Ch10：数值计算方法之插值方法

1、第10章 插值方法我们在序言中曾经提到过，计算方法研究的最基本问题是如何把复杂的数学问题求解有效地转化为对有限数位的数进行有限次的四则运算问题。可以这样认为，插值方法是计算方法成为一门独立的数学分支的重要标志。实际上，在计算机问世以前，人们正是利用插值方法从根本上解决了高等数学中的的各种数值算问题。早期的插值方法主要应用于计算复杂的函数值，或者说制造数学用表。比如我们很容易制造1到10的具有6位数字的3次方表，反过来我们可以利用这个3次方表借助插值的方法简单地制造出1到1000以内的数的具有6位数字的3次方根表。第10章 插值方法对于现代的计算工具来说，插值方法早期的应用领域已经大大缩小了，但

2、它解决问题的原理，思想，方法仍然是我们今天的计算方法的精神支柱。如果说早期的插值方法主要是利用有理函数的可计算性来解决非有理函数的计算问题，那么今天的插值方法基于同样的思路：利用初等函数的可计算性解决非初等函数的计算问题。由于非初等函数的计算问题大量出现在数值积分以及求微分方程数值解中，所以我们这一章的学习是直接为后面的课程打基础。10.1 插值问题概述假设f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已知f(x)在某个区间a,b上的n+1个互异的点x0,x1,xn处的函数值f(x0),f(x1),f(xn)，我们希望找到一个简单的函数y=P(x),使得 P(xk)=f(xk),k=

3、0,1,n.注释：如果我们找到了这样的函数y=P(x),我们就可以在一定范围内利用P(x)近似表示f(x),从而解决了相应的计算问题。1.利用函数值列表来表示插值问题对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是n+1个互异的点处的函数值.回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用下面表1的形式列出已知的函数值，并简称为由表1给出的插值问题。表1：插值问题的函数值列表k01nxx0 x1xnf(x)f(x0)f(x1)f(xn)2.重要术语对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x)为被插值函数;P(x)为插值函数；x0,x1,xn为插值基点或插值节点;P(xk)=f(xk),k=0,1,n为插

4、值条件；a,b为插值区间。对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等，这些问题现在已经不用插值法来解决了。对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。3.重要提示：假如我们得到了某个函数y=f(x)在n+1个互异的点x0,x1,xn处的函数值yk=f(xk)，k=0,1,n，而对 f(x)的其他特征一无所知，我们同样可以得到一个函数值列表，从而得到一个插值问题。表2：插值问题的（函数）观测值列表在这个问题中，我们实际上看不到被插函数，或者说被插函数只是

5、一个概念上的函数。k01nxx0 x1xnyy0y1yn4.理论问题由于f(x)的表达式很复杂或者根本就写不出来，因此我们的目的是要利用插值函数p(x)来近似地表示f(x).对于早期的插值问题来说，我们只是为了得到f(x)的近似值，所以我们要求|p(x)-f(x)|充分小即可。对于现代的问题来说，我们很可能还要求|P(x)-f(x)|以及|P/(x)-f/(x)|都充分小。如果f(x)足够光滑，那么由泰勒级数的理论可以保证当区间充分小，而n充分大时，结果一定是有效的。对于数值计算问题来说，首先必须有一种方法能算出结果来，可以通过验算来判定方法的有效性。在我们的课程中，我们在适当的时候也讨论一些

6、理论问题，但重点还是算法，还是编程，还是上机。10.2一般的多项式插值问题对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。由于次数不超过n的多项式的一般形式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn (1) 所以只要确定了n+1个系数a0,a1,an，我们便确定了一个插值多项式。在这一节中，我们主要解决插值多项式的存在性和唯一性问题，为后面的理论分析打基础，具体的方法留到下面两节讨论。1多项式插值的一般方法对于n个基点的多项式插值问题，我们可以把n+1个插值条件 Pn(xk)=yk,k=0,1

7、,n 分别代入到前面给出的（1）式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 中，即可得到下面的线性方程组，相对说来问题还算简单。 （2）2.唯一性定理. 范德蒙行列式定理1：n+1级范德蒙（Vandermonde）行列式 不等于零的充要条件是诸x0,x1,xn两两互不相同。这是代数学中很著名的一个定理，我们推荐大家阅读北京大学数学力学系编高等代数（人民教育出版社1978年第一版）pp78-79，基本方法是数学归纳法。3.唯一性定理. 恒等多项式定理2：如果两个次数都不超过n的多项式P(x)和Q(x)在n+1个互不相同的点处的值相同，则这两个多项式恒等。这也是代数学中很著名的定理，在北京大

8、学数学力学系编高等代数（人民教育出版社1978年第一版）pp25-26中可找到定理的证明，基本思路是不恒为零的n次多项式不可能有多于n个的零点，而P(x)-Q(x)却有，所以它要么是高于n次的多项式，要么恒等于零。 4.多项式插值的基本结论由于线性方程组(2)的系数矩阵的行列式就是范德蒙行列式，再加上我们对插值基点互异的假设，上面的定理1表明，对于给定的插值条件，存在唯一的插值多项式，它的系数就是线性方程组(2) 的唯一解。定理2进一步表明，不管什么形式的多项式，只要次数不超过n,而且满足相同的插值条件，那么它们就是恒等的。从方法论的层面讲上讲，我们已经解决了多项式插值问题。但是求解线性方程组

9、(2)的计算量为O(n3)，存贮量为O(n2)，因此效率不高，而且算法也复杂，所以我们还要寻找更有效的方法。4重要提示： 上面的两个定理已经表明，对于多项式插值问题来说，插值多项式由插值条件唯一决定，所以我们在口语中所讲的n+1个基点的插值问题求解指的就是求出由一组插值条件所唯一决定的多项式。我们允许这个唯一的插值多项式有不同的数学形式，以适应不同的问题求解。在后面的两节中，我们将对相同的插值条件给出两种不同的插值多项式，即Lagrange和Newton插值多项式。所以他们应该是恒等的，名称不同只是各自的形式有所不同。不管那种插值方法，基本思路都是把插值多项式表示为具有固定形式的基函数的线性组

10、合，目的是为了简化计算。5.与曲线拟合的差异从形式上看，n+1个基点的插值问题与曲线拟合问题基本相同：都是由n+1个条件决定出一个多项式，也考虑寻找基函数的线性组合，但它们的原理，方法，以及应用领域都不相同，基本上是两个类别的问题。曲线拟合主要应用于误差分析以及多元回归，数学原理是投影理论，方法是最小二乘法；而插值则应用于精确计算，应该说只是一种经验的方法，理论基础非常脆弱，可以通过验算来证实结果的有效性。尽管插值问题与曲线拟合问题都可以看成是逼近理论的应用，因此很多学者喜欢把他们捆在一起，其实不值得。10.3 拉格朗日插值方法拉格朗日插值多项式选用的基函数具有对称性，所以我们可以从中体验到数

11、学的美，事实上它也是牛顿插值法中证明差商具有对称性的基础。正是因为拉格朗日插值多项式所具有的美学价值，所以它对后面的学习有很大的影响。拉格朗日插值公式看上去形式较复杂，但实际上算法非常简单。1.拉格朗日插值公式的构造对于一般的的n+1个基点的插值问题，相应的拉格朗日插值公式，我们记为Ln(x)，实际就是把插值多项式Pn(x)表为基函数lk(x)|k=0,1,n的线性组合，其中 而且组合系数实际就是诸y0,y1,yn，因此我们有 接下来我们要证明Ln(x)的确是插值多项式，也就是满足插值条件。2.证明Ln(x)的确是插值多项式 注意到所有的lk(x)都是n次数多项式，所以Ln(x)是次数不超过n

12、的多项式。再注意到所以Ln(x)满足插值条件，即Ln(x)的确是插值多项式。3.基函数的性质定理：对于由前面的表2给出的插值问题以及由（1）定义的基函数lk(x),k=0,1,n，我们有 证明：考虑被插函数为f(x) 1的特殊的多项式插值问题，对于给定的插值基点x0,x1,xn，对应的函数值y0,y1,yn均为1，从而相应的拉格朗日插值多项式为3.基函数的性质（证明）它满足插值条件 而f(x)1也是次数不超过n的多项式，也满足插值条件 f(xj)=yj=1，j=0,1,n 由插值多项式的唯一性立即推出我们的结论。4.计算基函数值的方法拉格朗日多项式插值的计算主要是计算基函数的值，作为练习编程，

13、编写求单个的基函数值的程序还是很有意义的。下面是求基函数的程序段： double GetG(int k，double u) int n = 0; double y=1.0; for(n=0;nTN;n+) if(n=k) continue; y *= u-Xn; y /= Xk-Xn; return y; 4.计算表格与算法说明应该说，对于给定的x,求拉格朗日插值多项式的值还是很简单的，直接按公式计算就成，所以没有太大的价值来研究算法问题。如果用计算器来计算，可以按如下的表格计算，其中诸Gk为基函数值。kXkYkGkLk0X0Y0G0L01X1Y1G1L1NXnYnGnLn6.补充说明与举例计

14、算对于上面给出的表格，可以按下面的格式计算：先依次计算基函数 G0,G1,GTN,接下来计算 Lk=Yk*Gk, k=0,1,2,TN.再接下来对 Lk列元素求和即可.基函数值计算完毕后，可作一次检验，看加起来是否为1，如果是，则计算正确；如果不是，则前面的计算肯定有误，应当重新计算。拉格朗日插值虽然算法很简单，但是当n较大时，用计算器来算还是有点累赘，大家一定不要再去寻找捷径，唯一的笨办法就是老老实实地一个一个地算，把结果填在表中。7.完整的子程序double Lagrange(double x,double*X,double*Y,int TN) int k,n; double y=1.0,

15、z=0.0; for(k=0;kTN;k+) y=1.0; for(n=0;nTN;n+) if(n=k)continue; y*=(x-Xn)/(Xk-Xn); z+=y*Yk; return z; 8.基函数的等价形式 9插值函数的等价形式利用lk(x)的等价形式，我们可以进一步得到Ln(x)的等价形式：重要结论：拉格朗日插值多项式的首项的系数为10.4 差商与牛顿插值公式问题的提出：假如我们对具有n+1个基点的问题得到相应的拉格朗日插值函数值Ln(x),如果它不满足精度要求，我们当然希望增加一个基点（xn+1,f(xn+1)来计算相应的n+2个基点的问题的解Ln+1(x)。拉格朗日插值法

16、具有公式优美，算法简单的特征，但是该方法不具有承袭性。也就是说，我们计算Ln+1(x)不太好利用前面得到的结果Ln(x)，而是一切都要重新计算。牛顿插值公式，我们通常记为Nn(x)是一个具有承袭性的方法，也就是说，我们可直接以利用xn+1,f(xn+1) 以及Nn(x)来计算Nn+1(x)。1.牛顿插值公式的基函数对于一般形式的n+1个基点的差值问题，牛顿插值公式采用的基函数集合为k(x)|k=0,1,n,其中： 0(x)1k(x)= (x-x0)(x-x1)(x-xk-1),k=1,2,n (1)不难看出，对任意k=1,2,n, k(x)仅与前面的k-1个插值基点x0,x1,xk-1有关，且

17、 k(xj)=0,j=0,1,k-1k(xk) 0k(x) = (x-xk-1)k-1(x)2牛顿插值公式的一般形式牛顿插值公式就是利用上面给出的一组基函数的线性组合并利用插值条件确定组合系数所得到的插值多项式，其数学形式为 Nn(x)=c00(x)+ c11(x)+ cnn(x) 或 Nn(x)=c0+ c11(x)+ cnn(x) （2） 其中c0,c1,cn为待定常数。对任意0kn,利用基函数的性质, 我们不难得到 k(xj)=0,j=0,1,k-1 从而对任意j=0,1,n,我们有： Nn(xj)= c0+ c11(xj)+ cjj(xj) （3）3.组合系数的确定为了使（2）式真正成

18、为插值多项式,还需要根据插值条件确定组合系数c0,c1,cn.利用插值条件以及上面的（3）式，我们不难得到牛顿插值多项式的系数c0,c1,cn就是下面的线性方程组的解： (4)这是一个下三角形的线性方程组,直接求它的数值解也很容易,至少比本章第2节中的线性方程组（2）容易得多。4.差商的定义为了深入研究线性方程组(4)的解的特性，并得到更紧凑的计算格式，我们需要引进一个新的数学概念：差商。设f(x)是定义在某区间内取连续变量值或离散变量值的实值函数,且已知f(x)在n+1个互异的离散点x0,x1,xn 处的函数值f(x0),f(x1),f(xn),称 fxk=f(xk), k=0,1,n 为f

19、(x)在xk处的零阶差商;称 fxi,xj=( fxj- fxi)/( xj- xi) , ij,0i,jn 为f(x)在xi,xj处的一阶差商;5.高阶差商的递归定义 （1）假如我们定义了f(x)在x0,x1,xk和x1,x2,xk+1处的k阶差商fx0,x1,xk和fx1,x2,xk+1，定义f(x)在x0,x1,xk,xk+1处的k+1差商fx0,x1,xk+1为 这里,k可取值 1,2,n-1.注释：这是目前普遍采用的定义，它有利于用手工计算差商，但不利于许多重要结论的推导，也不利于利用机器计算。6. 差商的递归定义 （2）为了完善有关结论的证明，我们给出差商的一个等价定义如下：零阶和

20、一阶差商的定义不变；假如我们定义了f(x)在x0,x1,xk-1,xk和x0,x1,xk-1,xk+1处的k阶差商fx0,x1,xk-1,xk和fx0,x1,xk-1,xk+1，定义f(x)在x0,x1,xk,xk+1处的k+1差商fx0,x2,xk+1为 (5) 这里,k可取值 1,2,n-1.提示：凡是需要进行理论分析的时候，我们都采用这里的定义更为方便。7.差商的计算格式（1）根据差商的定义1，如果手工在草稿纸上计算f(x)的各阶差商，一般教科书中推荐按下面的格式计算：注意：我们将要用到的是主对角线上的元素，因此如果利用机器计算，存贮效率不高。 7.差商的计算格式（2）根据差商的定义2，

21、如果手工在草稿纸上计算f(x)的各阶差商，我们推荐按下面的格式计算：注意：计算方法是从第2行开始，逐行从上向下计算；每一行从主对角线上的元素开始，从左向右计算；每个元素都是利用上一行主对角线上的元素与“顶头上司”元素计算。这种方法特别适用于编程计算，无需保留中间结果。7.差商的计算算法（3）如果编程计算差商，采用下面的程序段比较好：假如在程序外定义数组XN,YN,FN,其中YK=f(Xk),K=0,1,N-1;FN用来存放fx0,fx0,x1,fx0,x1,xN-1，则相应的c语言程序段为： void GetDQTF() int i,j; for(i=0;iN;i+) Fi=Yi; for(j

22、=0;ji;j+) Fi=(Fi-Fj)/(XI-Xj) return;8重要结论定理1: 设f(x)是定义在某区间内取连续变量值或离散变量值的实值函数,对该区间内任意k+1个互异的离散点x0,x1,xk以及任意异于所有x0,x1,xk的x，我们有 (6)作为课外练习，我们鼓励大家勇敢地用数学归纳法完成这个定理的证明。如果一时完成不了，就记住这个结论。提示：不要看其他参考书，几乎所有的参考书关于这个定理的表述或者是含糊其辞，或者有错误没有实际意义。9.确定组合系数现在，我们只要把差商的定义以及上面的定理1与表1所确定的n+1个基点的插值问题联系起来，即可导出具有承袭性的牛顿插值多项式。定理2：

23、对于表1所确定的n+1个基点的多项式插值问题，对任意k=0,1,n-1，我们有 (7)证明：在（6）式中令x=xk+1立即得证。定理3：对于表1所确定的n+1个基点的多项式插值问题，我们有 ck=fx0,x1,xk, k=0,1,n 为线性方程组（4）的解。提示：这个定理实际上是上面的定理2的推论.10. 重要提示：为了完成上面定理的证明，我们可以这么干： 首先一行写：fx0=fx0 接下来再按k=0,1,n-1的顺序把上面的（7）式重写一遍，每遍占一行，再与(4)式对比，利用解的唯一性以及fxk=f(xk),k=0,1,n即可完成证明。 这个思路类似于中学里用同一法做几何证明题。话已说到这个

24、份上，如果还做不出来，那就根据差商的定义直接用数学归纳法证明，难度也不是很大。11.牛顿插值公式在（7）式中，取xk+1为任意异于x0,x1,xk的x,我们有 f(x)=fx0+fx0,xkk(x)+ fx0,xk,xk+1(x) 记 Nk(x)=fx0+fx0,xkk(x) Rk(x)= fx0,xk,xk+1(x) 则有 f(x)=Nk(x)+Rk(x) 特别地在取k=n，我们有它们分别称为牛顿插值多项式、插值余项和牛顿插值公式。12.计算表格与计算方法说明对于给定的n+1个基点的插值问题以及自变量的任意取值x,我们建议按如下的表格计算牛顿插值多项式的系数以及多项式的值。表中Xk列和yk列

25、为函数值列表，Fk存放fx0,x1,xk,Pk存放(x-x0)(x-x1) (x-xk),Nk存放Fk*Pk,最后对Nk列求和即可。kXkYkFkPkNk0X0Y0F0P0N01X1Y1F1P1N1NXNYNFNPNNN10.5插值余项与差商的性质讨论插值余项简单说来就是插值函数与被插函数之间的差，实际也就是误差。对于一般的n+1个基点的多项式插值问题，我们在前面的三节中分别给出了三种不同的方法：一般方法、拉格朗日插值法和牛顿插值法。由唯一性定理可知，不同的方法得到的不同形式的不超过n次的多项式由于在n+1个不同的点处的值相同，所以它们实际上是恒等的。所以本节关于插值余项讨论对前面三节给出的插

26、值公式都适用。1.插值余项的定义定义：对于一般的n+1个基点的多项式插值问题，设f(x)为被插值函数,Pn(x)为相应的插值多项式,记Rn(x)为f(x)与Pn(x)的差,即 f(x)= Pn(x)+ Rn(x) （1） 则Rn(x)就是用Pn(x)近似替代f(x)的误差,我们称它为插值余项.结论：由插值多项式的唯一性可以导出插值余项的唯一性。2. 插值余项的估计定理1：设f(x)是定义在a,b上的n+1阶连续可导的被插值函数,又假设n+1个插值基点满足ax0 x1xnb，Pn(x)为相应的插值多项式，Rn(x)为插值余项，则对任意x(a,b)，我们有: （2）提示：把x看作是(任意)固定的点

27、，作辅助函数 (3) 则g(t)有n+2个零点，n+1次应用罗尔定理，则存在使得g(n+1)()=0,注意到x是常数，Pn(t),n+1(t)是多项式，所以推出我们的结果并不难。3.差商与导数的关系在牛顿插值公式一节中，我们曾给出了多项式插值余项的数学形式。对(a , b)内任意异于x0,x1,xn的x,我们有 Rn(x)=fx0,x1,xn,x n+1(x) （4） 把它与上面的（2）式对比即可看出 （5）4.多项式的差商利用牛顿插值公式以及余项的数学形式，我们还可以推出许多有意义的结果，比如：任何n次多项式的n+1阶差商均为零。由n次多项式的n+1个互异的基点的牛顿插值公式的余项Rn(x)

28、=0,立即推得fx0,x1,xn,x=0.这个结论也可以由上面的（4）式立即推出。任何n次多项式的n阶差商均为常数。考察n次多项式P(x)的任意的n+1个基点的牛顿插值多项式Nn(x)，显然它们恒等，从而首项系数相同，所以Px0,x1,xn为常数。4.多项式的差商差商具有对称性，也就是说，如果z0,z1,zn是x0,x1,xn的任意一个排列，那么fz0,z1,zn= fx0,x1,xn. 证明：仅改变插值基点的排列顺序所得到的两个牛顿插值多项式是恒等的，所以他们的最高次项的系数也相等。提示：插商的对称性视察上的重要性直之一，至少我们不难利用插商的对称性证明前面给出的关于插上的两个定义是等价的。

29、10.6 灵活应用插值方法举例1 反(函数)插值在高等数学中我们已注意到这样一个事实：有时候求直接函数值比较容易，但是求反函数值却比较麻烦。我们可以巧妙地利用插值方法来解决这个问题。对于多项式插值来说，求反函数插值与求直接函数插值是完全一样的容易：我们只要简单地把直接函数的函数值列表的两行互换一下，即可得到相应的反函数的函数值列表，再利用反函数的函数值列表我们即可简单地计算反函数值，我们称之为反插值。我们无需编写反插值程序，在调用Lagrange插值的c语言函数时简单地互换数组X和Y的位置即可得到反差知结果。2 利用 反插值解非线性方程作为数值计算问题来说，求反函数值与解非线性方程实际上有异曲

30、同工之妙：y=f(x)的反函数当y=y0时的函数值x0实际上也是非线性方程f(x)=y0的解。注意到反函数当自变量取零时的函数值就是直接函数的零点，所以我们可以利用反插值求函数的零点。我们无需编写利用 反插值方法解非线性方程的程序，既然可以直接利用Lagreange插值的程序进行反函数插值，所以直接取(反）插值点为0即可。一般很少有专门利用反插值方法解非线性方程的，主要原因是数字性能得不到保证。但是与一些具体方法结合起来实用，效果都是不错的。3.反插值与二分法集成求解非线性方程现代数值计算的一个基本方法是首先找出问题的一个精确度不太高的近似解，然后利用一个迭代过程得到一个比一个更精确的解。在这

31、个过程中，利用已经得到的结果灵活应用插值方法计算，插值的计算量可忽略不计，通常可以得到更好的结果。假如用二分法求f(x)在a,b上的解，可以利用a,b,以及中点x0这三个点处的函数值做一次反插值，也可以得到一个近似解。当区间长度不太大时，用这种方法得到的解通常更精确一些。在二分法中，随着计算区间长度趋近于零，用反插值方法得到的近似解序列通常会更快地收敛于零。反插值与二分法集成的好处是，如果区间长度较大，二分法得到的结果更好一些；当区间长度较小时，3个基点的反插值方法的性能可叫板牛顿法。实际上也容易利用4个(足矣）基点反插，效果还要好一些。4.抛物线插值与黄金分割法集成假设用黄金分割法求函数的极

32、值点，我们实际上可以知道4个点x0,x1,x2,x3处的函数值。其中x0和x1委区间的端点，x1,x2每为区间上的两个黄金分割点。一次迭代即可去掉一个点，利用保留下来的三个点做抛物线，从而可以直接写出这个抛物线的极值点。在黄金分割法中随着迭代的继续，我们也可以得到插值结果的序列，他们通常会更快地收敛于问题的解。可以编写一个c语言函数(见教材第292页程序10.09)，直接算出经过(x0,y0)、 (x1,y1)和 (x2,y2)的抛物线的极值点，这样可以简化程序的编写。10.7分段Hermit插值利用插值的方法进行有关计算，基本要求就是误差应尽可能小，通常的想法是，我们可以通过增加插值基点从而

33、提高插值多项式的次数来提高插值的精度，但这并不是最有效的方法。当插值多项式的次数较高时，可能会产生意想不到的龙格现象，此时，次数的增高反而产生不利影响。理论分析和数值试验表明，采用低次的多项式插值，并辅之以缩短插值区间长，通常能得到更好的效果，分段三次Hermit插值就是这种思想的最好体现。1.多项式插值的龙格现象设被插函数为f(x)=1/(1+x2)，插值区间为-5,5,把插值区间n等分，插值基点为区间的等分点。我们会发现，随着n的增大，插值多项式在区间端点附近发生激烈的震荡，这就是龙格现象克服的办法：减小插值区间，降低多项式的次数，要求插值函数与被插函数在基点处的导数值相同。图7.1 多项

34、式插值的龙格现象示意图2.Hermit插值（问题）问题：已知f(x)在x0,x1,xn处的函数值y0,y1,yn和导数值z0,z1,zn,我们可以构造一个2n+1次多项式H(x),满足这2n+2个条件，即 这就是Hermit插值问题。提示：分段插值重点应解决的问题是插值函数在段与段的分界点处的光滑性问题，所以Hermit插值是分段插值的基础。类似地我们还可以要求插值函数满足在节点处高阶导数值的要求。2.Hermit插值（方法）仿照拉格朗日插值公式的构造方法，我们也可以把H(x)表为基函数k(x),k=0,1,n和k(x), k=0,1,n的线性组合，且组合系数相应地分别为y0,y1,yn和z0,z1,zn，则有：显然，H(x)是2n+1次多项式，它由2n+2个常数确定，而则2n+2个常数正好由2n+2个插值条件确定。2.Hermit插值（插值条件）不难看出，对任意给定的j=0,1,n,可以证明，对任意给定的j=0,1,n及k=0,1,n所以H(x)的确满值插值条件。3三次Hermit插值问题：已知f(x)在x0,x1处的函数值y0,y1和导数值z0,z1,求三次多项式H(x),满足相应的插值条件。显然，这是最简单的Hermi