2021-2022学年湖南省株洲市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年湖南省株洲市高一下学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（）ABCDA【分析】先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可.【详解】不等式 ，即 ， ，所以；故选：A2“，”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】 “，”可推出“”，“”不能推出“，”，例如，时， “，”是“”的充分不必要条件.故选：A3设，若，则（）ABCDC【分析】利用对数函数的性质即得.【详解】，.故选：C.4在中，为的中点，为上靠近C点的三等分点，则（）ABCDD【分析】利用向量

2、加减法的三角形法则，转化为和即可【详解】.故选：D.5若，且，则的最小值为（）ABCDB【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.故选：B6某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（）A，B，C，D，C【分析】依据平均数和方差的定义分别计算出、，再进行大小比较即可.【详解】设这个班n位同学的成绩分别是，第一次漏过了第i位同学的成绩，第一次计算时总分是，方差是第二

3、次计算时，方差故，故选：C7饕餮（to ti）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）ABCDB【分析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下

4、，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.8在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动若平面，则的最小值是（）ABCDC【分析】取的中点，的中点，连结，取中点，连结，推导出平面平面，从而点的轨迹是线段，由此能求出的长度范围，即可求出其最小值【详解】解：取的中点，的中点，连结，取中点，连结，点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，平面平面，动点在正方形包括边界内运动，且面，点的轨迹是线段，当与重合时，的长度取最小值，为，当与或重合时，的长度取最大值，为故

5、选：C二、多选题9已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（）A复数的模为B复数的共轭复数为 C复数的虚部为D复数在复平面内对应的点在第三象限ABD【分析】化简出复数，即可判断出答案.【详解】，故A正确，复数的共轭复数为 ，故B正确；复数的虚部为，故C错；复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故D正确故选：ABD.10已知，是单位向量，且，则（）AB与垂直C与的夹角为DBC【分析】单位向量为模长为1的向量，结合坐标法求模长及可判断A，B选项；由可判断D，再根据数量积求夹角判断C.【详解】解：因为，所以， ，所以，所以，故B正确，A错误；，因为，所以，所以与的夹角为，故C正确，D错误故选：B

6、C11下面叙述正确的是（）A垂直于同一直线的两条直线相互平行；B正三角形的平面直观图一定不是等腰三角形C圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为D若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直BCD【分析】举出反例即可判断A；根据斜二测画法即可判断B；分别求出圆柱和球的体积，即可判断C；根据面面垂直的性质即可判断D.【详解】解：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，不为等腰三角形，选项 B 正确； 圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的体积为与圆柱的体积为 ，球与圆

7、柱的体积之比为，选项C正确；若两个平面，垂直，假设平面内与它们的交线l不垂直的直线与平面垂直，因为，且平面，的交线，所以可得，这与条件l与不垂直相互矛盾，所以假设不成立，原命题成立，故D正确故选：BCD.12下列表述正确的有（）A在平行四边形中，B在中，若，则是钝角三角形C在中，边上的高等于，则D函数的最小正周期为ABC【分析】A选项，利用向量加法的平行四边形法则可得；B选项，利用向量的数量积的运算法则得到，为钝角；C选项，求出：，利用余弦定理得到；D选项，利用半角公式化简得到，从而求出最小正周期.【详解】由向量加法的平行四边形法则可知：，A正确；在中，即，所以，为钝角，则是钝角三角形，B正确

8、；如图所示，在中，边上的高，则，由勾股定理得：，则由余弦定理得：，C正确；D选项，所以最小正周期为，D错误.故选：ABC三、填空题13一组数据为12，5，7，11，15，30，则这组数据的分位数是_12【分析】根据百分位数的概念计算，将数据从小到大排列，即可求得答案.【详解】因为，把这组数据从小到大排列为：5，7，11，12，15，30；所以这组数据的分位数是第4个数，即为12,故1214的内角、的对边分别为、，其外接圆半径，则的面积为_0.75【分析】利用正弦定理的比值与外接圆半径的关系可得，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：由题，由正弦定理得，所以 ，所以 .故15将函数的图象向左

9、平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为_【分析】先根据图象的变换原则得到的解析式为，再由在区间上有且仅有一个零点，根据可判断，即可求解.【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，因为，所以，即，故四、双空题16已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为_，二面角的正弦值为_ 【分析】由球的体积可求出球的半径，即可得出正三棱柱的高与底面正三角形的

10、边长，即可求出三棱柱的侧面积与二面角的正弦值.【详解】设球的半径为r，则，解得r2，所以正三棱柱的高为2r4又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，设底面正三角形的边长为，则，解得，所以正三棱柱的侧面积，取中点为,连接.因为、平面、平面所以平面，平面所以所以二面角的平面角为.在中：在中：所以二面角的正弦值为.故；.五、解答题17已知在某次招考测试中，甲乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲乙能够通过测试的概率分别为求：(1)恰有1人通过测试的概率；(2)至少有1人通过测试的概率(1)(2)【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求解

11、.（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】(1)设事件“恰有1人通过测试”，则，由于事件，均相互独立， 因此.(2)设事件“至少有1人通过测试”，则事件的对立事件为：2人都没有通过测试，因此.18在中，角所对的边分别为，且(1)求角的值；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围(1)(2)【分析】（1）利用等价于，化简后利用余弦定理即可求出角的值;（2）利用正弦定理用角表示出，根据角的取值范围，即可求出的取值范围.【详解】(1)因为，且，所以利用正弦定理化简得：即，由余弦定理可得，又因为，所以；(2)由（1）得，即，又因为三角形为锐角三角形，所以解得：，因为，由正弦定理得：

12、所以，所以因为，所以，所以则的取值范围为19如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，点Q是PC的中点(1)求证：平面(2)在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？(1)证明见解析(2)存在；【分析】（1）在平面BDQ内找到一条直线与直线PA平行即可；（2）根据直线与平面夹角的定义，找到这个夹角，运用三角函数即可求解.【详解】(1)连接AC，设AC交BD于O，连接OQ，因为底面ABCD是矩形，则O是AC中点，又点Q是PC的中点，故OQ是三角形CPA的中位线，则，又平面BDQ，平面BDQ，故平面 ；(2)因为平面ABCD，

13、平面ABCD，则，又底面ABCD是矩形，则，又PD，平面PAD， ，则平面PAD，即平面PAD，故就是直线PF与平面PAD所成的角，又则，故故当时，在线段AB上是存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为 ；综上，存在F点，使直线PF与平面PAD所成的角为，.20如图，三棱锥中，平面ABC，(1)求三棱锥的体积；(2)点M在线段PC上，且满足，求证：(1)(2)证明见解析【分析】（1）三棱锥的体积为三棱锥的体积，先求得的面积，再结合平面ABC，即为底面的高，根据三棱锥的体积公式即可求解；（2）过点M作交AC于N，连接BN，BM，由平面ABC易得，即，再结合与平行关系可求得，利用勾股定理证得，进

14、而求证.【详解】(1)因为，所以在中，由可得，又，所以，所以，所以，则，因为平面ABC，所以是三棱锥在平面上的高，又，所以三棱锥的体积(2)如图，在平面PAC内，过点M作交AC于N，连接BN，BM因为平面ABC，平面，所以，则.由知，由（1）可得，所以，在中，所以，即由于，平面，故平面MBN，又平面MBN，所以质量指标值频数(1)规定：智能音箱的质量指标值平均值越高，说明该企业智能音箱的质量越好试利用统计知识判断甲、乙两家企业中哪家企业所生产的智能音箱质量更好(2)规定：质量指标值不小于的智能音箱为一等品，质量指标值在区间内的智能音箱为二等品 按比例分配的分层抽样的方法从企业乙所抽取的台智能音

15、箱中再抽出台智能音箱作进一步的质量分析，并从中再随机抽取台带回教育集团，试求恰好带走台一等品智能音箱的概率(3)将这次抽查所得的样本平均数、样本标准差分别视为总体平均数、总体标准差 若在一天内所抽查的智能音箱中，出现质量指标值在区间的左侧的智能音箱，则认为生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查经计算，企业乙所生产的智能音箱质量指标值的方差为，若该天企业乙抽查到一台智能音箱的质量指标值为，则是否需对企业乙当天的生产过程进行检查试说明理由参考数据：(1)企业甲生产的智能音箱质量更好；理由见解析(2)(3)需对企业乙当天的生产过程进行检查；理由见解析【分析】(1)

16、由频率分布直方图和列表求平均数即可；(2)由题意可知取的台智能音箱中一等品、二等品各有台，采用列举法求概率即可；(3)由题意可得，又因为位于区间左侧，故得结论，需要进行检查.【详解】(1)解：企业甲所生产的智能音箱质量指标值的平均数为，企业乙所生产的智能音箱质量指标值的平均数为，故企业甲的智能音箱质量指标值平均数更高，故企业甲生产的智能音箱质量更好；(2)由频数分布表可知，台智能音箱中一等品、二等品各有台、台，由分层抽样可知，所抽取的台智能音箱中一等品、二等品各有台，记这台一等品为，、台二等品为、，则从台智能音箱中抽取台的可能结果有：、共种，其中恰有台一等品的可能结果有种，故恰好带走台一等品智能音箱的概率为；(3)由知，企业乙所抽查的智能音箱质量指标值的平均数为，故，则总体标准差，所以，而位于区间左侧，故需对企业乙当天的生产过程进行检查22已知函数， (1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围(1