运筹学 第九章

1、专业代码11专业名称信息管理与信息系统课程代码18课程名称运筹学试题类型 代码08试题类型名称计算题出题人管理员出题 日期2005-11-4知识点 代码题干答案评分标准难 度 系数认 知 分 类建 议 分 数建 议 时 间11180902某车站候车室在某段时间内旅客以强度50人/时的泊松流到达，每位旅客在候车室内平均 停留时间为0.5h，服从负指数分布，问候车的平均候车人数为多少？答案：25人中运 用1012某修理店只有一个工厂，每小时平均有4个顾客带来器具要求修理。这个工人检查器具的 损坏情况，予以修理，平均需6min。设到达是泊松流，服务时间是负指数分布，求：（1） 判断该系统属于何种排队

2、模型（2）修理店空闲时间的比例；答案：（1）该系统属于M / M/1 ： 3 / 3 / FCFS 模型；（2）0.6某修理店只有一个工厂，每小时平均有4个顾客带来器具要求修理。这个工人检查器具的 损坏情况，予以修理，平均需6min。设到达是泊松流，服务时间是负指数分布，求：（1） 店内恰有3个顾客的概率；（2）店内至少有1个顾客的概率；答案:（1）0.0384（2）0.4某修理店只有一个工厂，每小时平均有4个顾客带来器具要求修理。这个工人检查器具的 损坏情况，予以修理，平均需6min。设到达是泊松流，服务时间是负指数分布，求：（1） 排队系统中顾客的期望值；（2）等待服务的顾客的平均数；答案

3、：（1）0.67（2）0.267某加油站有一台加油设备，加油的汽车以平均每5分钟1辆的速度到达，服从泊松分布， 加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为4分钟。试求：这个加油站平均有多少辆汽车在等待加油？ .11人一一M / M /1/3 / 3 X = r = p = = 0.8(p = 1 -p = 0.2 L =-P = 3.2 L =- = 40q 1 p$1 p某加油站有一台加油设备，加油的汽车以平均每5分钟1辆的速度到达，服从泊松分布， 加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为4分钟。试求：每辆汽车为在这里加油平均需耗费多长时间？M / M/1/3/3 X = 1 r

4、= 1 p =- = 0.8 54RW, = R -广 20 Wq = R( R X) =16某加油站有一台加油设备，加油的汽车以平均每5分钟1辆的速度到达，服从泊松分布， 加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为4分钟。试求：管理部门规定，若加 油的平均等待时间超过3分钟或系统内的平均汽车数超过8辆，则需要增加加油设备，试 计算现在的情况是否需要增加加油设备？M / M/1/3/3 X = 1 r = 1 p =- = 0.854RW 3 L 8 n X 9, W 3 n X 赤故当入超过（3/28）时，需要增加加油设备。某修理店只有一个工厂，每小时平均有4个顾客带来器具要求修理。这个

5、工人检查器具的 损坏情况，予以修理，平均需6min。设到达是泊松流，服务时间是负指数分布，求：（1） 顾客在店内一共需要多少时间；（2）顾客等待的平均时间；答案：（1） 10分（2） 4分某车间的工具仓库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6min。 到达为泊松流，服务时间为负指数分布。由于场地等条件限制，仓库内能借工具的人最多 不能超过3个，求：（1）仓库内没有人借工具的概率；（2）系统中借工具的平均人数。答案：(1) 0.6158 (2) 0.5616 (人)某车间的工具仓库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6min。 到达为泊松流，服务时

6、间为负指数分布。由于场地等条件限制，仓库内能借工具的人最多 不能超过3个，求：（1）排队等待借工具的平均人数；（2）工人在系统中的平均花费的时间； （3）工人平均排队时间。答案：(1) 0.1616(人)(2) 0.14.4(h) (3) 0.0404 (h)较难运 用1212某工具间管理相当差，平均为一个机械工服务就要12min。现在5个机械工，平均每15min 有一个机械工来领取工具，到达为泊松分布，服务时间为负指数分布。求：（1）工具保管员空闲的概率；（2）五个机械工都在工具间的概率；答案：(1) 0.00731 (2) 0.287某工具间管理相当差，平均为一个机械工服务就要12min。

7、现在5个机械工，平均每15min 有一个机械工来领取工具，到达为泊松分布，服务时间为负指数分布。求：（1）工具保管员空闲的概率；（2）五个机械工都在工具间的概率；答案：(1) 0.00731 (2) 0.287某工具间管理相当差，平均为一个机械工服务就要12min。现在5个机械工，平均每15min 有一个机械工来领取工具，到达为泊松分布，服务时间为负指数分布。求：（1）系统中的平均人数；（2）排队的平均人数；答案：（1） 3.76 （人）（2） 2.77 （人）某工具间管理相当差，平均为一个机械工服务就要12min。现在5个机械工，平均每15min 有一个机械工来领取工具，到达为泊松分布，服务

8、时间为负指数分布。求：（1）每个机械工再工具间的平均逗留时间；（2）每个机械工的平均排队时间；（3）对话上述进行评价；答案：（1） 46 （min） （2） 34 （min） （3）由于队伍长，排队等待时间久，严重影响工作， 故应增加工具间的保管员某厂有一机修专业修理某种类型的设备。今年知该类设备的损坏率服从泊松分布，平均每1天两台。又知修复时间服从负指数分布，平均每台的修理时间为一天。但R是一个与修理R人员多少及维修设备机械化程度（即与修理组织年开支费用k）等有关的函数。已知R （k） = 0.1 + 0.001k（k 1900元），又已知设备损坏后，每台每天的停产损失为400元，试决定该厂

9、修理最经济的k值及R值。（提示：以一个月为期进行计算。）答案：p =0.8，p 0 = 0.00731，P 5=0.287，L=3.7(X )6,L =2.77( X ),W=46(min),W =34(min)某厂医务室共有同样医疗水平的大夫2名。已知职工按泊松流来到义务室就诊，平均每小 时来到15人；诊病时间平均每人6min，并服从负指数分布。现在要问：（1）医务室空闲的概率；（2）再医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人各为多少？（3）平均每一病人在医务室逗留的时间为多少？答案：(1) 0.143(2) 3.43； 1.93(3) 0.23中运 用1012一个单人理发点，顾客到达服从Poi

10、sson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时间 服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：（1）顾客来店理发不必等待的概率；（2） 理发店内顾客平均数；答案：这是一个M/M/1:3/3/FCFS排队系统X=3， r=4， p=X/r=3/4=0.75P0=1-p=1-0.75=0.25p0.75L = = 31 p 1 0.7511180903某蛋糕店有一服务员，顾客到达服从人=30人/小时的Poisson分布，当店里只有一个顾客 时，平均服务时间为1.5分钟，当店里有2个或2个以上顾客时，平均服务时间缩减至1 分钟。两种服务时间均服从负指数分布。试求：（1）此排队系统的状态转移图；（2

11、）稳态下的概率转移平衡方程组；（3）店内有2个顾客的概率；（4）该系统的其它数量指标。【解】（1）此系统为M /M 0 Ai田 X（2）由转移图可得稳态下的,力.P =一 P P =1（3）已知人=30（人/小时由芝P = 1得ii=0/1:8 / 8 / FCFS 排差分方程组如下：XP0 = p1PXP +p P = (p + 02 21XP + p P = (p + XP + p P =(p X；-1 P 2 P _ X p p 03 p121、1.)p= x =40(人1 1.560P 1+产 01 p pn-1 X P - 1 4 p队模型，该系统的状态转移图如下：2A-X) P 1

12、X) P2+ X) PPP = Xn Pp 20np p n-10212,1/小时)p =60(人/小时)21601 = 1-1难综合202501 -p1-2人303人301令1 p404P2p602，有12P =1+-1 = 1+01 -P121人nP =p = P P n-1 pn p p n-1 01 21 2则 P =pp P = 3x1 x0.4 = 0.1521 2 04 2(4)系统中的平均顾客数(队长期望值)L =切 nP =切 np p n-1 P =p P (1 + 2n=0n=013c 11 0(1 -p )2 4 *(1 -0.5)22在队列中等待的平均顾客数(队列长期

13、望值)L =(n 1)P =nP -EP n=1n=1n=1=L p P (1 + p + p2 +. + p 1 02223 x 0.4=1.2 - 土丁 = 0.4 (人) 1 -2系统中顾客逗留时间W = L =12 = 0.04 人 30系统中顾客等待时间 L 0.4 W = = = 0.0 q人 303马-1 = 0.420p + 3p +.)=1.2(人)nn-1 + .) = L - P P01 -p2(小时)13(小时)一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时间服从 负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：（1）顾客在理发店内的平均逗留

14、时间；（2）当 顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时答案：这是一个M/M/1:s/8/FCFS排队系统人=3， p=4， p=X/p=3/4=0.75（3）W = = - = 1（小时）p-X 4-3（4）W =二=二=1.25，X=3.2，p-X 4-X当顾客到达速率增加到每小时大于3.2人，即顾客相继到达的时间间隔缩短到18.75 分钟以下时，顾客在店内平均逗留时间将超过1.25小时。中运 用1012某商店每天开10个小时，一天平均有90个顾客到达商店，商店的服务平均速度是每小时 服务10个，若假定顾客到达的规律是服从Poisson分布，商店服务时间服从负指数分

15、布， 试求：（1）在商店前等待服务的顾客平均数。（2）在队长中多于2个人的概率。（3）在商店中平均有顾客的人数。（4）若希望商店平均顾客只有2人，平均服务速度应提高到多少。【解】此题是属于M /M/1:8/8/FCFS系统，其中： X =9 (个/小时) p =10(个/小时)p=X/p =9/10L = p2 /(1 - p) = 8.1 (个)qP(N 2) = p 3 = 0.729L =p/(1 -p) = 9 (个)L = X /(p - X) = 2X + 2X 9 +18 p = 一 = = 13.5 (个/小时)较难分析1212为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要

16、决定等待理发的顾客的位子应设 立多少。假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时 间服从指数分布，平均每3分钟1人。如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他 理发店的人数占要理发的人数比例为7%时，应该安放几个位子供顾客等待？【解】此题属于M /M/1:N/8/ FCFS模型，依题意知：X = 1/4，p =1/3，p =X / p =3/4解出L及Lq的含N的表达式，令L/Lq-7% 解得N 21.67某服务部平均每小时有4个人到达，平均服务时间为6分钟。到达服从Poisson流，服务 时间为负指数分布。由于场地受限制，服务部最多不能超过3人，求：（1）服务部

17、没有人到达的概率；（2）服务部的平均人数；（3）等待服务的平均人数；（4）顾客在服务部平均花费的时间；（5）顾客平均排队的时间。【解】依题意，这是M /M/1:N/s/FCFS排队系统。其中：N =3，人=4，日=10，p=/日=0.4n 1 - PP = =(1-0.4) /1- (0.4)=0.615801 - p N +1L = 0.5616 (人)L = 0.1616 (人)W = 0.1404 (小时)W = 0.0404 (小时)某车间有5台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。 有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。求该排队系

18、统的数量指 标，P，匕，L，七，W和P。【解】由题意知，每台机器每小时出故障的平均次数服从泊松分布，故该排队系统为M / M/1:s / m / FCFS 系统，其中：人=1/15，m =5，日=1/12，p =入/日=0.8J5!1-1(5 P k =0.0073k=0L = 5- 1/15 + 1/12(1 -0.0073) = 2.766 (台) q1/15L = L + (1 -P ) = 3.759 (台)W =舛=33.43 (分钟) q(5 一 L)XW = W +- = 45.43 (分钟)m!5!P5 = (m-5)LJ P0 = o!(0.8)5(0.0073) = 287

19、证明：一个M /M/2:8/8/FCFS的排队系统要比两个M /M/1:8/s/FCFS的 排队系统优越。试从队长L这个指标证明。【证】设M /M/1:8/8/FCFS的服务强度为 p，则M /M/2:s/s/FCFS服务强度为2P。则rp2 p两个单服务台的系统L =111 - p 1 - p八11 - p两个服务台的系统 P =11=10 1 + 2 p+1 x 1 x (2 p )2 1 +p2 pT c(2p)2 x p 1 - p 2p队长L2 2 p + 2 x (1 -p )2 X 1+p= 1 -p 2八4T2 p,2 p由于 0 p L 11 p 21 p 2即系统1的队长大

20、于系统2的队长，故单队2服务台的系统优于2队单服务对的系统。11180904某博物馆有4个大小一致的展厅。来到该博物馆参观的观众服从泊松分布，平均96人/小 时。观众大致平均分散于各展厅，且在各展厅停留的时间服从1/R =15分钟的负指数分布， 在参观完4个展厅后离去。问该博物馆的每个展厅应按多大容量设计，使在任何时间内观 众超员的概率小于5%。【解】此问题中服务员数量s = 8，属于M /M /8系统，每个展厅内：、9660X 人=-j- = 24人/小时，日=4人/小时，p= = 6415目p i八-P = . e p（i = 0,1,2,）t- 要确定展厅的容量n，使观众超过n的概率小于

21、0.05，即有党 %-6 10。故每个展厅应至少容纳10人，使在任何时间内观众超员的概率小于5%。两个技术程度相同的工人共同照管5台自动机床，每台机床平均每小时需照管一次，每次 需一个工人照管的平均时间为15分钟。每次照管时间及每相继两次照管间隔都相互独立且 为负指数分布。试求每人平均空闲时间，系统四项主要指标和机床利用率。【解】由题意可知，该系统为M s = 2， m 5， X = 1 台 / 小 I p /m = X/ ps =1/8。工人空闲率：P =9 + 5 x 0.25 + 5 x 4/： =0.316p = n计算得：L = P + L q 工人平均空闲时间：1/2寸(2-n=0

22、X = 1x(5-1.092)= 3.908c1.092W广 L / 人 c= 3908 0.279W = L / X 0116 0.029 q q c 3.908机床利用率：1- L、/ m = 1-1.091/M / s:8/m/ FCFS系统，且：时，p= 60/15 4 台/小时，sp/m = X/p = 1/4，Z x 0.252 + 5!x0.1253 + 5!x2 x 0.1254 + 5!x2 x 0.12555(0 n 2)(m - n)!n! pj。四传“PG n 5)、(m-n)!s!sn-s pj 0-2P + 3P + 4P + 5P r 1.092 台=P + 2P

23、 + 3P r 0.116 台n)P = 1/2(2 P + P1 )= 0.5119(小时)=16.8 (分钟)(小时)=1.8 (分钟)2/5 78.016%11180905某储蓄所有一个服务窗口，顾客按泊松分布平均每小时到达10人，为任一顾客办理存款、 取款等业务的时间T服从N（0.05,0.012）的正态分布。试求储蓄所空闲的概率及其主要 工作指标。【解】这是一个M /G/1:s/8/FCFS排队系统。由题意知：X 10人/小时，p= 20 人/小时，p = X / p = 0.5，E(T) = 0.05，Var(T) = 0.012 储蓄所空闲的概率及其主要工作指标为：p = 1 -

24、p = 0.5 ,0.52 +102 x 0.012 Lq=2(1 -0.5)= 026 (人)L = L +p = 0.76 (人)W = 4 = 76 h r 5 (分钟) X 10e L 0.26W = q = 10 h r 2 (分钟)某检测站有一台自动检测机器性能的仪器，检测每台机器都需6分钟。送检机器按泊松分 布到达，平均每小时4台。试求该系统的主要工作指标。解：这是一个M /D/1:8/8/ FCFS系统，且： 人=4 台/小时，1/u= 6分钟/台，p=X/日=0.4 Var(T) = 0 各主要工作指标为： r0.422/q 2(1 - 0.4) 15(台 -8L = Lq

25、+ p= 15 (台)L 1 ,W =寸=30 h = 2 (分钟)W = W +- = 8 (分钟)一个电话间的顾客按泊松流到达，平均每小时到达6人，平均通话时间为8分钟，方差为8 分钟，直观上估计通话时间服从爱尔朗分布，管理人员想知道平均列队长度和顾客平均等 待时间是多少。解：该系统为M /气/1:8/8/ FCFS排队系统，其中：E (T )2828k = ( ) =一 = 4，p = 6 x = 0.8Var (T)1660,0.82 x (4 +1) q-2x4(1 -0.8) = 2 (人)L 2, _W = q = h = 20 (分钟)q人 611180906对某服务台进行实测，得到如下数据：【解】该系统为M /M/1:3/8/FCFS系统，首先通过实测数据估计平均到达率人:P因为-p = Pn-1可以用下式来估计PP = 123 4 = 2（0.6 + 0.55 + 0.64） = 0.6 3 m3n =1 n1由日=6 /小时，可得人的估计值为：X = p = 0.6 x 6 = 3.6 人/小时为