天体力学林lect平动点的位置及Jacobi积分常数

1、3.5 平动点的线性稳定性平动点的位置及Jacobi积分常数Jacobi积分常数具有能量量纲。共线平动点都在鞍点 上，而三角平动点处是 Jacobi积分的极值点，这意味着Jacobi积分对三角不动点附近的轨道不再有限制。3.5 平动点的线性稳定性三角平动点附近的零速度面及加速度 0.1,CJ 2.95,CJ 3.09加速度方向是否意味着不稳定性？3.5 平动点的线性稳定性圆型限制性三体问题中m 的运动方程为： 1 n2 x2 y2 1 ,x 2ny x2 x y2 z2 ,r1r2y 2nx r 2其中 y1z x 1 y2 z2.r 2 z2该运动方程可以改写成一阶方程组的形式： ,x v

2、, 2nvv xxxy ,y vv 2nv, yyyx .z v ,v zzz令方程组的右端全部为零则可解得平动点.3.5.1 变分方程与线性稳定性假定 m 稍微偏离一点平动点的位置 x , y , z T 到新的位置 x, y, z T ,其中：000z z0 Z.X ,y y0 Y ,0代入运动方程：d 2 x X d y Y x y2n00dtdt 2, y y0 Y , z z0 Zd 2 y Y d x X 2n00dtdt 2, y y0 Y , z z0 Zd 2 z Z 02 zdt, y y Y , z z Z000而上述方程组的右端可以在 x , y , zT 附近作展开,

3、比如：000 x, y y0 Y , z z0 Z0X Y Z 高阶项 y x z x x 0000 表示求导在 x , y , z T 处进行0000X ,Y , Z 是小量3.5.1 变分方程与线性稳定性在上述方程中略去高阶项,考虑到平动点的性质,最终可以将关于 X ,Y , Z T的方程写成一阶形式：0 X00000000100010200 XY0 Y1 Z0 Z 0 02 0VVyxz00XX yx yy yz V0 VYY000V0 VZ Zzxzyzz000在平动点有 z 0, 显然地： 1 0,xzyzzzr3r300012 0令 A zz 0,可将 z 方向的运动分离出来：0Z

4、 AZ这是一个简谐振动的方程, 所以在 z 方向的运动是稳定的.Z cost,2 A0 = 2xy0 xy 03.5.1 变分方程与线性稳定性度分离,只考虑关于 X ,Y T 的方程：在上述方程中将 z0 X 000010 X1 Y Y.y 2 VV02 0XX V0 VY Yyxyy00平动点是否稳定,可以从 X ,Y , Z 随时间的变化情况反映.Z 是稳定的,而 X ,Y的动力学演化情况则由上述常微分方程决定.n 的常微分方程可写成如下形式:T一般地,一个关于向量 X X= AX.方程的解的情况由系数矩阵 A 决定. 特别地,如果矩阵 A 是一个对角矩阵,该方程的各个变量之间没有耦合关系

5、,那么这个方程就可以解出来：A diag 1, 2 , n X i i Xii 1, 2, nX c eitiiA 是 n n 矩阵各变量之间有耦合关系例如VX VX X ,Y ,VY 3.5.1 变分方程与线性稳定性实际上,可以构造一个变换矩阵 B 使得 Y BX 从而将 X= AX 变成Y= BAB-1Y并且其中的系数矩阵 =BAB-1 是一个对角矩阵: 0 01 00 .2=BAB-1 00n 一般地,这样的变换矩阵 B 可以这样构造:B = B1 , B2 , Bn ,其中的Bi 是矩阵 A 的第i 个特征向量,并且这样的构造使得对角矩阵 中的第i 个对角元素是矩阵 A 的第i 个特征

6、根.根据前述对角系数矩阵常微分方程解的情况,Y = BAB-1Y Y 的解是:Y c eitii可见 X = AX 解(由X= B-1Y 给出) 的稳定性情况由系数矩阵 A 的特征根决定.若存在向量x 和数量 使Ax x则x为矩阵A的特征向量而 为相应的特征根X= B-1Y, X = B-1YB-1Y AB-1Y Y BAB-1Y3.5.1 变分方程与线性稳定性考虑平动点的稳定性,系数矩阵为:0000100 1 A .y 2 020 yy 0 yx00特征根由下述方程给出0010012 0det 2y0 yy yx00即xy 4 xx 2 4 0.2yyxxyy00000这是关于 2的二次方程

7、这个方程的根是容易求出的.Ax x A E x 0det A E 0 为特征方程由特征方程可以解出特征根3.5.1 变分方程与线性稳定性为平动点的稳定性,首先计算系数矩阵中的元素:1 x0 x0 1xy 3 y0 ,550rr12001 x 2 , x 12 1 A 3 00 xx055rr12001 yy 1 A 3 2y .055rr00 120其中 1 A zz 033rr0 1203.5.2 共线平动点线性稳定性对共线平动点,有 y0 0,则xy yy xx 0, 1 2A, 1 A.000特征根方程: 2 A 2 1 2A1 A 0. 4 1 2A1 A 0, 方程成为:令 2B 2

8、 A,C 2 4 2B 2 C 2 0.所以 2 的两个根 B B2C 2一正一负都是实根, 进而四个特征根为:B i C 2 ,B C 2B 2B21,23,4是实根,而是虚根.不妨令B C 2 0.B21,23,41另一方面, X的解(此处只给出X的解作为例子)可以写成:4 e tX iii1由于1 0,可知 X 将趋向无穷t , 所以共线平动点是线性不稳定的.X= BY, Y c eitiii 是常数在L1, L2 , L3A 1 1r3r3 12 03.5.2 共线平动点线性稳定性Poincare截面.3.5.2 共线平动点线性稳定性L 附近的Poincare截面. 103, C C

9、3.039, x 0.929, y 0.1JL1L13.5.2 共线平动点线性稳定性L 附近的Poincare截面. 103, C C 3.037, x 1.072, y 0.2JL2L23.5.2 共线平动点线性稳定性L 附近的Poincare截面. 103, C C 3.001, x 1.0004, y 0.3JL3L33.5.2 共线平动点线性稳定性SOHO(ESA/NASA)The Solar Heliospheric Observatory位于-地球的L1平动点3.5.2 共线平动点线性稳定性SOHO发射及工作轨道实际上，仍然可以在平动点附近找到稳定的周期轨道。SOHO(ESA/NA

10、SA)The Solar Heliospheric Observatory位于-地球的L1平动点3.5.3 三角平动点线性稳定性对三角平动点,有 x 1 , y 3 , r =r =1,则020212 33 1 2 , 3 , 9 .xy4xx4yy4000特征根方程: 2 27 1 0. 44所以12 211 27 27 21 27 27 2 0 时, 2是两个共轭复数, 的解是实部不为零的复数,而1 27 27 2 0 时, 的解是纯虚数.二次方程1 27 27 2 0 的根是: 9 69 0.0385208965.1181称为Routh临界质量.由此可知三角平动点的线性稳定性与两个主天体

11、的质量比有关.0 1 2 , 23 4 1 27 27 2 1 分别对应L4 , L53.5.3 三角平动点线性稳定性1. 112 是四个实部不为零的复数,三角平动点线性不稳定.2. 0 1 是四纯虚数,三角平动点线性稳定.定理的应用:L4在 2，3时是稳定的.其中1 2 关于非线性稳定性, 有16k 227 k 2 12 1 1 1k 2, 3 0.02429, 0.01351,k22 233. 1 2 i 是二重根.此时若矩阵可对角化,则系统是线性稳定的,否则是2线性不稳定的.可以证明此处的矩阵是不可对角化的,所以此时三角平动点的线性不稳定.关于非线性稳定性,可以证明L4是非线性稳定的.3

12、.5.3 三角平动点线性稳定性L 附近的Poincare截面. 102 , C C 2.9901, x 0.49, y3 2.4JL4L4L43.5.3 三角平动点线性稳定性L4附近的Poincare截面. 1, CJ CL , xL 0.5 1, yL4443 2.3.5.3 三角平动点线性稳定性Trojan群与Greek群小行星3.5.3 三角平动点线性稳定性三角平动点附近的轨道形状: Tole Orbits1 1 0.0013.5.3 三角平动点线性稳定性三角平动点附近的轨道形状: Horseshoe Orbits1 1 0.0009538753.5.3 三角平动点线性稳定性三角平动点附

13、近的轨道形状注意非对称性以及演化对初始条件的依赖3.6 限制性三体问题中的混沌运动以圆型限制性三体问题为例,介绍混沌现象.圆型限制性三体问题中m 的运动方程为： 1 x2 y2 1 ,x 2 y x2r1 x yr1r2y 2x yz ,222其中z x 1 y2 z2.r 2 z2该运动方程存在Jacobi积分： 1 x2 y 2 z2 1 x2 y11C .22如果仅2rr2J12平面模型,因此可将上式中关于 z 的项舍去.质量m1 1 , m2 长度a 1m1, m2 时间n 1m1, m2 此时G 1,T 23.6 限制性三体问题中的混沌运动的.平面模型,系统是二度的,因此其相空间是因为存在Jacobi积分,可利用它定义Poincare截面：CJ C,y 0,y 0此处及以后,都取 103, 对应-木星-小天体这样的三体系统.3.6.1 轨道分类1. 周期轨道CJ 3.12,x0 0.2693, y0 0, x0 03.6.1 轨道分类2. 拟周期轨道：不变环面CJ 3.12,x0 0.29, y0 0, x0 03.6.1 轨道分类2. 拟周期轨道：周期岛屿CJ 3.12,x0 0.26, y0 0, x0 03.6.1 轨道分类3. 混沌轨道CJ 3.06,x0 0.29, y0 0, x0 03.6.1 轨道分类3. 混沌轨道:对初值的敏感性依赖CJ 3.12, x