 h z g(x)的定义域为(00 , 0) U (0, +00),且 g(x)=1+=2x - 1 2x -12-x + 11 +2xg(x)= g(x), ；g(x)是奇函数.错误;2-x-11 -2x f(x1) = f(x+1),f(7) = f(6+ 1)= f(61) = f(5),f(5) = f(4+ 1) = - f(4 1) = f(3), f(3) = f(1),.f(7)= f(1),正确； |logax|= k(a0 且 a

27、w 1)的两根，则 logax1= logax2, logaxi+ logax2=0,. X1 X2= 1. .正确.三、解答题(解答时应写由必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ).(1)计算 lg25+lg 2Xlg 500- 11g -log29X 10g32;225(2)已知 1g 2 = a, 1g 3=b,试用 a, b表示 1og125.解析：(1)原式=1g25+1g 5 1g- 2 +21g 2+lg 5 1og39=1g 5(1g 5 +1g 2)+ 21g 2+ 1g 5-2= 2(1g 5+1g 2)-2=0.101g 5 1g 2 1g 10 1g 21 -1g 2 T

28、OC o 1-5 h z (2)1og 125 =,1g 12 1g 3 X4 1g 3+1g 4 1g 3 +21g 21g 2 = a, 1g 3=b,1 -1g 21 -a1g 2 = a, 1g 3=b,1og125 =1g 3+21g 2 b +2a.已知函数 f(x)=1g(3x3).(1)求函数f(x)的定义域和值域；设函数h(x)=f(x) 1g(3x+3),若不等式h(x)t无解，求实数t的取值范围.解析：由3x 30解得x1,所以函数f(x)的定义域为(1, +00).因为(3x3)6(0, +8),所以函数f(x)的值域为R.3x-36因为 h(x)=1g(3x3)1g(

29、3x+3) = 1g 3x- =1g 1377定义域为(1, +),且在(1, + 00 )上是增函数，所以函数的值域为( 8, 0).所以若不等式h(x)t无解，则t的取值范围为0, +OO)2ma m+ 3.已知函数f(x) = x(me Z)为偶函数，且f(3)0且aW1),求 g(x)在(2,3上的值域.解析：综上可知综上可知kC -, 110(1)因为f(3)0,解得一1m1时，y=logat在区间(0,3上是增函数，所以y(-oo, loga3；当0a1时，函数g(x)的值域为(一oo, loga3;当0a0,得函数y= f(x)的定义域为(1,1).x 1(2).(2).f(x)

30、在10, +8)上是增函数,10k -1110 -1 0, . . k10kx 1k-1kx 1k-1又 f(x)=lglg k+-,故对任意的 x1, x2,当 10W x1x2 时,恒有 f(x1)f(x2),即 lg k+ lg k +x1 1 D x2 - 1k1 k1x1 - 1 x2 - 1(k-1)11x1 - 1 x2 - 10 ，11(k-1)11x1 - 1 x2 - 1x2 1.k-10,二 k1.1 x21 .已知函数f(x) = log3(mw 1)是奇函数.1 mx(1)求函数y=f(x)的解析式；1 x(2)设g(x)= ,用函数单调性的定义证明：函数y=g(x)

31、在区间(一1,1)上单调递减;1 mx(3)解不等式f(t + 3)0.解析：(1)由题意得f(-x)+ f(x) = 0对定义域中的x都成立，1 +x 1 -x1 +x 1 x所o log3+log3=0,;1,所以1 x(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程10g4(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程10g4(4x +1)-1 x所以 m2= 1,又 mw 1,所以 m= 1,所以 f(x)= 10g3.1 +x1 x(2)证明： 由(1)知，g(x)=，设 X1, x2 (- 1,1),且 x10, x2+10,+xx2 x1x2 x10.因

32、为 g(x1)-g(x2) = -1x1 +x20,所以 g(x1)g(x2),所以函数y=g(x)在区间(一1,1)上单调递减.(3)解:函数 y= f(x)的定义域为(1,1),设 x1, x2C(1,1),且 x1g(x2), 所以 10g 3g(x1)10g 3g(x2),即 f(x1)f(x2),所以 y= f(x)在区间(一1,1)上单调递减.1t + 31 ,因为f(t+3)0 = f(0),所以解得一3t0 ,22.已知函数 f(x) = 1og4(4x+ 1)+kx(kC R)是偶函数.求实数k的值；(2)设g(x) = 1og4(a 2x + a),若f(x) = g(x)

33、有且只有一个实数解，求实数a的取值范围.解析：(1)由函数 f(x)是偶函数可知 f(x) = f( x), 1og4(4x+1)+kx = 1og4(4-x+ 1)-kx,4x +11化简得 10g4 2kx,即x= - 2kx对一切 x C R恒成立，.二 k= j.1111x = log4(a 2x + a)有且只有一个实根，化简得方程2x+y=a 2x+a有且只有一个实根，且a 2x + a0成立，则a0.令t= 2x0,则(a 1)t2+ at 1 = 0有且只有一个正根.设g(t) = (a1)t2 + at1,注意到g(0)=10 ,当0a1时，g(t)图象开口向下，且g(0)

34、= 11时，又g(0) = 1,方程包有一个正根与一个负根，符合题意.综上可知，a的取值范围是 2+2/2U1 , +oo).高一数学必修一函数综合训练(教师版)1 .函数y的图像与函数y 2sin x ( 2 x 4)的图像所有交点的横坐x TOC o 1-5 h z 标之和等于()A. 2B. 4 C. 6D. 81二工二一可看作由画数一向右平移一个单位得到)利用两个前蒙有共同型 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document rt对椀中心QOL设E个交点的横坐标分物为结合通波图俾田时称叱帚= 2- - =-”物有交点臼横坐标之和等十8. A足2.已知函

35、数y f(x)的周期为2,当x 1,1时函数f(x) x2 ,那么函数y f(x)的图像与函数ykgx|的图像的交点共有()A. 10 个B. 9 个C. 8 个D. 1 个翁年析：考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图.容易判断出y两函数图像的交点个数为10个，故选择A .且 f(a) f (b)f(c),则y两函数图像的交点个数为10个，故选择A .且 f(a) f (b)f(c),则abc的取值范围是()(A) (1,10)(B) (5,6)( C) (10,12)(D) (20, 24)神军析：命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问

36、题的能1一力.作出函数f(x)的图象如右图， 不妨设a b c ,则lg a lg b c 10 (0,1)则 2abc c (10,12)应选 C., 1 .设点P在曲线y -e上，点Q在曲线y ln(2x)上，则| PQ取小值为(Q4) l-ln2 (5) Vzri-liiZ) (C) 1-1112(7) J2(l-ln 2)麻谶尸卜版酸为闫心如酬示,也要求照的最小值转化为求与直绐尸平行 且与般相切的直颂邮函皿点为电fflA 到直线忏的距离的2倍即为第小 值，尸In 2切点领 机工一直线的距寓为,In2-1 ：-心笈工而 2).解析：设 g(x) g (x) maxf(x) (x 1)22

37、 x2x sin xx2 1,Qg(sin x1x)2x sin xx2 1g(x), g(x)为奇函数由奇函数图像的对称性g(x),In2-1 ：-心笈工而 2).解析：设 g(x) g (x) maxf(x) (x 1)22 x2x sin xx2 1,Qg(sin x1x)2x sin xx2 1g(x), g(x)为奇函数由奇函数图像的对称性g(x)min 0，g(x) maxg( x) min2.M m g(x) 1max6、设函数f (x) | x2g(x) 1min 24x 5 |, g (x)k (1)在区间2, 6上画出函数f(x)的图像。(2).已知f(x)是定义在1, 1

38、上的奇函数。当a, bC 1,1,且a+bwo时，有f(a) f(b)a b成立。(I)判断函f(x)的的单调性，并证明；(H)若 f(1)=1,且 f(x)葡2 2bm+1 对所有 xC 1, 1, bC 1, 1恒成立,求实数m的取值范围。解析：(I )证明： 设 x1,x2 c 1, 1,且 x1 x2,在fa)一f-(b) 0 中，令 a=x1,b=x2, a b有 f (xj f(切 0： , x1x2,. x1 x20 .-.f(x1)-f(x2)0,即 f(x1) f(x2).故 f(x)在1, 1上为增函数Xi x2(H)解：f(1)=1 且 f(x )在1, 1上为增函数，对

39、 xC1, 1,有 f(x) 0时，g(b)=2mb+m2是减函数，故在 1, 1上，b=1时有最小值，且g(b)最小值=g(1)= 2m+m20 m2;若m=0时，g(b)=0,这时g(b)最小值=0满足题设,故 m=0适合题意;若m0 me 2.综上可知，符合条件的m的取值范围是：mC (, 2U0U2, + ) 8.设函数 f(x) 3x,且 f(a 2) 18,函数 g(x) 3ax 4x(x R).(1)求g(x)的解析式；(2)判断函数g(x)在0,1上的单调性并用定义证明；(3)若方程g(x) b=0在 2, 2上有两个不同的解，求实数 b的取值范围.解析： TOC o 1-5

40、h z a 2a, f(x) 3x ,且，f (a 2) 1831832 g(x) 3ax 4x (3a)x 4x . g(x) 2x 4x g (x)在0,1上单调递减。证明如下设 0Xix21 g(x2)g(x1)2x24&2x两函数图象在 1,4内有两个父点，由图知 44%(2x22x1)(12x12两函数图象在 1,4内有两个父点，由图知 4x2 1.2x2 2%,12% 2 1 2x2 2 . 2 . 3 1 2x1 2x2 1(2x2 x2 1 .g (x)在0,1上单调递减x xx(3)方程为 24 b 0 t 2 x 22x12x2422x12x242x1 2x2) 0 g(x

41、2) g(x1)2,2，则1 t 4421 21,y t t (t -)二，y b41 一一 b -时，方程有两不同解。164高一数学必修一函数专题(学生版)一函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的 定义域的特征：定义域必须关于原点对称 ！为此确定函数的奇偶性 时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶 性)：定义法；f(x) f( x) 01 ( f (x) 0)1 ( f (x) 0).图像法：奇函数 的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.(3)函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性

42、，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称 的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若f(x)为偶函数，则f( x) f(x) f(|x|).若奇函数f (x)定义域中含有0,则必有f (0) 0.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.二.函数的单调性.函数单调性的定义：(1)如果函数f x对区间D内的任意x1,x2,当x1 x2时都有f x1f x2，则f x在D内是增函数；当x x2时都有f xf x2 ,则f x在D内是减函数.(2)设函数y f(x)在某区间D内可导，若f x 0,则y f (x)在D内是增函数；若f x 0,则y f (x)在D内是减函数.单调性的定义的

43、等价形式：、一, f x1f x2_(1)设x1,x2 a, b ,那么 0f x在 a,b 上是地ii数；x1 x2(2)设x1,x2 a, b ,那么fx1 f x2 0f x在 a,b上是减函数；x1 x2.证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元 作差 变形 判断符号给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式、再结合变量的范围，假设的两个变量的大 小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法： 即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则 复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数 .解决问题的关键是区分好内

44、外层函数，掌 握常用基本函数的单调性；(3)图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；22A. A. 2B. 1C.1D.2(4)导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性,是最常用的方法.(5)利用常用结论判断：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；在公共定义域内，增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数；复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减,特别提醒：求单调区间时，勿忘定

45、义域，三.函数的周期性.(1)类比“三角函数图像”得：若y f (x)图像有两条对称轴x a,x b(a b),则yf(x)必是周期函数，且一周期为T 21a b|;若y f (x)图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a b),则y f(x)是周期函数，且一周期为T 2|a b|;如果函数y f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x b(a b),则函数y f (x)必是 周期函数，且一周期为T 41a b|；(2)由周期函数的定义“函数f(x)满足f x f a x (a 0),则f(x)是周期为a的周期函数” 得：函数f(x)满足 f x f a x ,则f(x

46、)是周期为2a的周期函数。四.函数的对称性.满足条件f(a+x)=f(b-x)的函数的图象关于直线x U对称.2点(x, y)关于y轴的对称点为(x, y);函数y f x关于y轴的对称曲线方程为yf x ;点(x, y)关于x轴的对称点为(x, y);函数y f x关于x轴的对称曲线方程为yf x ;点(x, y)关于原点的对称点为(x, y);函数y f x关于原点的对称曲线方程为y f x ; 五.常见的图象变换函数y f x a (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴向左平移a个单位得到的.函数y f x a (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴向右平移|a|个单位得

47、到的.函数yf x +a (a0)的图象是把函数yf x助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数yf x +a (a0)的图象是把函数yf x助图象沿y轴向下平移|a|个单位得到的；1函数y f ax (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿x轴伸缩为原来的得到的.a函数y af x (a 0)的图象是把函数y f x的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.| f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形， 然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f (x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的 图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到.六.函数的零点(1) 一般地，如果函数y = f(x)在区间a, b上的图象是 连续不断 的一条曲线,并且有f(a) f