53广义逆矩阵天津科技大学欢迎您

1、5.3 广义逆矩阵第五章 矩阵的相抵与相似 广 义 逆 矩 阵 设AX=B,如果A是可逆方阵，则X=A-1B 如果A是mn 矩阵，B是m1矩阵，是否存在nm矩阵G，使得X=GB？ 1920年摩勒（E.N.Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们的重视，到了1950年后，由于电子计算机的出现，推动了计算科学的发展，广义逆矩阵才引起了普遍的关注，从而得到迅速发展，现在它已成为代数课程的基本内容之一。我们这里只能介绍它的基本概念及简单性质，从而也能略微了解到科技界很乐意使用这一工具的原因。 现在观察这样的G有何性质 因为若AX=B有解 (X =GB) ，即有某个n维列向量X0

2、，使AX0=B。若对任意X0有AX0=B，则有AX0=A(GB）=AG(AX0）=AGAX0=B=AX0于是有AGA=A；反之，设对某个nm阵G：AGA=A，则对任意X0，有AGAX0=AX0，既是A（GB）=B。所以有 Lemma：设A为mn 矩阵,某个nm矩阵G,对任意n维列向量X0及B=AX0,满足AGB=B的充分必要条件是AGA=ADef.:(广义逆矩阵)A为mn 矩阵，如果存在nm矩阵G，满足AGA=A，则称G为A的一个广义逆矩阵(Generalized inverse matrix)。记为A- Coro.：G是A的一个广义逆，则AX=B有当且仅当AGB=B。 *当A是可逆方阵，由A

3、GA=A，立即推出G=A-1，这时广义逆矩阵就是逆矩阵。 我们讨论两个问题： 1）对任意mn 矩阵A，它的广义逆矩阵的存在性，若存在如何求其全部广义逆阵。 2）如果AX=B有解，G是广义逆矩阵，则GB是解。反过来，对它的任意解X0，是否能写成X0=GB（G是A的某个广义逆）。 Th.1：设mn 矩阵A的秩为r，且设这里P，Q分别为mm，和nn可逆矩阵，则A的全部广义逆为 这里Cr(m-r)，D(n-r)r，F(m-r)(n-r)为任意矩阵。*由此可知矩阵的广义逆存在不唯一Pro.： =A, ，设G满足AGA=A，且设于是 =就等价于 = = ，即 ，故 。 Ex.1设 A= ，B= ，D=计算

4、ABA和ADA 易知B、D均是A的广义逆矩阵。广义逆矩阵存在但不唯一。 Th.2：设AX=B有解，且B0，则它的解的一般形式为GB，其中G为A的任意一个广义逆。 Th.3：设A为mn 矩阵，G为任意给定的广义逆，则齐次线性方程组AX=0的全部解为（En-GA）Z，这里Z取遍任意n维列向量。Coro.：设G是A的一个广义逆，AX=B有解，则其全部解为 GB+（En-GA）Z一般地，A Mn(P),(A-1)-1=A看上例：A= 取A-=但A-AA- = A-即(A-)- A 。A与A-能互为广义逆时称A为自反广义逆，在自反广义逆中，还有一类更特殊的也更重要的广义逆，即为伪广义逆矩阵，它不仅在应用上特别重要，而且有许多有趣性质。我们受限于学时,只能介绍它的概念，其他有关性质参看参考文献。Def.:（Moore-Penrose广义逆）A是复mn 矩阵，如果存在nm矩阵G，满足（1）AGA=A;（2）GAG=G;（3） （4）则称G为A的Moore-Penros